1、线 性 代 数标准化作业2011.92学院 班级 姓名 学号 第 六 章 作 业（二次型与对称矩阵）1、 填空题(1) 二次型 f(x1，x2，x3，x4)x 12+3x22x 32+2x1x2+2x1x33x 2x3 的矩阵是，秩是 。(2)二次型 f(x1，x2，x3) 的矩阵为 。1123235,4678xx(3) 设 122331,A= B=则存在可逆矩阵 P，使得 PTTAP=B，其中 P = 。(4) 二次型 f(x1，x2，x3)2x 12+x22+x322tx 1x2+2x1x3 正定时，t 应满足的条件是 。(5) 设 A 为实对称矩阵，且| A|0，则把二次型 fx TAx
2、 化为fy TA1 y 的线性变换是 x y 。2、 选择题3(1) 实二次型 fx Ax 为正定的充分必要条件是 。(A) R(A) = n； (B) A 的负惯性指数为零；(C) |A| 0 ； (D) A 的特征值全大于零。(2) 设 140, ,= B=则 A 与 B 的关系 为（ ）(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C)相似但不合同； (D)既不相似也不合同。（3）设矩阵 32045A=正定，则相似的对角矩阵为（ ）。(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。1 2020147671(4) 设 A、B 为 n 阶正定矩阵， 则 是正定矩阵。(A) k1Ak 2B；
3、(B) A*+B*； (C) A1 B 1 ； (D) AB。(5) 设 A=（aij）nn为实对称矩阵，二次型 212()iiini=fxax为正定的充要条件是（ ）4（A）|A|=0； （B）|A|0； （C）|A|0； （D）|A|0。3、计算题(1) 已知二次型 f(x1，x2，x3)5x 12+5x22+cx322x 1x2+6x1x36x 2x3 的秩为 2，求 c。(2) 设二次型 f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32 求一个正交 变换将二次型化 为标准形，并写出所用的正交变换；5 用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换； 用合同变换 法将二次型化 为
4、标准形，并写出所用的可逆线性变换。6(3) 求一正交变换，将二次型 f(x1，x2，x3)5x 12+5x223x 322x 1x2+6x1x36x 2x3化为标准形，并指出 f(x1，x2，x3)1 表示何种二次曲面。7(4) 已知二次型 f(x1，x2，x3)x 12+x22+x322ax 1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换化为标准形 fy 22+2y32，求参数 a、b 及所用的正交变换 矩阵。8(5) 求二次型 f(x1，x2，x3)x 12+3x322x 1x2+4x1x3+2x2x3 的正、负惯性指数及符号差。(6) 设 n 元二次型f(x1，x2，xn)(x 1+a1x
5、2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2其中 ai(i=1,2,n)为实数，试问当 a1， a2，an-1， an满足什么条件时，二次型f(x1，x2，xn)正定二次型？9四、证明题1、 设 f(x1，x2，xn)x TAx 是一实二次型， 1，2，n 是 A 的特征值，且12 n。证明对于任一 实 n 维列向量 x 有1xTxxTAx n xTx2、设 A 是一个三阶实矩 阵，若对任意 3 维列向量 x，都有 xTAx0，则 A 为反对称矩阵。103、设 A 是 n 阶正定矩阵，证明|A 2E|2 n。4、设 Amn 矩 阵，若 R（A）=n，试证 ATA 为正定矩阵。5、设 A 为 m 阶的正定矩阵，B 为 mn 实阵，试证 BTAB 正定的充分必要条件11是 R（B）=n。
