基于团体赛出场阵容的优化模型.doc

1、基于团体赛出场阵容的优化模型摘要体坛界团体赛的出场阵容安排问题已经成为当代社会的热点问题。在已知比赛项目规定的选手人数、团队的总人数等基本数据的条件下，建立了团体赛出场阵容安排问题的 0-1 规划模型，得到了出场阵容的结果。模型一：针对问题一（1） ，要以选手的各单项得分的最悲观情况计算该团队尽可能高的总分并安排出场阵容，建立 0-1 规划模型。利用 Lingo 求解，解得该队的团体最高总分为 212.3 分，出场阵容安排为：运动员 2，5，6，9 参加四项全能比赛；运动员 1 参加跳马比赛；运动员 3 参加自由体操；运动员 4 参加平衡木和跳马比赛；运动员 7 参加高低杠比赛；运动员 8 参

2、加平衡木比赛；运动员 10 参加高低杠和自由体操。模型二：针对问题一（2） ，要以选手的各单项得分的均值计算该团队尽可能高的总分并安排出场阵容，建立 0-1 规划模型。仍利用 Lingo 求解，解得该队的团体最高总分为 225.1 分，出场阵容安排为：运动员 2，3，9，10 参加四项全能比赛；运动员 1，4 参加跳马比赛；运动员 5，8 参加平衡木和自由体操；运动员 6，7 参加高低杠比赛。模型三：针对问题二（1） ，要为该队排出一个夺冠的出场阵容，但要保证夺冠的团体总分估计为不少于 236.2 分，建立规划模型，并以正态分布函数模拟得分与概率和关系。同样用 Lingo 求解，对于问题二（1

3、） ，解得该队表现最好时的团队总分为 236.2 分，该队的得分均值为 223.75 分，用 MATLAB 求解该队夺冠的概率为 1.9425*10(-8)。该队的出场阵容安排为：运动员4，8，9，10 参加四项全能比赛；运动员 1 参加平衡木和跳马比赛；运动员 2参加跳马比赛；运动员 3，5 参加自由体操；运动员 6 参加高低杠比赛；运动员7 参加高低杠和平衡木比赛。模型四：对于问题二（2） ，在模型三的出场阵容下，通过正态分布函数模拟分析它有 90的把握战胜怎样水平的对手，解得该队以 90%的把握能战胜团队总分为 220.85 分的对手。以上建立的模型同样适合解决露天矿生产的车辆安排、消防

4、车的调度等问题。本文最后对模型的优缺点作出了分析。关键词: 得分概率模拟 0-1 规划模型 Lingo 软件 正态分布函数一、问题重述一场女子体操团体赛由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成。根据赛程规定，每个队至多允许 10 名运动员参赛，每一个项目可以有 6 名选手参加。每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，且参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有 4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和。问题一：（1）按每个选手的各单项得分的最悲观情况估算，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。（2

5、）按每个选手的各单项得分的均值估算，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。问题二：（1）根据以往资料及近期各种信息的反映，本次夺冠的团体总分估计为不少于 236.2 分，为该队排出一个夺冠的出战阵容，分析其夺冠的前景、得分前景（即期望值） 。（2）若以该阵容出战，它有 90的把握战胜怎样水平的对手。二、问题分析与建模思路女子体操团体赛有 4 项比赛项目，赛程规定每个队最多允许 10 名运动员参赛，每一个项目可以有 6 名选手参加。因为每个代表队的总分是所有参赛选手所得总分之和，若要使该团队的总分尽可能高，则该队的 10 名队员都必须参赛，且每个项目都有 6 名队员参加。对于问题一，在

6、按每个选手各单项得分的最悲观情况和均值估算的前提下，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。但因为赛程规定的约束，每个运动员只能参加全能比赛或单项比赛中的一类。所以需要设定一个 0-1 变量 jb，当运动员参加全能比赛时，记为 1；当运动员参加单项比赛时，记为 0。即： ， 运 动 员 参 加 全 能 比 赛， 运 动 员 参 加 单 项 比 赛10jb对于问题二（1） ，该队想要夺冠，其选手出场阵容团体总分必须不少于236.2 分，但超过 236.2 分的出场阵容也许有多种，所以需要在超过 236.2 分的众多阵容中寻找一个分数超过 236.2 分的概率最高的阵容，也就是夺冠概率最高

