1、正弦、余弦的图象和性质【考纲要求】1、会用“五点法” 画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义.2、理解正弦函数、余弦函数在区间 的性质（如单调性、最大和最小值、与 轴交点等）,理0,2x解正切函数在区间 的单调性.(,)2【知识网络】应用三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质正切函数的图象与性质【考点梳理】考点一、 “五点法”作图在确定正弦函数 在 上的图象形状时，最其关键作用的五个点是 ， ，sinyx0,2 (0,),12， ，(,0)3,-1)2(,)考点二、三角函数的图象和性质名称
2、sinyxcosyxtanyx定义域RR|,2kZ值域1,1,(,)图象奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单单调增区间: 单调增区间: 单调增区间：调性( )2,2kkZ单调减区间:3,)kZ( )2,kkZ单调减区间: ( )( ),(,)2k)周期性2T2TT对称性对称中心: ,(0)kZ对称轴: ，2x对称中心: ,(0)kk对称轴: , xZ对称中心: ,(0)2kk对称轴：无最值时，,kz；max1y时，32,kzmin1y 时，2,kz；max1y时，,zmin无要点诠释：三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性
3、质巩固图象三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题.考点三、周期一般地，对于函数 ，如果存在一个不为 0 的常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时，都有()fxTx，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在(+)=fxTf的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.要点诠释：应掌握一些简单函数的周期：函数 或 的周期 ；sin()yAxcos()yAx2T函数 的周期 ；ta()T函数 的周期
4、；sinyx=函数 的周期 .tanyx=T【典型例题】类型一、定义域例 1求函数 的定义域.21logsinyx【思路点拨】根据要使偶次根式有意义只需偶次根式下大于等于零即可，同时对数要有意义，再结合单位圆中的三角函数线解不等式即可.【解析】为使函数有意义，需满足 ，解得 ，由单位圆，如图所示：21log0,sin.x1sin2x故函数的定义域为 .5|2,|22,66xkkZxkxkZ【总结升华】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”.在求解三角函数中，我们可以在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.举一反三：【变式】求函数 的定义域.2sincos
5、1yx【解析】为使函数有意义，需满足 ，即 ，2is0x2cos10x解得 ，由单位圆，如图所示：1cos2x函数的定义域为 .22| ,33xkxkZ例 2求函数 的定义域.sin5log(1)y【思路点拨】只需 ，同时对数要有意义，即底 且 ，真数20sin0xsi1.2sin10x【解析】由题有 01sin2i52x)(2)(6565Zkxkkx将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于 x-5,5，故下面的不等式的范围只取落入-5，5之内的值，即：因此函数的定义域为： 3755,)(,)(,)(,)2626【总结升华】sinx 中的自变量 x 的单位是“ 弧度”，x
6、R，不是角度.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化.求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三：【变式 1】求函数的定义域：（1） ； （2） .2logtanyxtan()si4lg2co1xy【解析】 （1）要使得函数有意义，需满足 ，04ltan2xxk解得 或 ，20x4x定义域为： .(0,),（2）要使得函数有意义，需满足 42sin02co1xkx解得 2,3kxkZ定义域为： .| ,xk【变式 2】已知 的定义域为 ，求 的定义域.()f0,1(cos)fx【解析】 中 ， 中 ，()fx0,1
7、(cos)fx0,1解得 ，22,kkZ 的定义域为： .(cos)fx |2,xxkZ类型二、值域例 3.求下列函数的值域：（1） （2） sincoyxcos3inyx(,)63x【思路点拨】 （1）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大值与最小值，注意自变量的取值范围.【解析】 （1）根据 可知 ，1sincosin2xx12y故函数的值域为 .32y（2） ，cosinsi()6xx由 知 ，由正弦函数的单调性可知 ，6351sin()126x故函数的值域为 .12y【总结升华】形如 或 ，可根据 的有界性
