1、第四章 向量组的线性相关性1 设 v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T 求 v1v2及3v12v2v3 解 v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设 3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求 a 其中 a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解 由 3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得5(6)1 ,4(5)10 ,() ,3 TTT(1 2
2、3 4)T 3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 证明 由312304) ,(BA9718205640 r54076 r 0342 r知 R(A)R(A B)3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 0121023214rr知 R(B)2 因为 R(B)R(B A) 所以 A 组不能由 B 组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b
3、2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 证明 由 0121201203) ,( rr知 R(B)R(B A)2 显然在 A 中有二阶非零子式 故 R(A)2 又 R(A)R(B A)2 所以 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B) 因此 A 组与 B 组等价5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明(1) a1能由 a2 a3线性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由 R(a2 a3 a4)3 知 a2 a3 a4线性无关 故 a2 a3也线性无关 又由 R(a1 a2 a3)2 知 a1 a2 a3线性
4、相关 故 a1能由 a2 a3线性表示 (2)假如 a4能由 a1 a2 a3线性表示 则因为 a1能由 a2 a3线性表示 故 a4能由 a2 a3线性表示 从而 a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此 a4不能由 a1 a2 a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 0120712rrA所以 R(A)2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B 因为 020431|B所以
5、 R(B)3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由)(| aA知 当 a1、0、1 时 R (A)3 此时向量组线性相关 8 设 a1 a2线性无关 a1b a2b 线性相关 求向量 b 用 a1 a2线性表示的表示式 解 因为 a1b a2b 线性相关 故存在不全为零的数 1 2使1(a1b)2(a2b)0 由此得 2112 )(ab 设 则1cbca1(1c)a2 cR 9 设 a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问 a1b1 a2b
6、2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当 a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而 a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组 a1 a2 am是线性相关的 则 a1可由 a2 am线性表示 解 设 a1e1(1 0 0 0) a2a3 am0 则 a1 a2 am线性相关 但 a1不能由 a2 am线性表示 (2)若有不全为 0 的数 1 2 m使1a1 mam1b1 mbm0成立 则 a1
7、a2 am线性相关, b 1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数 1 2 m使1a1 mam 1b1 mbm 0原式可化为1(a1b1) m(ambm)0 取 a1e1b1 a2e2b2 amembm 其中 e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而 a1 a2 am和 b1 b2 bm均线性无关 (3)若只有当 1 2 m全为 0 时 等式1a1 mam1b1 mbm0才能成立 则 a1 a2 am线性无关, b 1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当 1 2 m全为 0 时 等式由 1a1 mam1b1 mbm 0成立 所以只有当 1 2 m全为 0 时 等式1(a1b1)2(
8、a2b2) m(ambm)0成立 因此 a1b1 a2b2 ambm线性无关取 a1a2 am0 取 b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但 a1 a2 am线性相关 (4)若 a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为 0 的数 1 2 m使1a1 mam0 1b1 mbm0同时成立 解 a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T 1a12a2 01221b12b2 01(3/4)2120 与题设矛盾 11 设 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得a1b
9、1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是 a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而 b1b2b3b40 这说明向量组 b1 b2 b3 b4线性相关12 设 b1a1 b2a1a2 br a1a2 ar 且向量组 a1 a2 ar线性无关 证明向量组 b1 b2 br线性无关 证明 已知的 r 个等式可以写成 10) , ,() ,(2121 rrab上式记为 BAK 因为| K|10 K 可逆 所以 R(B)R(A)r 从而向量组 b1 b2 br线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组 (1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T
