1、1第 7 章 稳恒磁场我们已经知道,在静止电荷的周围存在着电场.当电荷运动时,在其周围不仅有电场,而且还存在磁场.本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电荷(电流)的作用 .7.1 磁场 磁感应强度一、磁场人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前 6 世纪),我们的祖先就已有“磁石召铁”的记载；宋朝发明了指南针,且将其用于航海.我国古代对磁学的建立和发展作出了很大的贡献.早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两类截然分开的现象,直到 18191820 年奥斯特(H.C.Oersted,17771851)发现电流的磁效应后,人
2、们才认识到磁与电是不可分割地联系在一起的.1820 年安培(A.M.Ampere,17751836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进一步提出了分子电流假设,即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷),一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流.这种环形电流称为分子电流.安培的分子电流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合.关于物质磁性的量子理论表明,核外电子的运动对物质磁性有一定的贡献,但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩.与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似,磁相互作用力是通过磁场来进行的.一切运动电荷(电流) 都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的
3、运动电荷(电流 )产生磁力作用 ,其关系可表示为 )()( 、 磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在：进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用；载流导线在磁场中运动时,磁场对载流导线要作功,即磁场具有能量.二、磁感应强度1 磁感应强度为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度.它可根据进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论.实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律：(1) 磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时 N 极的指向一致.我们将这一方向规定为 磁感应强度的方向.2(2) 运
4、动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点的磁场与速度方向所确定的平面,如图 7.1 所示.受力的大小,不仅与试探电荷的电量 、经该点时的速率 以及该点磁场0q的强弱有关,还与电荷运动的速度相对于磁场的取向有关,当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为零；当沿与磁感应强度垂直的方向运动时,其受力最大,用 表示.maxF(3) 不管 、 和电荷运动方向与磁场方向的夹角 如何不同,对于给定的点,比0q值 不变,其值仅由磁场的性质决定.我们将这一比值定义为该点的磁感应强度,以axB 表示 ,即(7.1)qFBmax在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉（T） .有时也采用高斯单位制的单位高斯（
5、G）1G =1.010 -4 T2 磁感应线为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电场线的方法引入磁感应线( 或叫 B 线).磁感应线的画法规定与电场线画法一样.为能用磁感应线描述磁场的强弱分布,规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该点 B 的大小 .实验上可用铁粉来显示磁感应线图形.磁感应线具有如下性质：(1) 磁感应线互不相交 ,是既无起点又无终点的闭合曲线；(2) 闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合右手螺旋法则.37.2 毕奥萨伐尔定律及其应用一、 毕奥萨伐尔定律在静电学部分,大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法
6、,即把带电体看成是由许多电荷元组成,写出电荷元的场强表达式,然后利用叠加原理求整个带电体的场强.与此类似,载流导线可以看成是由许多电流元组成,如果已知电流元产生的磁感应强度,利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度.电流元的磁感应强度由毕奥萨伐尔定律给出,这条定律是拉普拉斯(Laplace)把毕奥(Biot)、萨伐尔(Savart)等人在 19 世纪20 年代的实验资料加以分析和总结后得出的,故称为毕奥萨伐尔拉普拉斯定律,简称毕奥萨伐尔定律,其内容如下：电流元 Idl 在真空中某一点 P 处产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元的大小及电流元与它到 P 点的位矢 r 之间的夹角 的正弦乘积成正
7、比,与位矢大小的平方成反比；方向与 Idlr 的方向相同.（这里用到矢量 Idl 与矢量 r 的叉乘.叉乘 Idlr 的大小为 Idlrsin；其方向满足右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从 Idl 转向 r 的方向,那么拇指所指的方向即为 Idlr 的方向,如图 7.2 所示）其数学表达式为(7.2)2rIdlkBsin式中 k 为比例系数,在国际单位制中取为(7.3)(、27014ANk为真空的磁导率,其值为 ,所以毕奥萨伐尔定律在真空中可表0 270示为(7.4)204rIdlBsin其矢量形式为(7.5)304rlId利用叠加原理,则整个载流导线在 P 点产生的磁感应强度 B 是(7.5
8、)式沿载流导线的积分,即4(7.6)LLrlIdB304毕奥萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6)式是这二者的具体结合.但该式是一个矢量积分公式,在具体计算时,一般用它的分量式.二、 毕奥萨伐尔定律应用举例1 直线电流的磁场设在真空中有一长为 L 的载流导线 MN ,导线中的电流强度为 I ,现计算该直电流附近一点 P 处的磁感应强度 B .如图 7.3 所示,设 a为场点 P 到导线的距离, 为电流元 Idl 与其到场点 P 的矢径的夹角 , 1、 2 分别为 M、 N 处的电流元与 M、 N 到场点 P 的矢径的夹角.按毕奥萨伐尔定律,电流元 Idl 在场点
9、 P 产生的磁感应强度 dB 的大小为 204rIlsindB 的方向垂直纸面向里（即 Z 轴负向）.导线MN 上的所有电流元在点 P 所产生的磁感应强度都具有相同的方向,所以总磁感应强度的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代数和,即dlrIdBLL204sin,actgtl、 sin/co/,)/(sinarl2则上积分为(7.7)cos(sin21004421 aIdaIBB 的方向垂直于纸面向里.对于无限长载流直导线( ),距离导线为 a 处的磁感应强度大小为210,(7.8)aIB2 圆电流轴线上的磁场在半径为 R 的圆形载流线圈中通过的电流为 I ,现确定其轴线上任一点 P 的磁场.