8、来求最值；形如sin+axbcos+yaxbsi,cox或 可看成关于 的二次函数，但也要注意它与二2sin+iyaxbc2oyn次函数求最值的区别，其中 ；形如 可化为si1,csxsicyaxb（其中 ）的形式来确定最值.2si()yxtan=b举一反三：【变式】已知 且 ，求函数 的值域.40xtan()2yx【解析】 ,且 ， 且 ，34x由正切函数的单调性可知 或 ，1y故函数的值域为 .或类型三、奇偶性例 4.判断下列函数的奇偶性：（1） （2）(=sinco)fx） 1-sin(=+xf）【思路点拨】 （1）先观察定义域为 R，再判断 f(x)与 f（-x）的关系，可得答案；（2
9、）先观察定义域，注意到定义域区间不关于原点对称，易得出答案.【解析】 （1）函数的定义域为 R，(-=sinco(-)sic)=(fxxfx）是偶函数.（2）由题意有 ，故 ，所以函数的定义域为 ，1+sin0x-1sinx 32-xRk且显然函数的定义域区间不关于原点对称，所以函数 既不是奇函数也不是偶函数.1-sin(=+fx）【总结升华】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。判断函数奇偶性常见步骤：判定定义域是否关于原点对称；判定 f(x)与 f（-x）的关系.举一反三：【变式】判断函数 的奇偶性.5(=cos2+)fx）【解析】 ， -inx(- sin(-)i()fxx
10、f）故 是奇函数.5=co2+类型四、周期性例 5. 求下列函数的周期：（1） ；（2）2cosinyxtan36yx）（【思路点拨】运用公式化简转化为熟悉的三角函数的周期.【答案】 （1） ；（2）T3T【解析】 （1） ， 周期为 ；2=coscosinxyx2T（2）函数 的周期 ， 周期为 .ta()A0,A（ ） 3T【总结升华】 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为 1 的形式，比如 或 的形式，否则很容易出现错误.sin()yxtan()yx函数 或 的周期 ，函数 的iAcosA2Ttan()yAx周期 .T举一反三：【变式】求函数的最
11、小正周期（1） ； （2） ； （3）sin()3yxsincoyx2(sinco)syxx【解析】 （1） ，周期为 ；4|T4（2） ，周期为 ；cosin2si()yxx2（3） ，周期为 .csin()4x类型五、单调区间例 6求函数 的单调区间.=-sin(+)4yx【思路点拨】借助正弦函数图象及含有绝对值的函数图象的画法，来帮助分析.【解析】令 ，则 ，4Xx-sin()= -sin4yxX函数 的周期为 ，且图象如图所示：= -siny显然，当 时， 单调递减；+,2kXkZ= -sinyX当 时， 单调递增；+ 2当 时， 单调递减；,42kxk-sin(+)4yx当 时， 单
12、调递增；+,2Z=-i()故 的单调递减区间为 ；单调递增区间为=-sin()4yx-,+,4kkZ.3(+,kkZ【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出来的.举一反三：【变式】求函数 的单调区间：2=sin-i+yx【解析】令 ，则 ， 且X22=(1)X1X显然函数 在 始终是单调递减的，2(1)y所以 时， 单调递增， 单调递减；-,+xksinx2sin-i+yx时， 单调递减， 单调递增；322=X=故 单调递减区间为 ；单调递增区间为=sin-iyx2-,+,2kkZ.+,2kkZ类型六、综合例 7. 已知函数 ，(sin-co)si2)xxf（1）
13、求 的定义域及最小正周期；(fx（2）求 的单调递增区间.)【思路点拨】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式， （1）直接求出函数的定义域和最小正周期 （2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可【解析】 （1）由题知 ，即 ，sin0xk所以 的定义域为 ，()fx,Zi-co)i2=si-co21=sin(2-) 1sn4xxx .2=T（2）由 ，即 ， 单调递增，-+2-+4kk3-+88kxk()fx故 的单调递增区间区间为 .()fx,Z【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为 或sin()+yAxB的形式进行. 求三角函数的最
14、小正周期，一般运用公式 来求解；注意三角cos()+yAxB 2T函数的单调性的求解.举一反三：【变式 1】 函数 ( )的最大值为 3， 其图像相邻两条对称轴之间的()sin()16fxAx0,A距离为 2(1)求函数 的解析式；()fx(2)设 ，则 ，求 的值0,()2f【解析】(1)函数 f(x)的最大值为 3，A13，即 A2函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，最小正周期 T2故函数 的解析式为fx=2sin()1.6yx(2) ，即()sin()16f. 02）,3 ， 故=6.【变式 2】已知函数 ()cos2)sin()si()34fxx（1）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数 在区间 上的值域.()fx,12【解析】 （1） cos()sin()si()34xxiicoincos2x2213cosinsixx2icosin()6x 的最小正周期)fT2由 ，得2()xkZ()3kxZ函数图象的对称轴方程为：（2） 5,2,163xx因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，()sin)f12,32所以当 时， 取最大值 1，3x(fx又 ，()122ff当 时， 取最小值 ,x()fx3所以函数 在区间 上的值域为 . ()f,12,12
