1、初一数学竞赛系列讲座(13)角的认识一、一、知识要点具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。二、二、例题精讲例 1 例 1 如图，已知 O 是直线 AC 上一点，OB 是一条射线， OD 平分AOD，OE 在 BOC 内，BOE 21EOC，DOE70，求 EOC 的度数。分析：易得 EOC 32BOC，而 BOC +AOB180，结合 OD 平分 AOB，可作BOC 平分线，结合 DOE 可求出 BOC，从而求 EOC 的度数解：作 BOC 平分线 OF，则BOF COF 21BOC OD 平分 AOB AODDOB 21AOB又
2、 BOC + AOB180 DOB+BOF90 即 DOF 90 EOFDOF- DOE20又 EOFBOF-BOE而 BOF 21BOC， BOE 31BOC EOF BOC- BOC 6BOC BOC6 EOF120 EOC 32BOC 12080即 EOC80例 2 例 2 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（ ）A锐角 B直角 C钝角 D不能确定分析：设该锐角为 ，它的余角（90- ）的补角 应为 180-（90- ）90+，与 的差（90+）-90 故选 BA COBDE F例 3 例 3 已知 的余角是 的补角的 51，110，求 的范围。分析：显然 是锐角，由互余和互补的定义及
3、条件可求出 与 的关系，再由 的范围，可求出 的范围。解： 的余角为 90-， 的补角为 180-由题意，得 90- 51（180-） 5-270 110 5-270 110 76又由条件知 为锐角 90故 的范围是 7690评注：本例把 转化到 进而求出 的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略 90这一条件。例 4 例 4 当时间是 2 点 32 分时，时针与分针的夹角是多少度？解：时针每小时转 1 大格，即 30，所以每分针转 0.5，而分针每分转 6，当时针指向整点时，分针指向 12 点。因此，我们以指向 12 点作为角的始边，在 2 点 32 分时，时针与 12 点构成的角度是 2
4、30+320.576分针与 12 点构成的角度是 326192，从而，2 点 32 分时，时针与分针的夹角是 192-76116评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于 180时，则需用 360减去这个角，例如：2 点 50 分时，按上述方法求得的角是 506-(230+500.5)=300-85=215180则时针与分针的夹角为 360-215145（2）对于确定的时间，例如 x 点 y 分时，试写出用 x、y 表示时针与分针的夹角的表达式。例 5 例 5 如图射线 OA 表示北偏东 60，射线 OB表示东南方向，BOC 是AOB 的余角，射线 OD是射线 OC 的反向延长线，写出射线
5、OD 所表示的方向。解：AOB=30+45=75AOB 的余角BOC=90-75=15OC 表示南偏东 30，OC 的反向延长线 OD 所表示方向是北偏西 30评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线 OC 就有在AOB 外部和内部两种不同位置，求 OD 的方向也就需要分两种情况求解。例 6 例 6 如图，OA 1，OA 2，OA 10 是以 O 为端点的十条射线，A 1OA1090，则图中以 O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？解法一：以 O 为端点，以十条射线 OA1，OA 2，OA 10 的任意两条为边组成的角，取决东 东东东OABCDA1oA2A10 于从十条射线
6、 OA1，OA 2，OA 10 中选出两条配成的对数。共有 9+8+7+6+5+4+3+2+145 对，所以图中以 O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有 45 个。评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA 2，OA 10 于 A1，A 2，A 10，则每一个角对应于A1 A10 上的某一条线段。反过来，A 1 A10 上的每一条线段又对应于某一个角，如A 4OA6，它对应线段 A4A6，而线段 A4A6 恰好对应线段于A 4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数 A1
7、A10 上的线段数即可，而 A1 A10 上的线段数有 9+8+7+6+5+4+3+2+145 条因此，图中共有 45 个角例 7 例 7 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD 相交于 O，则 AOC 与 BOD 成对顶角。设 OE、OF 分别为AOC、 BOD 的平分线， AOE= 21AOC BOF= 21BOD 且 AOC=BOD AOE=BOF又 BOF+FOD+DOA=180 AOE+FOD+DOA=180即 EOF=180 OE、OF 在同一直线上。评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题例 8 例 8 已知：直角 AOB
8、，以点 O 为端点在 AOB 的内部画出 1995 条射线，以 OA、OB 及这些射线为边的锐角的个数是多少？解：设以 O 为端点在 AOB 的内部画出的 1995 条射线逆时针方向分别为射线OP1，OP 2，OP 3，OP 1995则以 OA 为始边，逆时针方向旋转，形成 1995 个锐角（终边分别为射线OP1，OP 2，OP 3，OP 1995）以 OP1 为始边，逆时针方向旋转，形成 1995 个锐角（终边分别为射线OP2，OP 3，OP 1995，OB）以 OP2 为始边，逆时针方向旋转，形成 1994 个锐角（终边分别为射线OP3，OP 4，OP 1995，OB）以 OP1995 为
9、始边，逆时针方向旋转，形成 1 个锐角（终边为射线 OB） 共有 1995+1995+1994+1993+2+11993005（个）三、三、巩固练习选择题ABO MCN第 2题OA10A4A1A6ABCDE FO1、两个角 ,a的补角互余，则这两个角的和 a的大小是A.180 B.135 C. 270 D.902、如图，OM 是 AOB 的平分线，射线 OC 在 BOM 内部，ON 是 BOC 的平分线，已知 AOC80，则 MON 为 （ ）A30 B40 C45 D503、已知一个直角 ,AOB以 为端点在 ,AOB的内部画 10 条射线，以 ,以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。
10、（A）110 （B）132 （C）66 （D）654、O 是直线 AB 上的一点， AOD120，CO AB 于 O ，OE是 BOD 的平分线，则图中彼此互补的角共有（ ）A4 对 B5 对 C 6 对 D7 对5、一张长方形的纸 ,如图将 角折起到 E处，作EFB 的平分线 HF，则 G的大小是（ ）（A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定6、当时间是 3 点 40 分时，时针与分针的夹角度数是（ ）A110 B130 C120 D150 第 5 题填空题7已知角 a 的补角等于角 a 的 3.5 倍，则角 a 等于度。8如图， AOE是一条直线， COEA，OB、 OD 分别是
11、 C、 角平分线则图中的钝角共有个。9不相等的两角 和 的两边分别平行，其中 角比 角的 3 倍少 200，则 a的大小是。 第 8 题10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东 30，那么，从灯塔看，船的方向在。11、O 为平面上一点，过 O 在这个平面上引 2001 条不同的直线l1，l 2，l 3，1 2001，则可形成 对以 O 为顶点的对顶角。12、图中三角形的个数是 。解答题 13、一个角的余角的 2 倍和它的补角的 2互为补角，求这个角的度数。 (第 12 题)14、如图所示的五角星形中共可数出多少个三角形。15、 ABC 是锐角三角形，D、E、F 分别为 BC、AC、AB
12、 上的点，连 DE、EF 、DF，图中大于 0小于 180的角有多少个？BOC DE第 4题ABCDE F第 17题AB CDEFABCDEF第 16题第 15 题16、如图，求 A+B+C+D+E+F 的值。17、如图，BE、DE 是 ABC、ADC 的角平分线求证：E= 21(A+C)18、某人下午 6 点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是 110，近 7 点钟返回时，发现时针与分针的夹角又是 110，则此人外出共用了多少时间？19、证明：一个锐角一半的余角的 2 倍，减去这个锐角 2 倍角的补角，仍等于原角。20、已知 AOB 是 120，以 O 为端点在 OA 与 OB 之间作射线使它们与 OA、OB 之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？
