1、 1 / 47目录空瓶换饮料问题的最快求解公式 1八大类数列及变式总结 2数列运算的一些小技巧 9几个需要熟记的常见数列 13关于数算的心得体会 13解决牛吃草问题常用到四个基本公式 18鸡兔同笼问题 20一些小学行程题目（纯列式解题） 31数字的整除特性 35完全平方数 43数量关系 商品销售问题快速求解 44关于页码中出现多少个 N 这个数字这一系列问题的解答 48空瓶换饮料问题的最快求解公式6 个空瓶能换 1 瓶汽水，要喝 157 瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？ 15765=130.83（向上取整）=131 X=AN(N-1) （向上取整） 如改为:每瓶饮料 1
2、元钱，131 元最多能喝到多少瓶饮料，则为： 2 13156=157.2（向下取整）=157 A=X(N-1)N （向下取整） 八大类数列及变式总结一、简单数列自然数列：1，2，3，4，5，6，7，奇数列：1，3，5，7，9，偶数列：2，4，6，8，10，自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，等差数列：1，6，11，16，21，26， 等比数列：1，3，9，27，81，243，二、等差数列1， 等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。例题：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5 ，22-17=5，2， 二级等差数列
3、：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。例题 1： 9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4 ，18-13=5，24-18=6，31-24=7，例题 2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17 ，102-83=19，123-102=21，3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2” 的形式有3 / 47关。例题 1： 0，1，4，13，40，（）解析：1-0=1，4-1=3 ，13-4=9，40-13=27， 公比为 3 的等比数列例题 2： 20，22，25，3
4、0，37，（）解析：22-20=2 ，25-22=3，30-25=5，37-30=7， .二级为质数列4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2” 的形式有关。例题 1： 1，9，18，29，43，61，（）解析：9-1=8，18-9=9 ， 29-18=11，43-29=14，61-43=18，二级特征不明显9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4，三级为公差为 1 的等差数列例题 2.：1，4，8，14，24，42，（）解析：
5、4-1=3，8-4=4 ，14-8=6，24-14=10，42-24=18，二级特征不明显4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，三级为等比数列例题 3：（），40，23，14，9，6解析：40-23=17 ，23-14=9，14-9=5，9-6=3， 二级特征不明显17-9=8， 9-5=4，5-3=2，三级为等比数列三、等比数列1，等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列例题：36，24，（）32/3 ，64/9解析：公比为 2/3 的等比数列。2，二级等比数列变化：后一项与前一项的比所得的新的数列可能是自然数列、 4 等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”
6、、“2” 的形式有关。例题 1：1，6，30，（），360解析：6/1=6，30/6=5 ，（）/30=4 ，360/（）=3，二级为等差数列例题 2：10，9，17，50，（）解析：1*10-1=9 ，2*9-1=18，3*17-1=50，例题 3：16，8，8，12，24，60，（）解析：8/16=0.5，8/8=1 ，12/8=1.5 ，24/12=2，60*24=2.5，二级为等差数列例题 4：60，30，20，15，12，（）解析：60/30=2/1 ，30/20=3/2，20/15=4/3，15/12=5/4，重点：等差数列与等比数列是最基本、最典型、最常见的数字推理题型。必须熟练
7、掌握其基本形式及其变式。四、和数列1，典型（两项求和）和数列：前两项的加和得到第三项。例题 1：85，52，（），19，14解析：85=52+（），52=（）+19，（）=19+14，例题 2：17，10，（），3，4，-1解析：17-10=7 ，10-7=3，7-3=4，3-4=-1，例题 3：1/3，1/6，1/2，2/3，（）解析：前两项的加和得到第三项。2，典型（两项求和）和数列变式：前两项的和，经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题 1：22，35，56，90，（），2345 / 47解析：前两项相加和再减 1 得到