10、5在圆形载流导线上任取一电流元 Idl,点 P 相对于电流元 Idl 的位置矢量为 r,点 P 到圆心O 的距离 OP =x ,如图 7.4 所示.由此可见,对于圆形导线上任一电流元,总有 Idlr ,所以Idl 在点 P 产生的磁感应强度的大小为204rIdlBdB 的方向垂直于 Idl 和 r 所决定的平面.显然圆形载流导线上的各电流元在点 P 产生的磁感应强度的方向是不同的,它们分布在以点 P 为顶点、以 OP 的延长线为轴的圆锥面上.将 dB 分解为平行于轴线的分量 和垂直于轴线的分量 .由轴对称性可|dBdB知,磁感应强 dB 的垂直分量相互抵消.所以磁感应强度 B 的大小就等于各电
11、流元在点P 所产生的磁感应强度的轴向分量 的代数和.由图 7.4 可知|rRIdl204sin|所以总磁感应强度的大小为(7.9)23202034/| )(xRIdlrIdBB 的方向沿着轴线,与分量 的方向一致.|在圆形电流中心(即 x = 0)处,其磁感应强度为(7.10)RIB20B 的方向可由右手螺旋定则确定.而且圆形电流的任一电流元在其中心处所产生的磁感应强度的方向都沿轴线且满足右手定则.所以,圆形电流在其中心的磁感应强度是由组成圆形电流的所有电流元在中心产生的磁感应强度的标量和,对圆心角为 的一段圆弧电流,在其圆心的磁感应强度为(7.11)3602RIB可以看出,一个圆形电流产生的
12、磁场的磁感应线是以其轴线为轴对称分布的,这与条形磁铁或磁针的情形颇相似,并且其行为也与条形磁铁或磁针相似.于是我们引入磁矩这一概念来描述圆形电流或载流平面线圈的磁行为,圆电流的磁矩 m 定义为(7.12)nISm式中 S 是圆形电流所包围的平面面积,n 是该平面的法向单位矢 ,其指向与电流的方向6满足右手螺旋关系.对于多匝平面线圈,式中的电流 I 应以线圈的总匝数与每匝线圈的电流的乘积代替.利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的磁感应强度.对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为 ,n 是单位长IB0度的匝数,I 是每匝导线的电流强度.例 7.1 电流为 I
13、 的无限长载流导线 abcde 被弯曲成如图 7.5 所示的形状.圆弧半径为 R, 1=450, 2= 135o.求该电流在 O点处产生的磁感应强度.解：将载流导线分为 ab,bc,cd 及 de 四段,它们在 O 点产生的磁感应强度的矢量和即为整个导线在O 点产生的磁感应强度.由于 O 在ab 及 de 的延长线及反向延长线上,由（7.7）式知0deabB由图 7.5 知, bc 弧段对 O 的张角为 90 o ,由（7.11）式得RIIbc836092其方向垂直纸面向里.由（7.7）式得电流 cd 段所产生的磁感应强度为)cos(2104aIBcd RIRIooo 21354500 )(s
14、in其方向亦垂直纸面向里.故 O 点处的磁感应强度的大小为)(180IB方向垂直纸面向里.作业(P172)：7.14，7.1877.3 运动电荷的磁场由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的磁场公式.根据毕奥萨伐尔定律,电流元 Idl 在空间的一点 P 产生的磁感应强度为304rlIdB如图 7.6 所示,设 S 是电流元Idl 的横截面的面积,并设在导体单位体积内有 n 个载流子,每个载流子带电量为 q,以速度 沿 Idl 的方向匀速运动,形成导体中的电流 .那么单位时间内通过横截面 S 的电量为 ,亦即电流强度为 ,则 ,如果将 q 视为代SqSqnISdlq
15、nIl数量,Id l 的方向就是 的方向,因此可以把 dl 中的矢量符号加在速度 上,即 .将 Idl 这一表达式代入毕奥萨伐尔定律中就可得qndIdNrqrqnSdlB30304其中 dN = nSdl 代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由 dN = nSdl 个载流子产生的,那么每一个电量为 q ,以速度为 运动的点电荷所产生的磁感应强度 B 为(7.13)304rBB 的方向垂直于 和 r 所组成的平面 ,其指向亦符合右手螺旋法则.值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要考虑相对论效应,其结果见14.5 节.87.4 磁场的高斯定理和安培环路定理稳恒磁场与库仑电场有着
