1、1物理竞赛练习 (三)1. 质量与半径足够大的光滑水平圆盘以匀角速度 绕过圆心的竖直轴旋转。 （1）质量分别为mA 和 mB 的两个小球 A 和 B，用劲度系数为 k、自由长度为 L 的轻弹簧相连后置于圆盘上，试对所有可能达到的稳定状态计算 A、B 各自离圆心的距离。 （2）A、B、C 为三个小球，A、B 间及 B、C 间均用劲度系数为 k、自由长度为 L 轻弹簧相连后置于圆盘上，若排除二弹簧重叠的可能性，且设 A、B、C 的质量分别为mA=2k/ 2、m B=3k/ 2、m C=4k/ 2，试讨论系统达到稳定的可能性。2.有三个质量相等的粒子，粒子 1 与粒子 2 中间夹置一个被充分压缩了的
2、轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起（可视为一个小物体） ，静止地放置在光滑水平面上，另一个粒子 3 沿该光滑水平面射向它们。粒子 3 和粒子 1 相碰撞并粘连在一起运动。后轻质细线自动崩断，使弹簧释放，三个粒子分成两部分：一部分为粒子 2，另一部分为粘在一起的粒子 1、3。已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是 EP。为了使被释放出的粒子 2 的散射角保持在 30 之内，求粒子 3 入射时的动能应满足什么条件。OAmBr图 17-136 x0v122v1O23. 设想有一单摆，其摆长 L 与地球半径 R 相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T=？已知地球半径为 R=6370km。4. 设想有一单
3、摆，其摆长 L 与地球半径 R 相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T=？已知地球半径为 R=6370km。35某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率 P0。 （1）夏天室外温度恒为 T1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的 T2。室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(T 1-T2)（牛顿冷却定律） ，比例系数 A。试用 T1，P 0 和 A 来表示 T2。 （2）当室外温度为 30C 时，若这台空调器只有 30%的时间处于工作状态，室温可维持在 20C。试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在 20C。 （3）冬天，可将空调器吸
4、热、放热反向。试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在 20C。6图 42-35 是一个滴水起电机的原理图，W 是带小孔的水槽，水槽中装有食盐水。食盐水与电极 P1间的电压为 U0，每滴食盐水的质量为 m。盘状电极 P2位于 P1的下方，相距高度为h，P 1、P 2之间的电容为 C1。当水滴流经 P1的狭窄通道时，与 P1也形成一个电容器，电容量为C2，C 2C1。C 2充电到 U0，使小水滴带上正电，然后离开 P1的狭窄通道滴下。水滴下落的频率很低，P 1、P 2之间不会同时有两滴水存在。已知开始时 P2不带电， P 2上由滴水引起的水位变化可以忽略。试求：(1)电极 P2可达到的
5、最高电势；(2)水滴临到达 P2之前的速度与该水滴之前落下的水滴滴数之间的关系。W0Uh2P1O图 42-3541.解 ： （1）如图 17-136，两小球 Am、 B必与圆心共线，且分居于圆心 O 两侧对 A： )(2LrkrA （1）对 B： BB （2）解之，得22)(BAABBAmkLrkAr、 均需要大于零，故BA2（2）A、B、C 小球若不共线，如图 17-137 所示，因任意两球间弹力沿两球心连线方向，不可能指向圆心 O，故不可能出现上述不共线的情况。如图 17-138，设圆心 O 在 A、B 之间，以 O 为坐标原点，则应有BCx0（1）)()()(22LxkxmBCCABBA
6、将已知条件代入，可得LxBCCAB423解得 xCB不满足（1）式，所以不可能出现上述的稳定状态。设 O 在 B、C 之间，建立如图 17-139 所示坐标，则应有ABC图 17-137ABCOxx图 17-138OABC图 17-13950CBAx（2）)( )()(22LxkxmLxkBCC BABBAA代入已知条件，简化为LxBCCA423解得 LxCB2与（2）式矛盾，所以也不存在这样的稳定状态，综上所述，系统不可能出现任何的稳定状态。2.分析：这量道综合性较强的涉及动量、能量的竞赛题。解答本题要注意三点：（1）依据动量守恒定律分析粒子 2 散射前后的速度与粒子 1、3 的速度关系，并