8、第三项。例题 2：4，12，8，10，（）解析：前两项相加和再除 2 得到第三项。例题 3：2，1，9，30，117，441，（）解析：前两项相加和再乘 3 得到第三项。3，三项和数列变式：前三项的和，经过变化之后得到第四项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题 1：1，1，1，2，3，5，9，（）解析：前三项相加和再减 1 得到第四项。例题 2：2，3，4，9，12，25，22，（）解析：前三项相加和得到自然数平方数列。例题：-4/9 ， 10/9，4/3，7/9 ，1/9 ，（）解析：前三项相加和得到第四项。五、积数列1，典型（两项求积）积数列
9、：前两项相乘得到第三项。例题：1，2，2，4，（），32解析：前两项相乘得到第三项。2，积数列变式：前两项相乘经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的乘与项数之间具有某种关系。例题 1：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8 ，（）解析：两项相乘得到 1，1/2 ，1/4 ，1/8，例题 2：1，2，3，35，（） 6 解析：前两项的积的平方减 1 得到第三项。例题 3：2，3，9，30，273，（）解析：前两项的积加 3 得到第三项。六、平方数列1，典型平方数列（递增或递减）例题：196，169，144，（），100解析：14 立方，13 立方，2，平方数
10、列变式：这一数列特点不是简单的平方或立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除 ”的变化。例题 1：0，5，8，17，（），37解析：0=12-1 ，5=22+1，8=32-1 ，17=42+1，（）=52-1，37=62+1例题 2：3，2，11，14，27，（）解析：12+2，22-2 ，32+2，42-2，52+2，例题 3：0.5，2，9/2，8 ，（）解析：等同于 1/2，4/2，9/2，16/2，分子为 12，22，32，42，例题 4：17，27，39，（），69解析：17=42+1，27=52+2，39=62+3，3， 平方数列最新变化-二级平方数列例题 1：1，4，16，49，1
11、21，（）解析：12，22，42，72，112，二级不看平方1，2，3，4，三级为自然数列例题 2：9，16，36，100，（）解析：32，42，62，102，二级不看平方7 / 471，2，4，三级为等比数列七、立方数列1，典型立方数列（递增或递减）：不写例题了。2，立方数列变化：这一数列特点不是简单的立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。例题 1：0，9，26，65，124，（）解析：项数的立方加减 1 的数列。例题 2：1/8，1/9，9/64，（），3/8解析：各项分母可变化为 2，3，4，5，6 的立方，分之可变化为1，3，9，27，81例题 3：4，11，30，67，（）
12、解析：各项分别为立方数列加 3 的形式。例题 4：11，33，73，（），231解析：各项分别为立方数列加 3，6，9，12，15 的形式。例题 5：-26 ， -6，2，4， 6，（）解析：（-3 ） 3+1，（-2）3+2 ，（-1 ）3+3，（0）3+4，（1）3+5 ，八、组合数列1，数列间隔组合：两个数列（七种基本数列的任何一种或两种）进行分隔组合。例题 1：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）解析：二级等差数列 1，3，7，13，和二级等差数列 3，5，9，15，的间隔组合。 8 例题 2：2/3，1/2，2/5，1/3，2/7 ，（）解析：数列 2/3，2/5，2/7
13、和数列 1/2，1/3 ，的间隔组合。2，数列分段组合：例题 1：6，12，19，27，33，（），48解析： 6 7 8 6 （） 8例题 2：243，217，206，197，171，（），151解析： 26 11 9 26 （） 9特殊组合数列：例题 1：1.01，2.02，3.04，5.08，（）解析：整数部分为和数列 1，2，3，5，小数部分为等比数列0.01，0.02，0.04，九、其他数列 1，质数列及其变式：质数列是一个非常重要的数列，质数即只能被 1 和本身整除的数。例题 1：4，6，10，14，22，（）解析：各项除 2 得到质数列 2，3，5，7，11，例题 2：31，37
14、，41，43，（），53解析：这是个质数列。2，合数列：例题：4，6，8，9，10，12，（）解析：和质数列相对的即合数列，除去质数列剩下的不含 1 的自然数为合数列。3，分式最简式：例题 1：133/57，119/51，91/39，49/21，（），7/39 / 47解析：各项约分最简分式的形式为 7/3。例题 2：105/60，98/56，91/52，84/48，（），21/12解析：各项约分最简分式的形式为 7/4。数列运算的一些小技巧等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如 24,70,208,622，规律为 a*3-2=b深一点模式，各数之间的差有