16、不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理.一、磁场的高斯定理1 磁通量在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积 S 的磁通量的定义是(7.14)SedB即等于通过该面积的磁感应线的总条数.在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1Tm 2 .据此,磁感应强度的单位 T 也常写作 Wb/m2 .2 磁场的高斯定理对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向,则对闭面上一面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通
17、量为负表示磁感应线穿入闭面.对任一闭合曲面 S,由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线,不难想象,凡是从 S 某处穿入的磁感应线,必定从 S 的另一处穿出 ,即穿入和穿出闭合曲面 S 的净条数必定等于零.所以通过任意闭合曲面 S 的磁通量为零 ,即(7.15)0dB这是恒定磁场的一个普遍性质,称为磁场的高斯定理.二、安培环路定理由毕奥萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系,可以导出稳恒磁场的一条基本规律安培环路定理.其内容为：在稳恒电流的磁场中,磁感应强度 B 沿任何闭合路径 L 的线积分(即 B 对闭合路径 L 的环量)等于路径 L 所包围的电流强度的代数和的 倍,它的数学表达式为0(7.16)Il
18、dL00int下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理.根据(7.8)式知,距电流强度为 I 的无限长电流的距离为 r 处的磁感应强度为IB209B 线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆,其绕向与电流方向成右手螺旋关系.1）在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路径 L(如图 7.7 所示),沿 L 计算 B 的环量.在路径 L 上任一点 P 处,d l 与 B 的夹角为 ,它对电流通过点所张之角为 .由于 B 垂直于矢径 r ,因而 dlcos 就是 dl在垂直于 r 方向上的投影,它就等于 所对的以 r 为d半径的圆弧长,由于此弧长等于 r ,所以(7.17)IrdIBlr
19、dl LLLL 002 、此式说明,当闭合路径 L 包围电流 I 时,这个电流对该环路上 B 的环路积分为 .I02）如果电流的方向相反,仍按图 7.7 所示的路径 L 的方向进行积分时,由于 B 的方向与图示方向相反,所以应该得IldBL0可见积分的结果与电流的方向有关.如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与 L的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则 B 的环路积分的值可以统一用式(7.17) 表示.3）如果闭合路径不包围电流,如图 7.8 所示,L 为在垂直于载流导线平面内的任一不围绕电流的闭合路径.过电流通过点作 L 的两条切线 ,将 L 分为 两部分,沿图21、示方