7、画出散射前后的速度矢量图；（2）根据能量关系及速度关系推出弹性势能 PE与粒子动能间关系；（3）由题中给出粒子 2 的散射范围。建立粒子 2 散射速度矢量图并分析该图解出结论。解：建立如图 18-41 所示的坐标系，以粒子 3 入射速度 0v为 x轴正方向。设每个粒子的质量为 m，当粒子 3 与 1 相碰并粘在一起，而在细线断开之前，三个粒子是一起运动的，若其共同速度为 v，按照动量守恒定律，有mv0即 v也沿 x方向，其大小为 30细线断开后弹簧释放，弹性力做功使弹性势能 PE转化为粒子 1、3 和粒子 2 的动能增量，设粒子 1、3 最后的速度为 1v，粒子 2 最后的速度为 2v，由机械
8、能守恒和动量守恒定律可知Pmm2)3()(（2）6021)3()(mvvm （3）因弹簧安置的方向不同等原因，粒子 2 将可能以不同的速度向各方向飞出，设 2v与 0的夹角为 。在细线崩断过程中，粒子 2 和粒子 1、3 由于受到弹力的冲量作用，都将产生相应的动量的增量，从而有速度的增量。设其速度增量分别为 1v和 2，则有2211v或 yyxx11yyxxvv22将（4）式代入（3）式，得mvm3)()(21因而 2v或 yyxxv21（2）式可写成如下的形式PyxyxyxEvmvmv )(321)(2)(1 212将（4） （5）两式化入上式并化简，有 )()()()(2 222121 y
9、xyx vvvv 4332yxyxmPyxEv)(212得到 2)(43vp（6）（6）式表明，在 pE给定的条件下， 2的大小是一定的， 2v的大小和方向与 2v的方向有关，即Ov2P图 18-427与弹簧安置的方向有关，如图 18-42 所示，若 v和 2的大小一定，即图中圆的半径和 P 点到圆心的距离一定。当 2v与 垂直时， 角最大，这时 的方向沿圆的切线方向，所以在弹簧各种可能的安置方向中，以图 1-4-30 所示的沿 2的方向安置时，粒子 2 有最大散射角，要求粒子 2 的散射角保持在 30 以内，必须要求30sin2v即 或 602v（7）由式（7）和（6） ，可得到202014
10、)(3mvvEp所以要求粒子 3 入射时的动能pmv2104.分析：摆球在地面附近运动，可以认为它所受地球引力的大小不变，为 gRGMF2但如果摆长很长，则当其摆角即使很小时，摆动中摆球相对于地面的位移也是较大的。由此，在其摆动中所受地球引力的方向变化便不可忽略。这一点正是本题情况与通常所讨论的普通单摆的区别。 （在讨论普通单摆时，我们认为摆球所受地球引力为恒力即其大小和方向都必须是不变的。 ）解：如图 19-43，设此单摆的摆角为 时，它偏离平衡位置的位移为 x，偏离地心 O 的角度为 a，所受地球引力为 F。由图可知，此时摆球所受回复力为 coscsmg由图有 2，且由于 ,均为很小的角，
11、则近似地有 lx、 R，代入前式可得)()sin(ggFOF图 19-438xRlmg1由简谐运动的周期公式有kT2gRllmg)(21当 Rl时，此单摆的周期为 gRT2min593408.91670s说明（1）对于普通单摆，有 lR，代入以上所得的公式为 glRlT212这正是我们早已熟知的单摆周期公式。（2）若 lR，则由前述公式可得 gT2min8450918637s5.分析：夏天，空调器机为制冷机，作逆向卡诺循环，从室内吸热，向室外放热，对工作物质作功。为保持室温恒定，空调器从室内吸热等于室外向室内通过热传导传输的热量。冬天刚好相反，空调为热机，作顺向卡诺循环，从室外吸热，向室内放热
12、，为保持室温恒定，空调器向室内的放热应等于室内向室外通过热传导传输的热量。解：（1）夏天，空调器为制冷机，单位时间从室内吸热 2Q，向室外放热 1，空调器的平均功率 P，则 PQ21。对可逆卡诺循环，则有21T，PT21。通过热传导传热 )(A，由 Q得9221TAP41012 ATp因空调器连续工作，式中0p，42102001PpPT（2） KT931， 0.， K3，而所求的是 0时对应的 1T值，记为 max1，则 2021.TAP202max1T解得 CKT26.38.1)(3.1（3）冬天，空调器为热机，单位时间从室外吸热 1Q，向室内放热 2，空调器连续工作，功率为 0P，有 01
13、2pQ， 21T，由热平衡方程得：0121)(pA)(2max1201 TPCKT74max12若空调器连续工作，则当冬天室外温度最低为 1.74C，仍可使室内维持在 20C。6 分析：这是一个过程比较复杂的实际问题，首先必须建立起正确的物理模型。水滴在2C这个电容器中被充电，带上了 02Uq的正电荷。随着水滴的下落， 2P板上的正电荷越来越多， 1的电量不断增加， 1P、 之间的电场强度也不断增大。水滴在下落过程中受到两个力的作用，重力 mg 和电场力 qE，当这两个力互相平衡时，水滴便无法再下落，此时 2的电势便是 2P能达到的最高电势。解：(1)水滴电量 02UCq，设当 2P达到 1时，水滴受力平衡，即10.1hUqEmg得 .021C当水滴下落过程中，消耗的重力势能 gh越大， 2P所能达到的电势越高，这样，根据能量转换的观点是很容易理解的。(2)n 个水滴落下后， 2P的电势便为./1201CnUqn此时第 n+1 个水滴受到的电场力.102hEFn设第 n+1 个水滴的加速度为.120hmCUga其速度为 .2120nh