15、规律，如 1、2、5、10、17。它们之间的差为1、3 、 5、7，成等差数列。这些规律还有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如 1、2 、3、5、8 、13，前两个数相加等于后一个数。 3、看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如 7,9,40,74,1526,5436，7和 9， 40 和 74，1526 和 5436 这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作 6 个数，而应该看作 3 个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以 7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=
16、5436，这就是规律。 4、如根据大小不能分组的，A ，看首尾关系，如 7，10，9 ，12，11，14，这组数 ; 7+1410+11 9+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。 5、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如 6、24 、60、 120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是 23-2=6、33- 10 3=24、 43-4=60、53-5=120、63-6=210。这组数比较巧的是都是 6 的倍数，容易导入歧
17、途。 6) 看大小不能看出来的，就要看数的特征了。如21、31、47、56 、69、72，它们的十位数就是递增关系，如 25、58、811、1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且 2、5、8、11、14 的差为 3，如论坛上答：256，269 ，286，302 ， （） ，2+5+6=13 2+6+917 2+8+616 3+0+25， 256+13269 269+17286 286+16302 下一个数为 302+5307。 7) 再复杂一点，如 0、1、3、8 、21、55，这组数的规律是 b*3-a=c，即相邻 3 个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深
18、化后来找出规律。 8) 分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如 2 就要看成 2/1。 补充：中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出现在带分数的数列中，且容易忽略 如 1/2、1/6、1/3、2、6、3 、1/29 ）数的平方或立方加减一个常数，常数往往是 1，这种题要求对数的平方数和立方数比较熟悉 如看到 2、5、10、17，就应该想到是 1、2、3、4 的平方加 1如看到 0、7、26、63，就要想到是 1、2、3、4 的立方减 1对平方数，个人觉得熟悉 120 就够了
19、，对于立方数，熟悉 110 就够了，11 / 47而且涉及到平方、立方的数列往往数的跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快10）A2BC 因为最近碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，所以单独列出来 如数列 5 ，10 ，15，85，140，7085如数列 5, ; 6, ; 19, ; ;17 , ; 344 , 55 如数列 5, 15, 10, 215，115这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就考虑这个规律看看11）奇偶数分开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项 如数列 1, 8, 9, 64, 25，216奇数
20、位 1、9、25 分别是 1、3、5 的平方偶数位 8、64 、216 是 2、4、6 的立方先补充到这儿。 。 。 。 。 。12) 后数是前面各数之各，这种数列的特征是从第三个数开始，呈 2 倍关系 如数列： 1、2、3、6 、12、24由于后面的数呈 2 倍关系，所以容易造成误解！数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个 12 作为答案.几个需要熟记的常见数列数字推理题中对数列的敏感非常重要，下面共享几个比较常见的数列：1. 1，1，2，6，24，120 后除前为 1，2 ，3，4，52.