20、向计算 B 的环量为 21LLLldlld)(210LI00)(I可见,闭合路径 L 不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的 B 的环路积分无贡献.上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径.易证在长直电流的情况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用.还可进一步证明,对于任意的闭合稳恒电流,上述 B 的环路积分和电流的关系仍然成立.这样,再根据磁场的叠加原理可得到,当有若干个闭合稳恒电流存在时,沿任一闭合路径 L,合磁场的环路积分为10intIldBL0式中 是环路 L 所包围的电流的代数和.上式就是我们要证明的安培环路定理式 .intI值得指出,闭合路径 L 包围的电流的含义是指与 L
21、 所链环的电流,对闭合稳恒电流的一部分（即一段稳恒电流）安培环路定理不成立；另外,在安培环路定理表达式中的电流 是闭合路径 L 所包围的电流的代数和 ,但定理式左边的磁感应强度 B ,却intI代表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和.三、安培环路定理的应用1 载流长直螺线管内的磁场设有一长直螺线管,长为 L ,共有 N 匝线圈,通有电流 I ,由于螺线管很长,则管内中央部分的磁场是均匀的,并可证明,方向与螺线管的轴线平行.管的外侧,磁场很弱,可以忽略不计.为了计算螺线管中央部分某点 P 的磁感应强度.可通过 P 点作一矩形闭合线 abcda 如图 7.9 所示.在如图的绕行方向下 ,B 矢量
22、的线积分为 addccbbaL lllldBl 由于磁场方向与螺线管的轴线平行,故 bc ,da 段上 B 与 dl 处处垂直,所以,又 cd 在螺线管外侧附近,其上磁感应强度为零,所以0adcbllB,于是有abBllbadc、(7.18)nIBIabnldL 00、由于 P 点是长直螺线管内的中央部分任一点,所以上式就是螺线管中央部分的磁场分布,它是一匀强磁场.112 环形螺线管内的磁场如图 7.10 是环形空心螺线管的示意图.设线圈匝数为 N ,电流为 I ,方向如图所示.如果导线绕的很密,则全部磁场都集中在管内,磁感应线是一系列圆环,圆心都在螺线管的对称轴上.由对称性可知,在同一磁感应
23、线上的各点,磁感应强度 B 的大小相等,B 的方向为沿磁感应线的切线方向,为计算管内某一点 P 的磁感应强度 B ,选通过该点的一条磁感应线为闭合路径（如图是半径为 r 的圆周）,应用安培环路定理得(7.19a)rNIBIBldL 2200可见,环形螺线管内的磁感应强度 B 的大小与 r成正比.若环形螺线管的内外半径之差比 r 小得多, 则可认为环内各点的 B 值近似相等,其大小为(7.19b)nIRNB002其中,R 是环形螺线管的平均半径, n=N/2 R 为平均周长上单位长度的匝数 . 作业(P173)：7.20，7.22127.5 磁场对载流导线的作用一、安培定律磁场的基本属性就是对处
24、于其中的运动电荷有力的作用,前面我们根据这一属性定义了磁感应强度.而大量电荷作定向运动形成电流.载流导线处于磁场中,由于作定向运动的自由电子所受的磁力,传递给金属晶格,宏观上就表现为磁场对载流导线的作用.关于磁场对载流导线的作用力,安培从许多实验结果的分析中总结出关于载流导线上一段电流元受力的基本定律,即安培定律,其内容如下：磁场对电流元 Idl的作用力 dF 与电流元的大小 Idl、电流元所在处的磁感应强度 B 的大小,以及 B 与 Idl 之间的夹角 的正弦成正比,其方向垂直于 Idl 和 B 决定的平面,指向遵守右手螺旋法则,即 IdlB 的方向(如图 7.11 所示). 其数学表达式为
25、(7.20)IdF任何形状的载流导线在外磁场中所受的磁场力(即安培力),应该等于各段电流元所受磁力的矢量和,即(7.21)LBlId这是一个矢量积分,一般情况下应化为分量式求解.但若各电流元的受力都沿同一方向,矢量积分就自然化为标量积分.例题 7.2 半径为 R,电流为 I 的半圆形载流导线置于磁感应强度为 B 的均匀磁场中,B 和 I 的方向如图 7.12 所示.求半圆形载流导线受到的安培力.解：建立如图 7.12 所示的直角坐标系 XOY.在半圆环上任取一电流元 Idl,它受到的安培力的大小为BIdlIdlF2/sin方向沿电流元的位矢方向.由图可知,dF 沿 X 轴的投影coscIlx在