7、的阵容。对于问题二（2） ，要计算该队能有 90的把握战胜怎样水平的对手，则需计算出该队在问题二（1）的出场阵容下，分数在 90处的值，即此值是该队可战胜的对手的分数。针对不同的问题要求，再建立相应的规划模型。三、基本假设与符号说明3.1 基本假设假设一：该团队 10 名运动员都参加比赛，中途也没有出现意外退赛现象。假设二：有 4 人参加全能比赛，其余运动员都参加单项比赛。假设三：每个项目都有 6 名选手参加。假设四：每个选手参赛时的成绩及其相应的概率都和测试时一致。3.2 符号说明符号 含义i 第 i项比赛项目j 第 j名运动员jb 0-1 变量ijL 第 j名运动员参加第 i项比赛项目ij

8、M 第 名运动员参加第 项比赛项目的得分 ijP 第 j名运动员参加第 i项比赛项目得分的概率ij 第 名运动员参加第 项比赛项目得分的均值所有运动员参赛总成绩的均值 ZM所有运动员参赛总成绩的均值之和ijD选手得分方差 ZD 选手得分方差之和 四、模型的建立与求解4.1 模型一4.1.1 模型一的建立针对问题一（1） ，要以每个选手各单项得分最悲观的情况来计算该团队尽可能高的总分，建立模型一。目标函数：该团队总分为所有选手参赛项目按最悲观的单项得分求和 ijijiMLZ*max410约束条件：约束一：全能比赛只允许 4 个人参加，所以 10jb约束二：每一个项目至多只能有 6 个选手参加,所

9、以10jiL约束三：由于每个运动员只能参加全能比赛或单项比赛，于是引进一个 0-1 变量 jb， 运 动 员 参 加 全 能 比 赛， 运 动 员 参 加 单 项 比 赛10jb建立函数 )(jf，令 ）赛 时 ， 函 数 取 值 为（ 当 运 动 员 参 加 单 项 比， ）赛 时 ， 函 数 取 值 为（ 当 运 动 员 参 加 全 能 比， 101 0jjbf jjii bL*4413)(41ijjf另外， ).(jiL也取 0-1 变量。综上所述，建立 0-1 规划模型：ijijiMLZ*max41001)( 01,.2;4,31,)(*,.;,4,321,6,.4110jjjjiji

10、 jjiijijbf jibfLjiLibts，或(1)4.1.2 模型一的求解通过 Lingo 软件对模型一进行求解，得出该队按最悲观的单项得分情况计算的团体最高总分为 212.3 分，出场阵容结果见表 1（注:1 所在位置对应表示某名运动员参加某项比赛项目）：表 1由上表结果可得到以下结论：该团队 10 名运动员出场阵容安排为：结论 1 运动员 2，5，6，9 参加四项全能比赛；结论 2 其他运动员参加单项比赛，其中：运动员 1 参加跳马比赛；运动员 3 参加自由体操；运动员 4 参加平衡木和跳马比赛；运动员 7 参加高低杠比赛；运动员 8 参加平衡木比赛；运动员 10 参加高低杠和自由体

11、操。项目运动员1 2 3 4 5 6 7 8 9 10高低杠 1 1 1 1 1 1平衡木 1 1 1 1 1 1跳马 1 1 1 1 1 1自由体操 1 1 1 1 1 14.2 模型二4.2.1 模型二的建立针对问题一（2） ，要以每个选手各单项得分的均值来计算该团队尽可能高总分，建立模型二。选手得分均值为4*32*1MPPM 目标函数：该团队总分为所有选手参赛项目按单项得分均值求和 410maxijijiLZ约束条件与模型一相同。建立以下 0-1 规划模型：410*axijijiMLZ01)( 01,.2;4,3,)(*1,2,6,3,.10jjjjijjijjbf jifLbibts，

