1、高中数学培优讲座第四讲：平面几何证明基本方法代数法（参量、三角、坐标、向量）（一）参量法、三角法对 于 某 些 平 面 几 何 问 题 ， 倘 若 能 将 其 看 做 代 数 问 题 的 实 际 应 用 或 转 化 为 代 数 问 题 来处 理 ， 则 既 不 失 几 何 证 明 或 求 解 的 优 美 ， 又 能 为 我 们 提 供 了 更 为 灵 活 、 广 阔 的 求 解 途 径 。通 过 代 数 概 念 ， 应 用 代 数 知 识 ， 借 助 参 数 、 三 角 、 坐 标 、 向 量 等 代 数 工 具 ， 将 几 何 问题 转 化 为 代 数 运 算 ， 从 而 解 决 平 面 几
2、 何 问 题 ， 这 种 方 法 称 之 为 代 数 法 .1.1 参量法、三角法：剖 析 众 多 的 数 学 间 题 ， 尤 其 是 综 合 性 较 强 的 数 学 题 ， 常 因 条 件 之间 的 关 联 比 较 隐 蔽 、 松 散 而 表 现 得 错 综 复 杂 ， 这 时 ， 我 们 如 能 仔 细 分 析 比 较 题 设 条 件 之间 或 条 件 与 结 论 之 间 的 异 同 点 ， 以 及 潜 存 着 的 数 量 关 系 或 位 置 关 系 上 的 特 殊 联 系 ， 抓 住其 中 的 共 性 量 ， 将 其 作 为 承 上 启 下 。 左 右 逢 源 的 参 (媒 介 )量 ，
3、 围 绕 它 来 展 开 变 换 、 推证 和 运 算 而 最 后 又 消 去 它 ， 这 样 常 能 方 便 地 认 清 解 题 途 径 ， 恰 当 而 适 时 地 将 各 条 件 纳 人解 题 过 程 ， 并 运 用 各 有 关 条 件 和 定 理 、 性 质 ， 灵 活 地 获 得 所 需 的 结 论 。 我 们 把 这 种 引 人量 求 解 数 学 间 题 的 方 法 称 之 为 参 量 法 ， 参 量 法 是 一 种 代 数 法 .求 解 平 面 几 何 问 题 的 参 量 法 ， 常 引 人 线 段 、 比 值 、 角 度 等 作 为 参 量 。 特 别 应 当 注意 到 引 入
4、角 度 参 量 后 ， 运 用 三 角 知 识 ， 进 行 三 角 运 算 以 及 运 用 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 等 来沟 通 几 何 与 三 角 的 关 系 而 求 解 平 面 几 何 间 题 的 方 法 又 称 之 为 三 角 法 .（1）线段参量：线 段 是 几 何 图 形 的 基 本 元 素 之 一 ， 它 对 几 何 图 形 的 位 置 、 形 状 、 大 小 等 ，起 着 十 分 明 显 的 作 用 .在 解 决 几 何 问 题 时 ， 选 取 一 条 或 几 条 线 段 ， 用 一 个 或 几 个 字 母 表示 它 们 ， 以 便 于 结 合 代 数 知 识 对 线
5、 段 进 行 必 要 的 运 算 或 由 线 段 表 达 式 的 变 形 来 沟 通 已 知与 可 知 ， 未 知 与 需 知 以 及 它 们 之 间 的 联 系 .例题 1： 已 知 ABC 的 底 边 BC=2， 高 AD=1， 在 BC 上任 取 一 点 M， 过 M 作 MN/ AC， 交 AB 于 N， 作 MP/ AB交 AC 于 P， 试 求 M 点 在 何 处 时 ， MNP 的 面 积 最 大 ?（2）线段比参量： 例题 2： 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ABD、 BCD、 ABC 的 面 积 比 是 3:4:1， 点 M、 N 分 别 在AC、 CD 上