26、 Y 轴上的投影sinsiBIdlFdydl = - Rd,故13000 dBIRIdlFlxx coscosIIIllyy 200ini即半圆形载流导线受到的安培力为 F=2BIR,方向沿 Y 轴正向.二、两平行长直电流之间的相互作用电流能够产生磁场,磁场又会对处于其中的电流施加作用力.因此,一电流与另一电流的作用就是一电流的磁场对另一电流的作用,这作用力可利用毕奥萨伐尔定律和安培定律通过矢量积分获得,在一般情况下计算比较困难.下面讨论一种简单情形,即两平行长直电流之间的相互作用.如图 7.13 所示,两条相互平行的长直载流导线,相距为 a ,分别载有同向电流 . 在导线 2 中各点所产21
27、I,生的磁感应强度的大小为aIB1012方向如图,它对导线 2 中的任一电流元 的作用力 2ldI可由安培定律得1221BldIF其方向如图在两平行导线所在平面内,垂直指向导线 1.其大小为adlIlI2101212那么载流导线 2 中每单位长度所受载流导线 1 的作用力大小为(7.22)aIdlFf21021用同样的方法可以求得导线 1 中单位长度所受载流导线 2 的作用力大小为(7.23)aIf2102与 大小相等、方向相反,体现为引力；若两平行导线中的电流方向相反,则21f彼此间的相互作用为斥力.在国际单位制中,电流强度被作为基本物理量,它的单位安培(A)作为基本单位.这14一基本单位就
28、是利用两条相互平行的长直载流导线间的相互作用力来定义的：真空中两条载有等量电流,且相距为 1 米的长直导线,当每米长度上的相互作用力为 210-7N 时,导线中的电流大小定义为 1 安培.据此定义及式(7.22) 可得2ANmAmN 7007421可见真空的磁导率 是一个具有单位的导出量.0三、磁场对载流线圈的作用利用安培定律可以分析匀强磁场对载流线圈的作用.图 7.14 表示了一个矩形平面线圈 ABCD,其中边长 ，线圈内通有电流 I ,我们规定线圈平21lDABClA,面法线 n 的正方向与线圈中的电流方向满足右手螺旋关系.将这个线圈放在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,并设线圈的法线方向与
29、磁场方向成 角.根据安培定律,AD 边和 BC 边所受磁场力始终处于线圈平面内,并且大小相等,方向相反,作用在同一条直线上,因而相互抵消.而 AB 边和 CD 边,由于电流的方向始终与磁场垂直,它们所受磁力 的大小相等为CDABf、1Il它们的方向相反,但不在同一直线上,因而构成力偶,为线圈提供了力矩,如图 7.14(b)所示.此力矩的大小为(7.24)sinisinsi mBISlflfMCDAB221nISm、(7.26)可见,当 (即线圈平面与磁场方向平行 )时,线圈所受力矩最大.在此力矩作2/15用下,线圈将绕其中心并平行于 AB 边的轴转动.随着线圈的转动 , 角逐渐减小,当= 0
30、(即线圈平面与磁场方向垂直)时,力矩等于零,线圈达到稳定平衡状态.当 =时,力矩也等于零,也是线圈的平衡位置,但这个位置不是线圈的稳定平衡位置,稍受扰动就会立即转到 = 0 的位置上去.以上结论是通过对均匀磁场中的矩形载流线圈的讨论得到的,但可证明对均匀磁场中的任意形状的载流平面线圈,上结果均适用.可见,对均匀磁场中的任意平面刚性线圈,线圈所受磁力为零而不发生平动,但在不为零的磁力矩作用下将发生转动.如果线圈处于非均匀磁场中,线圈除受力矩的作用外,还要受合力的作用,这样线圈除转动外,还要发生平动.例题 7.3 如图 7.15 所示,在通有电流 的长直导线1I旁有一平面圆形线圈,线圈半径为 R,
31、线圈中心到导线的距离为 l ,线圈通有电流 ,线圈与直导线电流在同2I一平面内,求线圈所受到的磁场力.解：如图 7.15 所示,由式(7.9)可得 在线圈上任1I一电流元处的磁感应强度大小为)cos(RlIB102方向垂直于纸面向内.据安培定律,电流元 受到的磁场力大小为ldI2Idlf22方向沿半径向外,垂直于 .由对称性可知上半球所受的力与下半球所受的力在竖直方向上的分量互相抵消,即020yydff所以整个线圈所受的力为 021020 dRlIfffxx coscos)(2210lI方向沿 X 轴正向.作业(P174)：7.24166.6 洛仑兹力一、洛仑兹力实验表明,运动电荷在磁场中会受
