旋转知识点归纳.doc

1、http:/ 1 旋转知识点归纳知识点 1:旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点 O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角; 如果图形上的点 P 经过旋转到点 ,那P么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图 1,线段 AB 绕点 O顺时针转动 得到 ,这就是旋转,点 O 就是旋转中心 ,09BA都是旋转角.OB,说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心; 二是旋转角 ;三是旋转方向.知识点 2:旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大

2、小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.对应点到旋转中心的距离相等.对应线段相等，对应角相等.例 1 、如图 2，D 是等腰 RtABC 内一点，BC 是斜边，如果将ADB 绕点 逆时针方向旋转到 的位置，则ACDA的度数是（ ） 253035 4分析:抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决.由 是由ADB 旋转所得,可知ADB ,CDA CDAAD= ,DAB = ,DAB +DAC= , +DAC= ,

3、AC 0909,故选 045OBABA图 1CDAB图 2http:/ 2 评注:旋转不改变图形的大小与形状,旋转前后的两个图形是全等的,紧紧抓住旋转前后图形之间的全等关系,是解决与旋转有关问题的关键.知识点 3:旋转作图1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质: 经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角 ,对应点到旋转中心的距离相等.3.掌握作图的步骤:(1

4、)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论 .例 2 如图 3，小明将 ABC 绕 O 点旋转得到 ，其中点 分别是CBA CBA、A、B 、C 的对应点.随即又将 ABC 的边 AC、BC 及旋转中心 O 擦去( 不留痕迹),他说他还能把旋转中心 O 及ABC 的位置找到,你认为可以吗?若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.分析:本题的关键是要学生先确定旋转中心的位置.根据“对应点到旋转中心的距离相等 ”这一特征，可推断

5、出旋转中心是对应点连线（ 和 ）的垂直平分线的交点 .这样旋转AB中心就可以确定了，从而ABC 的位置也就可以确定了.解：连接 ， ,分别作 ， 的垂直平分线，相交于 O 点，则 O 点即为旋转中ABAB心.再作 关于点的对应点 ,连接,则的位置就确定了.如图 4 所示 .C评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.考点 4:钟表的旋转问题钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针 12 小时旋转一周,CBA图 4CBAO图 3http:/ 3 则每小时旋转 这样时针每分钟旋转 分针每小时旋转一周,则每分钟旋转,30126;5.0.603例 3 从

6、1 点到 1 点 25 分,分针转了多少度角 ?时针转了多少度角?1 点 25 分时时针与分针的夹角是多少度?分析:从 1 点到 1 点 25 分,分针与时针都转了 25 分钟,所以分针旋转的角度为时针旋转的角度为 1 点整的时候，分针与时针的夹角为 ,分,50260 ;5.2.00 03针与时针分别同时旋转 与 后,分针与时针的夹角为5 .517.23050解:分针旋转的角度为 时针旋转的角度为;12600 ;0分针与时针的夹角为 .57.35000评注:(1) 时针每分钟旋转 ;(2)分针每分钟旋转 这两个条件是旋转问题中的隐含条. .6件,也是解决此类问题的突破口解读生活中的旋转一. 旋

7、转及其基本性质1.旋转的概念在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.2.旋转的基本性质(1) 旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;(2) 对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.3.理解旋转中的不变量图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度,图形在旋转过程中,图形中的每一点都按同样的方向旋转了相同的角度.图形在旋转后点的位置改变 ,但线段的长度不变,对应点到旋转中心的距离不变,每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等 .http:/ 4 总结:旋转过程中,每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度

8、,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等 .二. 旋转前后两个图形的比较图形是由点组成的,图形中的主要元素有线段和角,也有一些其他可度量的元素,所以从这两个方面加以分析.旋转的特点有以下几个方面:(1) 旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变,位置发生了改变;(2) 对应线段相等，对应角相等;(3) 每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角.三. 旋转作图1.旋转作图的依据是:图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点到旋转中心的距离相等.2.旋转作图的条件(1) 图形原来所在的位置 ;(2)旋转中心;(3) 图形旋转

