1、第七章 线性变换一、线性变换及其运算1、变换 集合到自身的映射称为变换。2、线性变换的定义 是数域 上线性空间 的一个变换，如果PV（1） ,都有 ；V,()（ ） （ ）（2） 都有 ,k， ()k（ ）那么，称 是 的一个线性变换。特别的，有 零变换 ： ；O,()0V单位变换（恒等变换） ： ；)(，数乘变换 ： 。,(),kP3、线性变换的运算设 是数域 上线性空间 的线性变换，,PVk1）加法 ；2）数乘 ；)()( )()(k3）乘法 ；4）逆变换 是 的线性变换，如果有 的线性变换 ，使得VV,( 是 的单位变换)，那么称 是 的逆变换。V4、线性变换的性质1） ；2） ；0)(
2、 )()(, V3） 其中 ；11(),ssi iii ikk,1,2.)iikPis4）若 线性相关，则 也线性相2,.,s12(),(),.(s关；但当 线性无关时， 未必线性无关。1s ,.)s5、线性变换的矩阵1）设 是数域 上 维线性空间 的一组基， 是 中的12,n PnVV一个线性变换。基向量的象可以被基线性表出： 11212 212,.nnnnaaaa 用矩阵来表示就是（1）121212(,)(,)(,)n nnA 其中：1122212nnnaaAaa矩阵 称为 在基 下的矩阵。,2）设 是数域 上 维线性空间 的一组基，在这组基下，每12,n PV个线性变换按公式（1）对应一
3、个 的矩阵。这个对应具有以下性质：n（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数乘对应于矩阵的数乘；（4）可逆的线性变换对应于可逆矩阵，且逆变换对应于逆矩阵。3） 维线性空间 中全体线性变换的集合记为 是数域 上nV(),LVP维的线性空间。26、线性变换下的坐标变换公式设 是线性空间 的一组基， 在此基下的矩阵为 ， 中12,n VAV向量 在此基下的坐标为 ， 关于这组基的坐标为),.(21nxx)(，则),.(21nyy1122.nnyxAyx7、同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系相似关系1）设 和 是 的两组基，基到基的12,n 12
4、,.,nV过渡矩阵为 ，若线性变换 在基 下的矩阵为 ，在基下的矩阵为 ，TAB则 。AB12）设 是数域 上两个 级矩阵，若存在数域 上 级可逆矩,PnPn阵 ，使得 ，则称 相似于 ，记为 。TT1ABBA3）相似矩阵可以看做同一个线性变换在不同基下的矩阵。二、线性变换的值域、核及不变子空间1、定义 是数域 上的线性空间， 是 的一个线性变换VPV1） 的值域 维 称为 的秩。|,()2） 的核 ，维 称为 的核。1(0),|0,V1(0)3） 的不变子空间 设 是 的一个子空间，若 ，则称WW)(是 的不变子空间，记为 -子空间。W2、有关结论1）若 为 维线性空间， 是 的一个线性变换
5、，则 VnV1dim()di(0),n即 的秩 的零度.2）若 在 的基 下的矩阵是 ,则V12.,n， ， Ai) ；()(),(,.()Lii) 的秩 的秩。A3） 和 是 -子空间。()V1(0)4）线性变换 是单射 。1(0)5）若 是有限维线性空间，则 能分解为 -子空间的直和 在 的VV某一组基下的矩阵为准对角阵。三、线性变换的特征值和特征向量1、基本概念设 是数域 上的 维线性空间， 是 的线性变换， ，若存VPnVP0在 使得 则称 是线性变换 的特征值，,0,)(00是属于特征值 的特征向量。若 在 的某组基下的矩阵是矩阵 ，于是 则 也称为VA,00的特征值，非零向量 也称
6、为 的特征向量。A级 -矩阵 称为矩阵 （线性变换 ）的特征矩阵；n）（ E的 次多项式 称为矩阵 （线性变换 ）的特征多项式；nAE的 次方程 称为矩阵 （线性变换 ）的特征方程。()0XA2、特征多项式的定义1）设 是数域 上的 级矩阵， 是一个文字。矩阵 的行列APnEA式 11212 212nnnnaaEA称为 的特征多项式，这是数域 上的一个 次多项式。AP2）Hamilton-Cayley 定理设 是 的特征多项式，则()fEA。112()()()0n nnf aaA 3）相似矩阵有相同的特征多项式，即若 ,则 。AB:BE但反之不真。3、特征值与特征向量的性质1）设 是 的全部特
7、征根（ 重跟按 个计） ，则n,21 Ak，)(212 ATaarnn 1.n2） (或方阵 )的属于不同特征值的特征向量线性无关。A3）若 是 的特征值，则 是 的特征值（ ） ， 的特征kAPkttA是值（ ） ， 是 的特征值。Zt()f()f4） （或 级矩阵 ）可逆 （或 ）的特征值全不为 0，且当n可逆时，若 是 的特征值，则 是 的特征值。115）若 是线性变换 或 的特征值，则属于 的所有特征向量及零0()A0向量构成 的一个子空间，称为 或 的关于特征值 的特征子空间，记为V。0为 的解空间的维数。0dim()00EAX（ ）6）若 是线性变换 的全部互异特征值，则特征子空间的和12,.,s， 是直和，若维 维 维 则12.SVV1V（ ） 2.（ ） sVn（ ） ，且 的基的解是 的一组基，12.,S(,)i s在此基下， 的矩阵为对角矩阵。7）特征多项式降级定理在数域 上，设 则 有P,(),mnnmABP0P， ，。BAEEn4、线性变换在某组基下为对角矩阵的条件设 是一个数域， ， 是 的所有互异特征值，PnAP12,s则下列命题等价：（1） 与数域 上的对角阵相似；（2）在 中， 有 个线性无关的特征向量；nPAn（3） 的重数 ，且维 的重数，1(sii)()iiV，即 。(,2.)is1dim()isi n