32、磁力作用,这种力称为洛仑兹力.本章第一节正是用这一力定义了磁感应强度.前已述及,磁场对电流元的作用是磁场对运动电荷作用的整体体现 ,即安培力起源于洛仑兹力.下面利用安培定律推出洛仑兹力公式.设电流元 Idl 的横截面积为 S,如果载流子的电量为 q,都以速度 作定向运动而提供电流 I .设导体单位体积内的载流子数为 n ,则qI电流元 Idl 的方向就是正载流子作定向运动的方向 ,即 的方向,于是安培定律可化为qBNnSdlBlIFd式中 N 是电流元所包含的载流子总数.则单个载流子所受的力为(7.27)qdNf这就是电量为 q ,以速度为 运动的带电粒子在磁感应强度为 B 的磁场中运动时所受
33、的洛仑兹力.电量 q 是代数量,当 q 0 时,f 的方向与 的方向相同；当 q 0 ,则离子受的电场力,Efe其方向与板面垂直向右.设离子运动的速度为 ,则离子所受的磁场力17Bqfm其方向与板面垂直向左.当离子的速度大小恰好使离子所受的电场力与洛仑兹力等值反向时,离子方能沿原来的方向直线前进,并穿过速度选择器,即要满足qE可见,只有当速度 的离子,才可通过速度选择器.所以能利用调节 E 或 B 的大B/小改变通过离子的速度.将题中数据代入得1503sm.即只有速度等于 的离子才能穿过速度选择器.150.二、带电粒子在磁场中的运动1 情形B当带电粒子以垂直于磁场的方向进入磁场时,粒子在垂直于
34、磁场的平面内作匀速圆周运动,洛仑兹力提供了向心力,于是有下面的关系RmBq2式中 m 和 q 分别是粒子的质量和电量,R 是圆形轨道的半径.由上式可得粒子作圆形轨道的半径为(7.28)qB粒子运动的周期 T,即粒子运动一周所需要的时间为(7.29)qmR2以上关系表明,尽管速率大的粒子在大半径的圆周上运动,速率小的粒子在小半径的圆周上运动,但它们运行一周所需要的时间却都是相同的.这个重要的结论是回旋加速器的理论依据.2 间有任意夹角 B、如图 7.17 所示, 间有任意夹角 ,我们可以将粒子的运动速度 分解为垂直B、 于磁场的分量 和平行于磁场的分量 ,它们分别表示为|， sincos|18显
35、然,如果只有分量 ,带电粒子的运动如上 1 中情形讨论的结果,它将在垂直于磁场的平面内作圆周运动,运动周期由式(7.29)所给；如果只有 分量,带电粒子不受磁场|力,它将沿 B 的方向作匀速直线运动.一般当这两个分量同时存在,粒子则沿磁场的方向作螺旋线运动,如图 7.17(b)所示,在一个周期 T 内,粒子回旋一周,沿磁场方向移动的距离为(7.30)qBmTh|2这个距离称为螺旋线的螺距.上式表示螺旋线的螺距 h 与 无关.这意味着,无论带电粒子以多大的速率进入磁场,也无论沿何方向进入磁场,只要它们平行于磁场的速度分量 是相同的,它们螺旋线运动的螺距就一定相等.如果它们是从同一点射入磁场,那么
36、它们必定在沿磁场方向上与入射点相距螺距 h 整数倍的地方又会聚在一起.这与光束经透镜后聚焦的现象相类似,故称为磁聚焦.电子显微镜中的磁透镜就是磁聚焦原理的应用.作业(P174)：7.27三、霍尔效应1879 年霍尔(A.H.hall)发现下述现象：在匀强度磁场 B 中放一板状金属导体,使金属板面与磁场垂直,金属板的宽度为 a,厚度为 b,如图 7.18 所示,在金属板中沿着与磁场 B 垂直的方向通一电流 I 时,在金属板的上下两表面间会出现横向电势差 .这个HU现象称为霍尔效应,电势差 称为霍尔电势差.HU实验测定,霍尔电势差 的大小与磁感应强度 B 的大小成正比,与电流强度 I 成正比,与金
37、属板的厚度 b 成反比,即IBU19或 (7.31)bIBKUH式中 是仅与导体的材料有关的常数,称为霍尔系数.金属导体中的电流是电子的定向运动形成的,运动着的电子在磁场中受到洛仑兹力作用.如图 7.18 所示,以速度 运动的电子受到向上的洛仑兹力 的作用,在Befm这力的作用下,电子向上漂移,使得导体的上表面积累过多的电子,下表面出现电子不足,从而在导体内出现方向向上的电场.这电场对电子有向下的作用力,当这电场大到使其对电子的作用力- eE 与电子受到的洛仑兹力大小相等时就达到稳态,相应的电场也就稳定下来,这时的电场称为霍尔电场,用 表示,因此有HEBBffme ,由此可求得霍尔电势差(导体