9、的方向;(4)图形的旋转角度.3.旋转作图的具体步骤为:(1) 分析题目的要求 ,找出旋转中心、旋转角；(2) 分析所作的图形，找出构造图形的关键点；(3) 沿一定的方向，按一定的角度，通过攫取线段的方法，旋转各个关键点。连：即连图形中的每一个关键点与旋转中心；转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度；截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；为了避免作图时的混乱，每个点独立完成后，再进行下一个点的旋转；(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；(5)写出结论（方格纸内作图可以略写结论）.四.旋转作图的考查形式(1)已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；

10、(2)已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形；(3)已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形.五.典例剖析例 1 如图 1， 是等腰 内一点， 是斜边，如果将 绕点 逆时针DRtABC ABD方向旋转到 的位置，则 的度数是（ ）AC Dhttp:/ 5 2530 345解析：根据旋转性质可知ABD ，DACBAD= ，AD= ，DCABAD+CAD= ，09 +CAD= ， = ，故应选 A0045182评注：本题应用旋转性质得到两三角形全等，然后根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可.例 2 如图 2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是

11、（ ） 710814216解析：整个图形可以看作是图形的五分之一绕中心位置，按照同一方向连续旋转、 、 、 、 和原来图形共同组成的，所以本题应选 。7214602836评注：解决本题的关键是通过动手操作和动脑分析，找到“基本图案”，并分析得到旋转角，对本题来说，只要找到了“基本图案”，所有的旋转角一定都是 的倍数.72例 3 在如图 3 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形， 的三个ABC顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出 向平移 4 个单位后的 ；ABC 1ABC（2）画出 绕点 顺时针旋转 后的 ，并求点 旋转到 所经过 O902 A2的路线长分析:在

12、作图的时候要找到关键点的位置,本题有两步作图,第一步是平移,第二步是旋转,按照平移和旋转的作图步骤容易得到最后的图图 4图 3CADB图 1图 2http:/ 6 形.点 旋转到 所经过的路线长为以 为半径,圆心角为 的弧长.A2OA90解：（1）画出 （2）画出 1BC 2BC连结 ， ， O231A点 A 旋转到 所经过的路线长为 .213809l评注:在方格纸上作简单的旋转图形,旋转角度通常是 ,这样旋转前后图形的对应点与9旋转中心的连线互相垂直,实际上就是在方格纸上找垂线,再根据旋转的性质找线段相等，从而确定每个对应点.学好旋转的三个要点旋转在实际生活中随处可见因此，学好旋转的知识有利

13、于我们解决实际问题，学习时应注意把握好以下几点：一、正确理解旋转的概念在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心旋转不改变图形的形状和大小理解这个概念应注意以下两点：1旋转和平移一样，是图形的一种基本变换；2图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度例 如图 1， 是等腰直角三角形，ABC， 是 上一点， 经过旋转后到达 的位置90ABC， DACD ABE（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若 是 的中点，那么经过上述旋转后，点 旋转到了什么位置？PAPA CDBE P图 1http:/ 7 解：（1）点 是旋转中心；A（2

14、）顺时针旋转了 ；90（3）点 旋转到了 的中点PB二、掌握旋转的特征图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等；旋转前后图形的大小、形状都不发生变化例 2 如图 2 所示，是国际奥林匹克运动会会旗（五环旗）的标志图案，它是由五个半径相同的圆组成的，它象征着五大洲的体育健儿，为发展奥林匹克精神而团结起来，携手拼搏观察此图案，结合我们所学习的图形变换知识，完成下列题目：（1）整个图案可以看做是什么图形？（2）此图案可以看做是把一个圆经过多次什么变换运动得到的？解：（1）这个图案是轴对称图形（2）既可以看做是由一个圆经过 4 次平移得到的，又