6、， 且 满 足 ， 若 B、 M、 N:三 点 共 线 ， 求 证 ： M、 N 分 别 是 AC、 CD 的 中 点 .（3）角参量：例题 3： 如 图 ， 设 A1、 A2 是 ABC 的 BC 边 上 的 两 点 ，若 ， 求 证 ： .21CB21高中数学培优讲座第四讲：平面几何证明基本方法代数法（参量、三角、坐标、向量）（二）坐标法、向量法1.2 坐标法：在 求 解 平 面 几 何 间 题 时 ， 我 们 把 通 过 建 立 坐 标 系 ， 将 几 何 的 基 本 对 象（ 点 ） 和 代 数 的 基 本 对 象 (数 )联 系 起 来 ， 使 平 面 图 形 问 题 转 化 为 有
7、 关 点 的 坐 标 的 代 数 问题 来 研 究 求 解 的 方 法 称 之 为 坐 标 法 .坐 标 法 是 16 世 纪 数 学 领 域 最 重 要 的 成 果 之 一 。 今 天 ，坐 标 法 的 内 容 更 加 丰 富 多 彩 ， 它 提 供 了 把 几 何 量 代 数 化 的 多 种 途 径 ， 它 是 数 形 结 合 的 桥梁 .采 用 坐 标 法 求 解 平 面 几 何 问 题 ， 需 注 意 的 是 ： （ 1） 尽 可 能 将 平 面 几 何 问 题 化 为 简单 的 代 数 问 题 。为 此 ， 需 要 选 择 恰 当 的 坐 标 系 ， 采 用 便 于 推 导 的 方
8、程 形 式 ， 结 合 并 利 用几 何 知 识 ， 注 意 各 表 达 式 的 几 何 意 义 等 ； （ 2） 要 善 于 运 用 各 种 代 数 技 巧 ， 还 要 注 意 式的 对 称 性 、 轮 换 性 ， 选 用 合 适 的 坐 标 系 ， 巧 妙 地 消 元 ， 并 有 条 不 紊 地 推 演 计 算 .（1）证明角相等：例题 1： 如 图 ， 给 定 任 一 锐 角 ABC 及 高 AH， 在 AH 上 任 取 一 点 D， 连 BD 并 延 长交 AC 于 E， 连 CD 且 延 长 交 AB 于 F， 求 证 ： AHE= AHF.（2）证明三点共线（平行）：.例题 2：
9、设 H 为 锐 角 ABC 的 垂 心 ， 由 A 向 以 BC 为 直 径 的 圆 作 切 线 AP、 AQ， 切点 分 别 为 P、 Q， 求 证 ： P、 H、 Q 三 点 共 线 .（3）证明线段相等：例题 3： 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ，AB=AD， BC=CD， 过 AC、 BD 的 交 点 O 任 作 两 条 直 线 ，分 别 交 AD 于 E， 交 BC 于 F， 交 AB 于 G， 交 CD 于H， GF、 EH 分 别 交 BD 于 I、 J， 求 证 ： IO=OJ.1.3 向量法：我们把运用向量研究、求解有关数学问题的方法称之为向量法，向量法的特点是形
10、数结合，运算有法可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起甲因而平面几何问题如用向量法来研究与求解，往往显得明快、简洁和容易人手，它克服了几何综合论证中常常需要添置若干辅助线而显得不易捉摸的缺点，同时又因为向量公式不依赖于坐标系，故向量法较之坐标法也具有一定的优越性.（1）证明线段问题：例题 1： 设ABC 的三条中线交于点 O，求证：.)(32222 CBACBA（2）证明垂直问题：例题 2： 如 图 ， 设 O 是 等 腰 三 角 形 ABC 的 外 心 ， D 是 AB 的 中点 ， E 是 ACD 的 重 心 ， 且 AB=AC， 求 证 ： OE CD.（3）证明角度问题：例题 3： 如 图 ， 在 ABC 中 ， ABAC， BE、 CF 分 别 为 AC、 AB边 上 的 中 线 ， 且 BE、 CF 交 于 点 O。 求 证 ： OBC OCB.