10、 a3(2 4 2 8)T 解 由 01932081419) ,( 321 rr知 R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1与 a2的分量不成比例 故 a1 a2线性无关 所以 a1 a2是一个最大无关组 (2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7) 解 由 05914180947635124) ,( 1 rra知 R(a1T a2T a3T)R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1T与 a2T的分量不成比例 故 a1T a2T线性无关 所以 a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 (1) 482035197
11、解 因为482035197132r534732r01437所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.(2) 40解 因为140325142r 2015234r0215所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T的秩为 2 求 a b 解 设 a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为 520161031) ,( 2143 babrr而 R(a1 a2 a3 a4)2 所以 a2 b5 16 设 a1 a2 an是一组 n 维向量 已知 n 维单位坐标向量 e1 e
12、2 en能由它们线性表示 证明 a1 a2 an线性无关 证法一 记 A(a1 a2 an) E(e1 e2 en) 由已知条件知 存在矩阵 K 使EAK 两边取行列式 得|E|A|K|可见|A|0 所以 R(A)n 从而 a1 a2 an线性无关证法二 因为 e1 e2 en能由 a1 a2 an线性表示 所以R(e1 e2 en)R(a1 a2 an)而 R(e1 e2 en)n R(a1 a2 an)n 所以 R(a1 a2 an)n 从而 a1 a2 an线性无关17 设 a1 a2 an是一组 n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一 n 维向量都可由它们线性表示 证明
13、必要性 设 a 为任一 n 维向量 因为 a1 a2 an线性无关 而 a1 a2 an a 是 n1 个 n 维向量 是线性相关的 所以 a 能由 a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一 n 维向量都可由 a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组 e1 e2 en能由 a1 a2 an线性表示 于是有nR(e1 e2 en)R(a1 a2 an)n即 R(a1 a2 an)n 所以 a1 a2 an线性无关 18 设向量组 a1 a2 am线性相关 且 a10 证明存在某个向量 ak (2km) 使 ak能由 a1 a2 ak1线性表示 证明 因为 a1 a2 am线
14、性相关 所以存在不全为零的数 1 2 m 使1a12a2 mam0而且 2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则 1a10 由 a10知 10 矛盾 因此存在 k(2km) 使k0 k1k2 m0于是 1a12a2 kak0ak(1/k)(1a12a2 k1ak1)即 ak能由 a1 a2 ak1线性表示19 设向量组 B b1 br能由向量组 A a1 as线性表示为(b1 br)(a1 as)K 其中 K 为 sr 矩阵 且 A 组线性无关 证明 B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 R(K)r 证明 令 B(b1 br) A(a1 as) 则有 BAK必要性 设向量组 B 线性
15、无关 由向量组 B 线性无关及矩阵秩的性质 有rR(B)R(AK)minR(A) R(K)R(K) 及 R(K)minr sr因此 R(K)r充分性 因为 R(K)r 所以存在可逆矩阵 C 使为 K 的标准形 于是OECr(b1 br)C( a1 as)KC(a1 ar) 因为 C 可逆 所以 R(b1 br)R(a1 ar)r 从而 b1 br线性无关 20 设13212321 nnn证明向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价 证明 将已知关系写成 01) , ,() , ,(2121 nn将上式记为 BAK 因为0)1(01| nK所以 K 可逆 故有 ABK 1 由 BAK 和 AB
16、K 1可知向量组 1 2 n与向量组 1 2 n可相互线性表示 因此向量组1 2 n与向量组 1 2 n等价 21 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A3x3AxA2x 且向量组 x Ax A2x 线性无关 (1)记 P(x Ax A2x) 求 3 阶矩阵 B 使 APPB 解 因为APA(x Ax A2x)(Ax A2x A3x)(Ax A2x 3AxA2x) 10,所以 103B(2)求| A| 解 由 A3x3AxA2x 得 A(3xAxA2x)0 因为 x Ax A2x线性无关 故 3xAxA2x0 即方程 Ax0有非零解 所以 R(A)3 |A|0 22 求下列齐次线
17、性方程组的基础解系 (1) 02683542143xx解 对系数矩阵进行初等行变换 有 04/13 26831540rA于是得 4321)/(/xx取(x 3 x4)T(4 0)T 得( x1 x2)T(16 3)T 取(x 3 x4)T(0 4)T 得( x1 x2)T(0 1)T 因此方程组的基础解系为1(16 3 4 0)T 2(0 1 0 4)T (2) 67852431xx解 对系数矩阵进行初等行变换 有 0019/7/21 367852rA于是得 4321)19/()/4(xx取(x 3 x4)T(19 0)T 得( x1 x2)T(2 14)T 取(x 3 x4)T(0 19)T