15、可以看做是一个圆经过 4 次旋转得到的（你能分析吗，提示：旋转中心可以不在图案上） 三、会寻找旋转中心知道了旋转中心及旋转角，可以作出一个图形旋转后的图形那么知道一个图形及其旋转后的图形时，如何确定旋转中心呢？确定旋转中心的关键是确定两个图形上的两组对应点构成的对应线段的旋转中心，由旋转特征可知，这两组对应点的旋转中心就是整个图形的旋转中心由旋转特征可知，如果已知图形上点 关于旋转中心 的对应点是 ，则有AOA，所以点 必在线段 的垂直平分线上；如果图形上点 关于旋转中心 的对OAO BO应点是 ，则 ，所以点 必在线段 的垂直平分线上这样两个对应点 和BB以及 和 连线的垂直平分线的交点就是

16、旋转中心例 3 如图 3 所示，四边形 绕某点旋转后到四边形 ，你能确定旋转ACDABCD中心吗?试一试分析：我们可以用待定位置法假定点 就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的O距离相等，则有 ，从而 一定是线段 和线段 的垂直平分线的OAB， AB交点上图 2http:/ 8 解：如图 3 所示，连结 AB，分别作 的垂直平分线，两直线交于点 则点 就是旋转中心AB， O例 2 如图 4， 是等边三角形，点 分别是 的中点，四边形ABC DG，ABC，和四边形 都是正方形BDEFGHK（1）试确定正方形 绕某点旋转得正方形 的旋转中心EF（2）正方形 旋转多少度时可以与正方形 重合？BDEFA

17、HK分析：因为四边形 和四边形 都是正方形，所以情况较多，我们只选ABD择其中一个讲解，其它情况请同学们自己探索，欢迎你把自己的探索成果告诉我们解：（1）选择 和 作为对应线段（点 对应点 ，点 的对应点为点 ）BGHGDH连接 ，则易知 ，连接点 与线段 的中点 并延D，DBHBM长，连接点 与线段 的中点并延长，两直线相交于点 ，则有 垂直平分GO垂直平分 ，则点 就是旋转中心 为旋转角HO，BOG（2） ，150AG ，175NDH （对顶角） MG 又 ，所以 90O 15MO所以旋转角 230BG 所以当正方形 绕点 顺时针旋转 时，可与正方形 重合DEFGHKA图 1图 4http

18、:/ 9 旋转坐标新意多求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。这类问题新意颇多，下面举例说明，供同学们学习时参考1、求旋转 90后点的坐标例 1、如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1，4)，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 OA，则点 A的坐标是 分析：在平面直角坐标系中，先做出 OA 绕点 O 顺时针旋转 90后得到的线段 OA，然后根据点 A的特征求出点 A的坐标解：如图所示，做出 OA 绕点 O 顺时针旋转 90后得到的线段 OA，则 A的坐标为(4，1)规律总结：已知点 的坐标为 ， 为坐标原点，连结 ，将线段 绕点()ab， O按顺时针方向旋转 90

19、得 ，则点 的坐标为 ，将线段 绕点 按逆时针方O1A1()a， A向旋转 90得 ，则点 的坐标为 ，22()，2、求旋转 180后点的坐标例 2、在平面直角坐标系 中，已知点 A(2，3) ，若将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 180xOy得到 0A，则点 A在平面直角坐标系中的位置是在A 第一象限 B 第二象限 c 第三象限 D 第四象限http:/ 10 分析：将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 180得到 0A，则点 A与点 A 关于原点成中心对称，根据点 A 的坐标即可求出点 A的坐标，从而确定 A在平面直角坐标系中的位置解：因为 OA 绕原点 O 逆时针旋转 180得到 0A，所以

20、点 A与点 A 关于原点成中心对称，又因为点 A 得坐标为(2 ，3) ，所以点 A的坐标为（-2，-3 ） ，所以点 A在第三象限，选 C规律总结：已知点 的坐标为 ， 为坐标原点，连结 ，将线段 绕点()ab， O按顺时针方向（或逆时针方向）旋转 180得 ，则点 的坐标为 ， O11,)ab（3、求旋转 135后点的坐标例 3、点 A 的坐标为（ ，0） ，把点 A 绕着坐标原点顺时针旋转 135 到点 B，那么点2B 的坐标是 _ 分析：如图所示，在平面直角坐标系中，小格点正方形的边长为 1，在图中先通过旋转作图确定点 B 的位置，然后再求出它的坐标解：点 A 的坐标为（ ，0） ，则