38、上下表面之间的电势差)为aEUH式中负号表示电势梯度的方向与 的方向相反.设导体内电子的数密度为 n ,于是,将由此得到的定向运动速度代入上式,可得abneI(7.32)bIBneIH1与式(7.31)相比较 ,则得金属导体的霍尔系数(7.33)eKH霍尔效应不只在金属导体中产生,在半导体和导电流体(如等离子体)中也会产生.相应的载流子可以是电子,也可以是正、负离子.霍尔电势差和霍尔系数一般可表为(7.34)nqbIBnqUHH11,其中 q 是载流子的电量,可正可负,是代数量.通过对霍尔系数的实验测量可以确定导体或半导体中载流子的性质.据霍尔系数的大小,还可测量载流子的浓度.值得指出,金属是
39、电子导电,霍尔系数应为负值,但实验发现对有些金属,如铁、钴、锌、镉和锑等,霍尔系数为正,对此,需用金属中电子的量子力学理论予以解释.等离子体的霍尔效应是磁流体发电的基本理论依据.工作气体(常用含有少量容易电离的碱金属的惰性气体)在高温下充分电离而达到等离子态,当以高速垂直通过磁场时,正、负电荷在洛仑兹力的作用下将向相反方向偏转并分别聚集在正、负电极上,使两极出现电势差.只要工作气体连续地运行,两极就会不断地对外提供电能.磁流体发电是直接将热能转变为电能的,所以具有比火力发电高得多的效率,并且可以在极短的时20间内达到高功率运行状态,从而可以方便地按时间合理分布电能生产的要求.7.7 磁力的功由
40、于载流导线或线圈在磁场中会受到力或力矩的作用,因此当它们在磁场中运动时,磁力或磁力矩将会对导线或线圈做功.一、载流导线在磁场中运动所作的功载流导线在磁场中运动时磁力所作的功如图 7.19 所示,在磁感应强度为 B 的均匀磁场中,有一导线 ab 长为 l,可在含源导体框架上滑动.当框架上的电流为 I 时,ab 导体所受的磁力大小 F= IlB ,方向向右.当滑动距离 不大时,ab 中的电流可以a认为不变,这时磁力的功为(7.38)ISBIlaFA式中 为通过载流回路所围面积的磁通量的增量.上式表明,当载流导线在磁S场中运动时,如果电流保持不变,磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环绕的面积内磁通量
41、的增量,即等于电流乘以载流导线 ab 在移动中所切割的磁感应线数.二、载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功如图 7.20 所示,在磁感应强度为 B 的均匀磁场中,有一矩形载流线圈 abcd,面积为 S ,所载电流为 I ,所受到的磁力矩 .当线圈sinMIB平面转过 角度时,磁力矩作的元功ddBISMAsin(7.39)I)co(式中负号表示磁力矩作正功时将使 减小.当线圈从 转到 时,磁力矩所作的总功1221IdA若在转动过程中 I 保持不变,则(7.40)II)(1221式中 。上式表明,当载流线圈在磁、21 场中转动时,如果电流保持不变,磁力矩所作的功
42、也等于电流乘以线圈中磁通量的增量.21可以证明,一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形状时,如果保持回路中电流不变,则磁力和磁力矩所作的功都可按 计算,这是磁力作功的一般表示.IA227.8 物质的磁性一、磁介质的磁化及磁化强度1 磁介质及其磁化在磁场中,凡受到磁场的作用并能够对磁场发生影响的物质都属于磁介质.实验表明,一切物质都能够对磁场发生影响,所以都属于磁介质.磁介质在磁场作用下的变化称为磁介质的磁化.实验证明,在匀强磁场(如一载流长直螺线管内的磁场)中,如果放有均匀磁介质,那么在磁化了的磁介质中,磁感应强度 B 可能大于、也可能小于磁介质不存在时真空中的磁感应强度 .磁介质中的磁感