21、 1，2，3，5，8，13 瓦格纳数列 , 第三个为前两个和3. 1，2，4，7，11，16，22 后减前为 1，2，3 ，4，5。 。4. 1，2，5，14，41 ，122 差是等比5. 3，4，6，9，13，18，24 后减前8. 1，4，27，256 项数的项数次方关于数算的心得体会要熟练运用规律。拿到题目以后，怎样一眼就能大致判断出这道题目含有什么规律呢？这也是有章可循的。做题目时，我们能够在一秒之内做出的判断，就是一个数列项数的多少和数字变化幅度的大小，包括备选答案的数字的大小。根据这些信息我们就可以基本知道这个数列含有某种规律。比如，给出的数列项数较多，有 6 项以上，一般可以首先
22、考虑运用交替、分组和组合拼凑规律等。如果项数少就 3 项，一般只能用乘方和组合拼凑。如果数字之间变化幅度比较大，呈几何级增长，多半要用到乘法、二级等比和乘方规律。剩下的可以考虑用加减法、等差及变式和质数规律。此外，还可以根据数字之间变化呈现的曲线来判断。比如，如果数字变化呈平缓的一条线，一般用加减法；如果数字变化呈现的线条比较陡，13 / 47或者斜率绝对值较大，可以考虑用乘法、二级等比和乘方等；如果呈现抛物线形态，可考虑用乘方、质数等；呈 U 型线可考虑用减法、除法和乘方等；如果大小变动呈波浪线，主要考虑交替和分组。解决牛吃草问题常用到四个基本公式（1）草的生长速度 吃的较少天数吃的较多天数
23、相应的牛头数 对应的牛头数 （吃的较多天数吃的较少天数） ； 吃的天数；吃的天数草的生长速度 （2 ）原有草量牛头数 （牛头数草的生长速度） ；（3）吃的天数原有草量 吃的天数草的生长速度。（4）牛头数原有草量牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1.( 牛的头数 吃草较多的天数-牛头数吃草较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天
24、新长草的量。2.牛的头数吃草天数-每天新长量 吃草天数=草地原有的草。下面来看几道典型试题： 14 例 1.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或供 16 头牛吃 6 天。那么可供 11 头牛吃几天？( )A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C。解析：设每头牛每天吃 1 份草，则牧场上的草每天减少(205-166)（6-5)=4 份草，原来牧场上有 205+54=120 份草，故可供 11 头牛吃 120（11+4)=8 天。例 2.有一片牧场，24 头牛 6 天可以将草吃完；21 头牛 8 天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多
25、可以放牧几头牛？( )A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C。解析：设每头牛每天吃 1 份草，则牧场上的草每天生长出(218-246)（8-6)=12 份，如果放牧 12 头牛正好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧12 头牛。例 3.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用 5 台抽水机 20 小时可将水抽完，用 8 台抽水机 15 小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？( )A.25 B.30 C.40 D.45【答案】D。解析：出水口每小时漏水为(815-520)（20-15)=4 份水，原来有水15 / 47815+415=180 份，故需要 1804=45 小
26、时漏完。鸡兔同笼问题“鸡兔同笼” 是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）.在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从 122减去总头数 88，剩下的就是兔子头数 122-88=34，有 34 只兔子.当然鸡就有 5
27、4只.答：有兔子 34 只，鸡 54 只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数 .上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2，4 又是 2 的 2 倍. 16 可是，当其他问题转化成这类问题时， “脚数”就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例 1.如果设想 88 只都是兔子，那么就有 488 只脚，比 244 只脚多了 884-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（884-244）（4-2）= 54（只） .
28、说明我们设想的 88 只“兔子”中，有 54 只不是兔子.而是鸡. 因此可以列出公式：鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）当然，我们也可以设想 88 只都是“鸡”，那么共有脚 288=176（只） ，比 244 只脚少了 244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，682=34（只）.说明设想中的“鸡”，有 34 只是兔子，也可以列出公式：兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的
29、公式.例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了2.80 元 .问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分” 作为钱的单位.我们设想，一种“ 鸡”有 11 只脚，一种“兔子”有 19 只脚，它们共有 16 个头，280 只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成 “鸡兔同笼”问题了.17 / 47利用上面算兔数公式，就有：蓝笔数=（1916-280） （19-11）=248=3（支）.红笔数=16-3=13（支） .答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的“脚数”19 与 11之和是 30.我们也可以
30、设想 16 只中，8 只是“兔子 ”，8 只是“ 鸡”，根据这一设想，脚数是 8（11+19）=240.比 280 少 40.40（19-11）=5.就知道设想中的 8 只“ 鸡”应少 5 只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是 3.308 比 1916 或 1116 要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想 16 只中， “兔数”为 10， “鸡数”为 6，就有脚数1910+116=256.比 280 少 24.24（19-11）=3，就知道设想 6 只“ 鸡”，要少 3 只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面
