1、- 1 -求阴影部分图形面积新题型近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：一、规律探究型例 1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为 r）（1）如图 1，分别以线段 O1O2 的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积（2）如图 2，分别以等边O 1O2O3 的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？（3）如图 3，分别以正方形 O1O2O3O4 的四个顶点为圆心，
2、以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005 年黄冈市中考题）分析 （1）利用“S 阴 =S 菱形 AO1BO2=4S 弓形 ”即可；（ 2）利用“S 阴 =SO1O2O3 +3S 弓 ”即可；（3） 直接求解比较困难，可利用求补法，即 “S 阴 =S 正方形 O1O2O3O4-S 空白 ”，考虑到四个圆半径相同，若延长 O2O1 交O 1于 A，则 S 空白 =4SO1AB，由（1）根据对称性可求 SO1BO4，再由“S O1AB=S 扇形 AO1O4-SO1BO4”，这样 S 空白 可求解答 （1）设两圆交于 A、B 两点，连结 O1A，O 2A，O 1B
3、，O 2B则 S 阴 =S 菱形 AO1BO2+4S 弓 S 菱形 =2SAO1O2 ，O 1O2A 为正，其边长为 rS AO1O2 = r2，S 弓 = - r2= - r23460346S 阴 =2 r2+4（ r2- r2）= r2- r2（2）图 2 阴影部分的面积为 S 阴 =SO1O2O3 +3S 弓 O 1O2O3 为正，边长为 r- 2 -S O1O2O3 = r2，S 弓 = - r2346034S 阴 = r2+3（ - r2）= r2- r2（3）延长 O2O1 与O 1 交于点 A，设O 1 与O 4 交于点 B，由（1）知，SO1BO4= （ r2- r2）3S O
4、1AB=S 扇形 AO1O4-SO1BO4= - （ r2= r2）29036r1= - r2+ r2243则 S 阴 =S 正方形 O1O2O3O4-4SO1AB=r2-4（ - r2+ r2）134=r2+ r2- r2=（ +1- ）r 23二、方案设计型例 2 在一块长 16m，宽 12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半下面分别是小明和小颖的设计方案小明的设计方案：如图 1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程， 我得到路的宽为 2m 或 12m小颖的设计方案：如图 2，其中花园中每个角上的扇形都相同（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由（2）请你帮助
5、小颖求出图中的 x（精确到 01m ）- 3 -（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图， 并加以说明 分析 （1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求 x；（3）可由图形对称性来设计解 （1）小明的结果不对设小路宽 xm，则得方程（16-2x）（12-2x）= 16122解得：x 1=2，x 2=12而荒地的宽为 12m，若小路宽为 12m，不符合实际情况，故x2=12m 不合题意（2）由题意，4 = 161241x2= ，x5.5m96（3）方案有多种，下面提供 5 种供参考：三、网格求值型例 3
6、图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为 1 个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形（1）直接写出单位正三角形的高与面积；（2）图 1 中的 ABCD 含有多少个单位正三角形？ABCD 的面积是多少？A（3）求出图 1 中线段 AC 的长（可作辅助线）；（4）求出图 2 中四边形 EFGH 的面积 分析 （1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图 1 便可找到答案；（3）考虑到图 1 中 AB=3，BC=4 ， B=60，可作ABC 的高 AK，构造直角三角形， 再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边形 EF
7、GH面积- 4 -解：（1）单位正三角形的角为 ，面积为 ，324（2） ABCD 含有 24 个单位正三角形，故其面积为 24 =6 A34（3）如图 1，过 A 作 AKBC 于 K，在 RtACK 中， AK= ，KC= 25AC= = = 2KC235()(13（4）如图 3，构造 EQSR，过 F 作 FTQG 于 T，则 SFQG = FTQG= 124=3 32同理可求SGSH = ，S EHR =6 ，S EQSR=18 3A3S 四边形 EFGH= S EQSR -SFQG -SGSH -SEHR =18 -3 - -6 =8 3四、图形对称型例 4 如图，半圆 A 和半圆
8、B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直，以 O 为顶点的两条抛物线分别经过 C、E 和 D、F ， 则图中阴影部分的面积是_分析 由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于 y 轴对称，故 y 轴左侧阴影部分面积等于半圆 B 中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆 B 的面积，即 S 阴 =12= 1- 5 -解答： 2五、图形变换型例 5 如图，矩形 ABCD 的长与宽分别是 2cm 和 1cm，AB 在直线 L 上，依次为B、C、D ，依次为 B、C 、D为中心将矩形 ABCD 按顺时针方向旋转 90这样点 A走过的曲线依次为 、 、 ，其中 交 CD 于点
9、 PAA （1）求矩形 ABCD的对角线 AC的长；（2）求 的长；（3）求图中 部分的面积 S；（4）求图中 部分的面积 T 分析 （1）要求 A C，因长宽分别为 2 和 1，利用勾股定理即可；（2）要求，因 所对圆心角为ABA=90，半径 AB=2，利用弧长公式即可；（3）因A ACD ACD，故 S=S 扇形 ACA；（4 ）连 PB，则 PB=AB=2，又BC=1，故PBC=60，ABP=30， 欲求 T，由“T=S 扇形 ABP+SBCP ”即可解答 （1）AC= = （cm ）215（2） = 2= （cm ）908（3）S=S 扇形 ACA= = （cm）2()364（4）连结
10、 BP，在 RtBCP 中，BC=1，BP=2，BPC=30 ，CP= ， ABP=30，T=S 扇形 ABP+SPBC = 22+ =（ + ）cm 23063六、实际应用型例 6 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A、B、C、D 四珠顺次连结成为一个菱形，且- 6 -AB=BD；A 、B、C 、D 四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积， 两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积在株距都为 a，其
11、他客观因素也相同的条件下，请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法哪种方法能更充分地利用土地分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及 S 和 S对应值小的即为合理密植解 连结 AC 交 BD 于点 O在菱形 ABCD 中，有AB=AD，AC BD，BO= BD12AB=BD=a ，BO=OD= a在 RtAOD 中，AO= = a2ADO3S 菱形 ABCD=2 BDAO= a2，1S 正方形 ABCD=a2设方法（1）中空隙地面积为 S1，方法（2）中空隙地面积为 S2则 S1=S 菱形 ABCD-SA = a2- a2，34S2=S 正方形 ABCD-SA =a2- a2 1，3AOAB，S 菱形 ABCDS 正方形 ABCD，S 1S2- 7 -栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地