43、应强度 B ,是 和磁介质因磁化而产生的磁感应强0B 0度 叠加的结果 ,即(7.41)0按磁性,物质可分为三类：一类为顺磁质,例如锰、铬、氧、铂、氮等,这些物质中, 与 同向 ,因此 ；第二类为抗磁质,例如水银、铜、铋、氢、银、金、铅等,B00B这些物质中, 与 反向,因而 ,第三类为铁磁质,有铁、钴、镍、扎及这些金属0的合金等,这些物质中 B 与 成非线性关系,通常 .00B物质的磁性可以从其电结构中得到解释.构成物质的原子中每一个电子同时参与两种运动,一种是绕核的轨道运动,一种是自旋.这两种运动都对应一定的磁矩：与绕核的轨道运动相对应的是轨道磁矩,与自旋相对应的是自旋磁矩.整个原子的磁矩
44、是它所包含的所有电子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和.不同物质的原子包含的电子数目不同,电子所处的状态不同,其轨道磁矩和自旋磁矩合成的结果也不同.所以有些物质的原子磁矩大些,有些物质的原子磁矩小些,还有些物质的原子磁矩恰好为零.另外,有些物质的原子磁矩虽然不为零,但多个原子合成一个分子时,合成的结果使分子磁矩等于零.分子磁矩不为零的物质,其分子磁矩可以看作为由一个等效的圆电流所提供的,这个圆电流称为分子电流.在无外磁场时,由于分子的热运动,物质中各分子磁矩混乱取向,致使任何宏观体积元内的分子磁矩的矢量和等于零,所以宏观上不显磁性.当受到外磁场作用时,分子磁矩将在一定程度上沿外磁场方向排列,任何宏观体
45、积元内所有分子磁矩的矢量和不再为零,从而对外显示磁性,并且外磁场越强,分子磁矩排列的有序程度越高,相同体积内分子磁矩的矢量和也越大,对外所显示的磁性也就越强.分子热运动是会破坏分子磁矩的有序排列的,一旦将外磁场撤除,分子磁矩立即回到无序状态,磁性也就消失了.这种磁性称为顺磁性,具有顺磁性的物质便为顺磁质.分子磁矩为零的物质,其磁性来源于原子中电子在外磁场的作用下所产生的附加23运动(即进动 ),这种附加运动也等效为某一圆电流并对应一定磁矩.但由于电子带负电,这种磁矩的方向总是与外磁场的方向相反,故得名为抗磁性.具有抗磁性的物质便是抗磁质.2 磁化强度为描述磁介质磁化的强弱程度,可引入一个新的物
46、理量磁化强度矢量 M,其定义为单位体积分子磁矩矢量和,即(7.42)VmMi式中 是体积 内的分子磁矩矢量和.如果磁介质中各处的磁化强度的大小和方i向都一致,就称为均匀磁化.3 磁化强度与磁化电流的关系磁介质磁化的另一个宏观表现是出现束缚电流(即磁化电流),例如载流直螺线管中圆柱形磁介质的磁化,在圆柱侧面就会出现磁化电流.显然,磁化电流和磁化强度是同一物理现象的不同表现,它们之间一定存在着某种确定的关系,下面就来讨论这一关系.在被磁化了的介质内任取一闭合回路 L,现我们来计算穿过 L 的磁化电流.磁化电流是分子电流的宏观表现,如图 7.21(a)所示,对于闭合回路 L,分子电流有如下三种情况：
47、一是与 L 所围的曲面相交两次；二是与上曲面不相交；三是与上曲面相交一次 (即与L 所环绕的分子电流). 显然只有第三种情况的分子电流对穿过 L 的电流有贡献.如图7.21(b)在 L 上选一线元 dl,设其上分子电流圈的面矢为 a,现以 dl 为轴,作一底面为 a 的斜圆柱.那么中心处于这一圆柱的分子,其分子电流均与 dl 所链环,由此可得与 dl 所链环的电流为ldMlainidlI cos其中 i 是每个分子的电流 ,n 是单位体积的分子数 .对整个闭路 L 积分就可得穿过 L 的磁化电流为24(7.43)LldMI这就是磁化电流与磁化强度的关系.将上关系应用于已被磁化的介质的表面,进一
48、步可得磁化强度与介质表面磁化电流的关系(7.44)ti其中 是磁化强度 M 沿介质表面的切向分量.t二、磁场强度 有介质时的安培环路定理磁化电流与传导电流一样,也有磁效应,所以空间总的磁感应强度就如(7.41)式所表示.考虑到磁化电流的贡献,有介质时磁场的安培环路定理为(7.45)(IldBL0磁化电流 I 不能预先知道 ,也不能实验测量,所以有必要用可测物理量来代替.将(7.43)式中的磁化电流代入上式并整理得(7.46)IldML)/(0对于给定的介质,B 与 M 有一确定的关系 ,这可用实验测定,从而知道电流 I 就可确定 B 的分布 .为方便,引入一个新的物理量磁场强度 H ,即(7.47)H0/此