31、再举四个稍有难度的例子.例 3 一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成. 乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时.甲打字用了多少小时？ 18 解：我们把这份稿件平均分成 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数） ，甲每小时打甲每小时打 306=5（份） ，乙每小时打 3010=3（份）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是 7.“兔”的脚数是 5， “鸡”的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成 “鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=（30-37）（ 5-3）=4.5，“鸡”数=7-4.5=2
32、.5，也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2.5 小时.答：甲打字用了 4 小时 30 分.例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数）和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁. 四年后（2002 年）父的年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？解：4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25，父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25 是“总头数”.86 是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是：（254-86）（4-3 ）=14（岁）.1998
33、年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是19 / 47（25-14）4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，兄的年龄是（40-10）（3-1）=15（岁）.这是 2003 年.答：公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀.现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿”两种.利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=（118-618） （8-6 ）=5（只）.因
34、此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀.再利用一次公式蝉数=（132-20 ）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是 13-6=7（只）.答：有 5 只蜘蛛， 7 只蜻蜓， 6 只蝉.例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人参加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7 人，5 道全对的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人数有多少人？ 20 解：对 2 道、 3 道、4 道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-17-56=144（道）.由于对 2 道和 3
35、 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人（2+3）2=2.5 ）. 这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.对 4 道题的有（144-2.539） （4-1.5 ）=31（人）.答：做对 4 道题的有 31 人.例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角.已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多.（680-840）（8+4）=30（张） ，这就知道，余下的邮票中，8 分和 4 分的各有 30 张.因此 8 分邮票有 4
36、0+30=70（张）.答：买了 8 分的邮票 70 张，4 分的邮票 30 张.也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条件“8 分比 4 分多 40 张”，那么应有 60张 8 分 .以“分”作为计算单位，此时邮票总值是 420+860=560.比 680 少，因21 / 47此还要增加邮票.为了保持“差”是 40，每增加 1 张 4 分，就要增加 1 张 8 分，每种要增加的张数是：（680-420-860）（4+8）=10（张）.因此 4 分有 20+10=30（张） ，8 分有 60+10=70（张）.例 8 一项工程，如果全是晴天，15 天可以完成 .
37、倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：类似于例 3，我们设工程的全部工作量是 150 份，晴天每天完成 10 份，雨天每天完成 8 份. 用上一例题解一的方法，晴天有（150-83）（10+8）= 7（天）.雨天是 7+3=10 天，总共 7+10=17（天）.答：这项工程 17 天完成 .请注意，如果把“雨天比晴天多 3 天”去掉，而换成已知工程是 17 天完成，由此又回到上一节的问题.差是 3，与和是 17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例 7、例 8 与上一节基本问题之间的关系 .总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例 9 鸡与兔共 100 只
38、，鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 282=14（只） ，鸡与兔脚数就相 22 等，兔的脚是鸡的脚 42=2（倍） ，于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只数是：（100+282） （2+1 ）=38（只） .鸡是：100-38=62（只）.答：鸡 62 只，兔 38 只.当然也可以去掉兔 284=7（只）.兔的只数是（100-284）（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的办法.解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50（只）.此时脚数之差是：450-250=100，比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡
39、数少了）.为了保持总数是 100，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是 2） .因此要减少的兔数是：（100-28）（4+2 ） =12（只）.兔只数是：50-12=38（只）.另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了20 个字.问两种诗各多少首.23 / 47解一：如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280（字） .每首字