21、点 A 在 x 轴的正半轴上，把点 A 绕着坐标原点顺时2针旋转 135 到点 B，则点 B 在第三象限且在第三象限的角平分线上，由于 OB=OA= ，2所以点 B 就在边长为 1 的格点正方形的顶点上，则点 B 的坐标为（ -1，1）BO A4、求多次旋转后点的坐标例 4、如图，在直角坐标系中，已知点 )0,3(A， )4,(B，对 OAB连续作旋转变换，依次得到三角形、，则三角形的直角顶点的坐标为 _http:/ 11 析解：认真观察图形可知，连续作旋转变换依次得到三角形的直角顶点的坐标为（0，0） ，三角形的直角顶点的坐标未知，三角形的直角顶点的坐标为（ 12，0） ，三角形的直角顶点的

22、坐标为（12，0） ，由此可见其中的规律：三角形的直角顶点的纵坐标总是 0，二横坐标每经过三次变换增加 12，依此类推三角形 的直角顶点的坐标为（36，0）点评：解决本题的关键是找出 OAB连续作旋转变换中三角形的直角顶点的坐标的变化规律，要求同学们具有一定的探索和想象能力。旋转常见错解剖析一、分析旋转作图时语言叙述不准确例 1 分析图 1 的旋转现象.错解：本题是由图案的 绕图案中心分别旋转4四次，每次旋转 90形成的.剖析：分析旋转图案的方法：（1）找准旋转图 案的基本图案，本题取图案的 或 ；（2）找出旋 图 11转中心；（3）算准旋转的角度.正解：是由一个梯形绕图案中心依次旋转 90，

23、180，270 而形成的，也可以看做是由两个相邻的梯形绕图案的中心旋转 180而形成的.二、弄错图形的旋转方向例 2 如图 2，将网格中的ABC 绕 C 逆时针旋转 90，画出旋转后的图形.A AA/A/B BB/ B/CCED图 2 图 3错解：作ACD=BCE =90并截取 CA/=CA，CB /=CB；连结 CB/、B /A/、CA /就得到了旋转后的图形CB /A/.剖析：这种作法显然没有注意到是逆时针方向旋转，同学们可以按照逆时针方向作http:/ 12 一下，看看是不是与图 3 所示一样.三、忽视分类讨论例 3 在ABC 中，B=45，C=60，将ABC 绕点 A 旋转 30后与A

24、B 1C1 重合，求BAC 1 的度数.错解：如图 4，因为在ABC 中，B=45，C=60，所以BAC =75.所以BAC 1=BAC +CAC 1=75+30=105.A A C1 B1 C B C C1 B1 B 图 4 图 5 剖析：本题将ABC 绕点 A 旋转 30，并未指明旋转方向，故应分两种情况，错解只考虑了一种情况.正解：当ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 30时，作法同错解；当ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 30时，如图 9，BAC 1=BBAC CAC 1=7530=45.四、对旋转角的概念理解不准确例 4 如图 6，P 等边BDE 是由等边ABC 经过旋转得到的.试判断旋转中心和旋转角及旋转方向.错解：等边BDE 是由等边ABC 绕旋转中心B 按逆时针方向旋转ABE 的度数形成的.剖析：错误的原因在于没有正确找出对应线段，从而把旋转的角度弄错了.正解：BDE 是由等边ABC 绕旋转中心 B 按逆时针方向，旋转DBA 的度数形式的.五、旋转作图中，找不准关键点，错用旋转的性质例 5 如图 7 所示，请将方格纸中的图形以点 O 为旋转中心，顺时针旋转 90，再向左平移两格，你能作出相应的图形吗？错解：如图 8 所示.剖析：未找准关键点关于旋转中心的对称点.正解：如图 9 所示.BE ACD图 6http:/ 13 O O O图 7 图 8 图 9