12、或（2）4.2.2 模型二的求解通过 Lingo 软件对模型二进行求解，得出该队按单项得分均值计算的团体最高总分为 225.1 分，出场阵容结果见表 2（注：1 所在位置对应表示某名运动员参加某项比赛项目）：表 2项目运动员1 2 3 4 5 6 7 8 9 10高低杠 1 1 1 1 1 1平衡木 1 1 1 1 1 1由上表结果可得到以下结论:该团队 10 名运动员出场阵容安排为：结论 1 运动员 2，3，9，10 参加四项全能比赛；结论 2 其他运动员参加单项比赛，其中：运动员 1，4 参加跳马比赛；运动员 5，8 参加平衡木和自由体操；运动员 6，7 参加高低杠比赛。4.3 模型三4.

13、3.1 模型三的建立针对问题二（1） ，该队想要夺冠，其选手出场阵容团体总分必须大于或等于 236.2 分，且需要在超过 236.2 分的众多阵容中找到一个均值最高的阵容。建立模型三：选手得分均值总和为： ijijiZML*410选手得分方差为： 41024kij ijkijijD选手得分方差总和为： 410*ijijizDL目标函数：该团队总分为所有选手参赛项目按单项得分均值求和 dxePZDM2.362max将目标函数进一步转化为： Z.in约束条件与模型一、二相同。综上，建立以下规划模型：ZDM2.36min跳马 1 1 1 1 1 1自由体操 1 1 1 1 1 101)( 01,.2

14、;4,31,)(*,.;,4,321,6,.4110jjjjiji jjiijijbf jibfLjiLibts，或（3）4.3.2 模型三的求解通过 Lingo 软件对模型三进行求解：对于问题二（1） ，解得该队表现最好时的团队总分为 236.2 分，该队的得分期望为 223.75 分。为该队安排的出场阵容如表 3 所示（注：1 所在位置对应表示某名运动员参加某项比赛项目）：表 3由上表结果可得到以下结论:该团队 10 名运动员出场阵容安排为：结论 1 运动员 4，8，9，10 参加四项全能比赛；结论 2 其他运动员参加单项比赛，其中：运动员 1 参加平衡木和跳马比赛；运动员 2 参加跳马比

15、赛；运动员 3，5 参加自由体操；运动员 6 参加高低杠比赛；运动员 7 参加高低杠和平衡木比赛。再通过 MATLAB 软件对模型三进一步求解：得到该队夺冠的概率为 1.9425e-008,体操对夺冠概率图如下：图一项目运动员1 2 3 4 5 6 7 8 9 10高低杠 1 1 1 1 1 1平衡木 1 1 1 1 1 1跳马 1 1 1 1 1 1自由体操 1 1 1 1 1 1图一结论 1：从概率图中可以看出该队夺冠总分超过 236.2 的概率非常小。4.4 模型四：4.4.1 模型四的建立：在模型三的阵容安排下，要求它有 90的把握战胜怎样水平的对手。即求它有 90%的概率达到多少分。

16、即对正态分布函数：dxepzDM2.36219.04.4.2 模型四求解：查表对正态分布函数求解，解得，x=220.85通过 MATLAB 编程得到该队以 90%的概率打败对手的概率图如下：图二图二结论1:它有90的把握战胜总分不超过220.85水平的对手。五、模型的优缺点优点：（1）用 0-1 变量能较快地定位出哪个运动员参加哪项比赛项目；（2）使用 Lingo 编程，结构清晰明了，三维决策变量构造巧妙，适合解决此类型问题。（3）使用 MATLAB 编程得到概率密度函数分布图，使结果的定性分析更加清晰明了。缺点：（1）没有考虑运动员的心态对比赛成绩的影响。六、参考文献1 陈伟. 0-1 二次规划的全局最优性条件及算法D. 上海大学 20052 尹伟. 系统论视角下的篮球场上队员配置策略研究J. 体育科技文献通报. 2008(01)3 梅正阳，韩志斌.数学建模教程.北京：科学出版社，2012.4 杨启帆.数学建模.北京：高等教育出版社，2005.