18、 得( x1 x2)T(1 7)T 因此方程组的基础解系为1(2 14 19 0)T 2(1 7 0 19)T (3)nx1 (n1)x2 2xn1xn0.解 原方程组即为xnnx1(n1)x2 2xn1取 x11 x2x3 xn10 得 xnn 取 x21 x1x3x4 xn10 得 xn(n1)n1 取 xn11 x1x2 xn20 得 xn2 因此方程组的基础解系为1(1 0 0 0 n)T 2(0 1 0 0 n1)T n1(0 0 0 1 2)T 23 设 , 求一个 42 矩阵 B, 使 AB0, 且82593AR(B)2.解 显然 B 的两个列向量应是方程组 AB0的两个线性无关
19、的解 因为 8/150 825931rA所以与方程组 AB0同解方程组为 4321)/()/xx取(x 3 x4)T(8 0)T 得( x1 x2)T(1 5)T 取(x 3 x4)T(0 8)T 得( x1 x2)T(1 11)T 方程组 AB0的基础解系为1(1 5 8 0)T 2(1 11 0 8)T 因此所求矩阵为 B24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为1(0 1 2 3)T 2(3 2 1 0)T 解 显然原方程组的通解为, 即 (k1 k2R) 0132143kx14321x消去 k1 k2得02341x此即所求的齐次线性方程组.25 设四元齐次线性方程组I II 042
20、1x04321x求 (1) 方程 I 与 II 的基础解系 (2) I 与 II 的公共解 解 (1)由方程 I 得 421取(x 3 x4)T(1 0)T 得( x1 x2)T(0 0)T 取(x 3 x4)T(0 1)T 得( x1 x2)T(1 1)T 因此方程 I 的基础解系为1(0 0 1 0)T 2(1 1 0 1)T 由方程 II 得 43x取(x 3 x4)T(1 0)T 得( x1 x2)T(0 1)T 取(x 3 x4)T(0 1)T 得( x1 x2)T(1 1)T 因此方程 II 的基础解系为1(0 1 1 0)T 2(1 1 0 1)T (2) I 与 II 的公共解
21、就是方程III 043212x的解 因为方程组 III 的系数矩阵 021 10rA所以与方程组 III 同解的方程组为 4321x取 x41 得(x 1 x2 x3)T(1 1 2)T 方程组 III 的基础解系为(1 1 2 1)T 因此 I 与 II 的公共解为 xc(1 1 2 1)T cR 26 设 n 阶矩阵 A 满足 A2A E 为 n 阶单位矩阵, 证明R(A)R(AE)n证明 因为 A(AE)A2AAA0 所以 R(A)R(AE)n 又 R(AE)R(EA) 可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此 R(A)R(AE)n 27 设 A 为 n 阶矩阵
22、( n2) A*为 A 的伴随阵 证明2)( 011)nR当当当证明 当 R(A)n 时 | A|0 故有|AA*|A|E|A|0 |A*|0 所以 R(A*)n当 R(A)n1 时 |A|0 故有AA*|A|E0即 A*的列向量都是方程组 Ax0的解 因为 R(A)n1 所以方程组 Ax0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此 R(A*)1当 R(A)n2 时 A 中每个元素的代数余子式都为 0 故A*O 从而 R(A*)0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 (1) 32351241xx解 对增广矩阵进行初等行变换 有21038 32510rB与
23、所给方程组同解的方程为2 8431x当 x30 时 得所给方程组的一个解 (8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组同解的方程为0 4321x当 x31 时 得对应的齐次方程组的基础解系 (1 1 1 0)T (2) 62413541xx解 对增广矩阵进行初等行变换 有 002/179 612435rB与所给方程组同解的方程为2)/1(/794321xx当 x3x40 时 得所给方程组的一个解(1 2 0 0)T与对应的齐次方程组同解的方程为4321)/(/79xx分别取(x 3 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系1(9 1 7 0)T 2(1 1 0 2)T29
24、 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 已知1 2 3是它的三个解向量 且1(2 3 4 5)T 23(1 2 3 4)T求该方程组的通解 解 由于方程组中未知数的个数是 4 系数矩阵的秩为 3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得21(23)(12)(13) (3 4 5 6)T为其基础解系向量 故此方程组的通解 xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T (kR)30 设有向量组 A a1( 2 10)T a2(2 1 5)T a3(1 1 4)T 及 b(1 1)T 问 为何值时(1)向量 b 不能由向量
25、组 A 线性表示 (2)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一 (3)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 10542) ,(123a 34012 r(1)当 4 0 时 R(A)R(A b) 此时向量 b 不能由向量组 A 线性表示 (2)当 4 时 R(A)R(A b)3 此时向量组 a1 a2 a3线性无关 而向量组 a1 a2 a3 b 线性相关 故向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一 (3)当 4 0 时 R(A)R(A b)2 此时向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 当 4 0 时 10542) ,(123ba
26、0132 r方程组(a 3 a2 a1)xb 的解为 cR c303因此 b(2c1)a3(3c1)a2ca1 即 b ca1(3c1)a2(2c1)a3 cR31 设 a(a1 a2 a3)T b(b1 b2 b3)T c(c1 c2 c3)T 证明三直线l1 a1xb1yc10 l2 a2xb2yc20 (ai2bi20 i1 2 3)l3 a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为 向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 即0332211cybxa332211cybxa有唯一解 上述方程组可写为 xaybc 因此三直线相交