40、数相差：74-54=8（字）.因此，七言绝句有：28（28-20）=35（首）.五言绝句有：35+13=48（首）.答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首.解二：假设五言绝句是 23 首，那么根据相差 13 首，七言绝句是 10 首.字数分别是 2023=460（字） ，2810=280（字） ，五言绝句的字数，反而多了：460-280=180（字）.与题目中“少 20 字”相差：180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了.为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25（首）.五言绝句有23+25=48（
41、首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例 7、例 9和例 10 三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事. 24 例 7，假设都是 8 分邮票， 4 分邮票张数是（680-840） （8+4 ）=30（张）.例 9，假设都是兔，鸡的只数是（1004-28 ）（4+2）=62（只）.例 10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（2013+20）（28-20）=35（首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-
42、”成了“+”. 其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只 2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是 400 元. 但破损一只要减少 1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）（1+0.2）=17 （只） .答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶.请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？25 / 47例
43、 12 有两次自然测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错（包含不答）1题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1 题 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24 题全对，得 524=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：86-2（15-6）=30（分） . 两次相差：120-30=90（分）.比题目中条件相差 10 分，多了 80 分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得 5+1=6（分） ，而第二次
44、答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分，因此增加 8+2=10 分.两者两差数就可减少 6+10=16（分）.（90-10 ）（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少 5 题，也就是第一次答对 19 题，第二次答对：30-19=11（题）.第一次得分：519-1（24- 9）=90.第二次得分：811-2（15-11）=80.答：第一次得 90 分，第二次得 80 分.解二：答对 30 题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去 5+1=6（分） ，第二次答错一题，要从满分中 26 扣去 8+2=10（分）.答错题互换一下，两
45、次得分要相差 6+10=16（分）.如果答错 9 题都是第一次，要从满分中扣去 69.但两次满分都是 120 分.比题目中条件“第一次得分多 10 分”，要少了 69+10.因此，第二次答错题数是：（69+10）（6+10 ）=4（题）第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5（24-5 ）-15=90 （分）.第二次得分 8（15-4 ）-24=80 （分）.一些小学行程题目（纯列式解题）1. 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 A 地 60 千米处相遇。它们各自到达对方车站后立即返回，途中又在距 A 地 40 千米处相遇。求 A、B 两地相距多少千米(60*3+40)2110
46、千米2. 客货两车同时从甲乙两地相对开出，第一次相遇在离乙地 80 千米的地方。相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次相遇在距离甲地 50 千米处。求甲乙两地间路程？80*3-50190 千米3. 两辆汽车同时从东西两站相对开出，第一次在离东站 60 千米处相遇。之27 / 47后两车原速前进，各车到站后立即返回，又在中点西侧 30 千米处相遇点之间的距离是多少千米？（60*3+30）3*2 140 千米4. 湖中有东、西两岛。甲乙二人同时从两岛出发，来回游泳。他们第一次相遇时距东岛 700 米，第二次相遇距西岛 400 米。问：两相遇点之间的距离是多少米？700*3-400-400
47、-700600 米5. 甲、乙两人同时从两地骑车相向而行。甲每小时行 15 千米，乙每小时行13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇。求这两地间的路程？3*2（ 15-13）*（15+13）54 千米6. 甲、乙两人同时从 A 地去 B 地，甲每小时行 12 千米，乙每小时行 9 千米。甲行到 15 千米处，又回去取东西。因此比乙迟到 1 小时。求 A、B 两地的距离？（15*2-12）（12-9 ） *954 千米7. 甲、乙两人同时从 A 地到 B 地。甲每分钟走 250 米，乙每分钟走 90 米。 28 甲到达 B 地后立即返回，在离 B 地 3.2 千米处与乙相遇。 A、B 两地间的距
48、离是多少？3.2*2（0.25-0.09）*0.25-3.26.8 千米。8. 小平和小红同时从学校出发步行到少年宫。小平每分钟比小红多走 20 米，30 分钟后小平刚到少年宫就立即返回学校，在距少年宫 350 米处遇到小红。小红每分钟走多少米？30*20-350250 米，350-250 100 米，100205 分、250550 米。9. 甲、乙二人上午 7 时同时从 A 地去 B 地，甲每小时比乙快 8 千米，上午11 时甲到达 B 地后立即返回，在距 B 地 24 千米处和乙相遇。求 A、B 两地相距多少千米？（11-7）*832 千米， 24-（32-24） 82 小时。242*（11-7）48 千米。10. 某学生乘车上学，步行回家，往返共需一个半小时；如果往返都坐车，全部行程只要 30 分钟。如果往返都步行，需要多少时间？乘车+步行1.5 小时，乘车+乘车0.5 小时，即乘车0.25 小时。所以步行+步行2.5 小时。29 / 4711. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，匀速前进。如果各人按原定速度前进，则 4 小时相遇；如果两人各自都比原计划每小时少走 1千米，则 5 小时相遇。求 A、B 两地间相距多少千米？4*1*2*540 千米 。12. 甲、乙两车从相距 480 千米的两