27、于一点的充分必要条件为 c 能由 a b 唯一线性表示 而 c 能由 a b唯一线性表示的充分必要条件为向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 32 设矩阵 A(a1 a2 a3 a4) 其中 a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3 向量 ba1a2a3a4 求方程 Axb 的通解 解 由 ba1a2a3a4知 (1 1 1 1)T是方程 Axb 的一个解 由 a12a2 a3得 a12a2a30 知 (1 2 1 0)T是 Ax0的一个解 由 a2 a3 a4线性无关知 R(A)3 故方程 Axb 所对应的齐次方程 Ax0的基础解系中含一个解向量 因此 (1 2 1 0
28、)T是方程 Ax0的基础解系 方程 Axb 的通解为xc(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T cR33 设 *是非齐次线性方程组 Axb 的一个解, 1 2 nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 (1)* 1 2 nr线性无关 (2)* *1 *2 *nr线性无关 证明 (1)反证法 , 假设 * 1 2 nr线性相关 因为1 2 nr线性无关 而 * 1 2 nr线性相关 所以 *可由 1 2 nr线性表示 且表示式是唯一的 这说明 *也是齐次线性方程组的解 矛盾 (2)显然向量组 * *1 *2 *nr与向量组 * 1 2 nr可以相互表示 故这两个向量组等价 而由(1)
29、知向量组 * 1 2 nr线性无关 所以向量组 * *1 *2 *nr也线性无关 34 设 1 2 s是非齐次线性方程组 Axb 的 s 个解 k1 k2 ks为实数 满足 k1k2 ks1. 证明xk11k22 kss也是它的解.证明 因为 1 2 s都是方程组 Axb 的解 所以Aib (i1 2 s) 从而 A(k11k22 kss)k1A1k2A2 ksAs(k1k2 ks)bb 因此 xk11k22 kss也是方程的解 35 设非齐次线性方程组 Axb 的系数矩阵的秩为 r 1 2 nr1是它的 nr1 个线性无关的解 试证它的任一解可表示为xk11k22 knr1nr1 (其中 k
30、1k2 knr11).证明 因为 1 2 nr1均为 Axb 的解 所以121 231 nr nr11均为 Axb 的解 用反证法证 1 2 nr线性无关 设它们线性相关 则存在不全为零的数 1 2 nr 使得11 22 nr nr0即 1(21) 2(31) nr(nr11)0亦即 (12 nr)11223 nrnr10由 1 2 nr1线性无关知(12 nr)12 nr0矛盾 因此 1 2 nr线性无关 1 2 nr为 Axb 的一个基础解系 设 x 为 Axb 的任意解 则 x1为 Ax0的解 故 x1可由 1 2 nr线性表出 设x1k21k32 knr1nrk2(21)k3(31)
31、knr1(nr11) x1(1k2k3 knr1)k22k33 k nr1nr1 令 k11k2k3 knr1 则 k1k2k3 knr11 于是xk11k22 knr1nr1 36 设V1x(x1 x2 xn)T | x1 xnR满足 x1x2 xn0V2x(x1 x2 xn)T | x1 xnR满足 x1x2 xn1问 V1 V2是不是向量空间？为什么？解 V1是向量空间 因为任取(a1 a2 an)T V1 (b1 b2 bn)T V1 R有 a1a2 an0 b1b2 bn0 从而 (a1b1)(a2b2) (anbn)(a1a2 an)(b1b2 bn)0a1a2 an(a1a2 a
32、n)0所以 (a1b1 a2b2 anbn)TV1(a1 a2 an)T V1 V2不是向量空间 因为任取(a1 a2 an)T V1 (b1 b2 bn)T V1有 a1a2 an1 b1b2 bn1 从而 (a1b1)(a2b2) (anbn)(a1a2 an)(b1b2 bn)2 所以 (a1b1 a2b2 anbn)TV1 37 试证 由 a1(0 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 1 0)T所生成的向量空间就是 R3.证明 设 A(a1 a2 a3) 由 021|知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2 a3是三维空间 R3的一组基, 因此由 a1 a
33、2 a3所生成的向量空间就是 R3.38 由 a1(1 1 0 0)T a2(1 0 1 1)T所生成的向量空间记作 V1,由 b1(2 1 3 3)T b2(0 1 1 1)T所生成的向量空间记作 V2, 试证 V1V2.证明 设 A(a1 a2) B(b1 b2) 显然 R(A)R(B)2 又由 013 30 ,r知 R(A B)2 所以 R(A)R(B)R(A B) 从而向量组 a1 a2与向量组 b1 b2等价 因为向量组 a1 a2与向量组 b1 b2等价 所以这两个向量组所生成的向量空间相同 即 V1V2.39 验证 a1(1 1 0)T a2(2 1 3)T a3(3 1 2)T
34、为 R3的一个基, 并把 v1(5 0 7)T v2(9 8 13)T用这个基线性表示.解 设 A(a1 a2 a3) 由06213| ,| 知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2 a3为 R3的一个基.设 x1a1x2a2x3a3v1 则72053x解之得 x12 x23 x31 故线性表示为 v12a13a2a3 设 x1a1x2a2x3a3v2 则138921x解之得 x13 x23 x32 故线性表示为 v23a13a22a340 已知 R3的两个基为a1(1 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 0 1)Tb1(1 2 1)T b2(2 3 4)T b3(3 4 3)T求由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵 P 解 设 e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则 10) ,() ,(321 321321) ,() ,(ae于是 4) ,() ,(321321b3120) ,(321a由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵为 10440P
