1、离散数学期末考试题(A)一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1.设 ， ，则 ，,cbaA,cbaB)(BA， .)(B)(P2.集合 ，其上可定义( )个封闭的 1 元运算， ( )个封闭的 2 元运算，( )个,封闭的 3 元运算.3.命题公式 的对偶式为( ).1)qp4.所有 6 的因数组成的集合为( ).5.不同构的 5 阶根树有( )棵.二、单选题(每小题 3 分，共 15 分)1.设 A, B 是集合，若 ，则A(A)B = (B) A = (C) (D)BAB2.谓词公式 中量词 的辖域为)(xRyQxP(A) (B)( )(yQP(C) (D) 和(y xR3.任意 6
2、 阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设 是正整数，则有限布尔代数的元素个数为n(A)2n (B)4n (C) (D)n225.对于下列序列，可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题 3 分，共 15 分): 正确打“” ，错误打“”.1. 设 ， ，则 是满射. ( )N:f )1,()xff2. 5 男 5 女圆桌交替就座的方式有 2880 种. ( )3. 设 是格，对于 ，若 且 ，则 . ( ),LLzyx,zy zx
3、yy4. 任何树都至少 2 片树叶. ( )5. 无向图 有生成树的充要条件是 为连通图. ( )GG四、(10 分)设 和 是集合，证明 ，并举例说明上CBA,D)()()( DBCADBA式中不能将 改为 = .五、(15 分)设 N 是自然数集合，定义 N 上的关系 如下：R是偶数，yxyx),(1.证明 是 N 上的等价关系.R2.求出 N 关于等价关系 的所有等价类.3.试求出一个 N 到 N 的函数 ，使得 .f )(,N,|)(yfxf六、(10 分)在实数集合 R 中证明下列推理的有效性:因为 R 中存在自然数，而所有自然数是整数，所以 R 中存在整数.七、(10 分)设 R
4、是实数集合，令 ，定义 上的运算如下:0,|,abaGG对于任意 ， ，证明 是非 Abel 群.dcba),( )(),(dc ),(八、(10 分)若简单平面图 的节点数 且边数 ，则 是连通图，试证明之.7n15m 离散数学期末考试题(A)参考答案一、1. ， ， , a, b, ,BAcBA(APc, a, b, c.2. .27933. .0)(qp4.-1，-2，-3，-6，1，2，3，6.5.9.二、1(C); 2(B); 3(A); 4(C); 5(D).三、1(); 2(); 3(); 4(); 5().四、证 对于任意 ，有 且 ，于是)()(), DCBAyxBAxDCy
5、且 ，进而 ，因此BxA,DCy, y,，所以 .)()(),DBCAyx )()()()( DBCADBA例如取 ，这时 ，进而,dcba，而，),(),()()()( cbadbab故 .五、证 1.对于任意 N，由于 是偶数，于是 ，因此 是 N 上的自反关系.xx2Rx对于任意 N，若 ，则 是偶数，即 是偶数，于是 ，因此y,Ry),(yRxy),(是 N 上的对称关系.R对于任意 N，若 且 ，则 是偶数且 是偶数，于是zz),(yz是偶数，进而 ，因此 是 N 上的传递关系.xz)()(x综上所述， 是 N 上的等价关系.2. N 关于等价关系 的所有等价类为 和 .,.6420
6、R ,7531R3.令 ，显然 .是 奇 数是 偶 数xff,10)(,: )(,|)(yfxfyx六、证 令 是自然数， 是整数，则x:Z:)(前提: )(),(结论: Z构造性证明如下:(1) P)(xN(2) ES(1)c(3) P)(4) US(3)(Z(5) T(2)(4)I(6) EG(5)x七、证 (1)对于任意 ，有 ，进而 ，于是 ，即Gdcba),(0,caacGbadc),(“”是 上的代数(封闭)运算.G(2)结合律 对于任意 ，一方面有fe),(,(),fedcba，(bdc另一方面有 )(,),(),(), bdcfaefebaf ，(cfe于是 .cdba(3)单
7、位元为(1, 0) 对于任意 ，由于G),(且 ，于是(1, 0) 是单位元.)0,(),01( ),(0,(),1(4)每元素均存在逆元 对于任意 ，因为 且ba, Gab，而),(,1,),( ab，0,1,),(,1 ab所以， 中每元素均有逆元.G(5)由于 且 ，即 ，因而“”)3,2(1, )5,2(, )2,1(),2(不可交换.综上所述， 是非 Abel 群.),(G八、证(反证) 设 是不连通的，则 有 个连通分支 . 对于任意 ，)2(kkG,21 )1(ki令 是 图.i,imn若存在 使得 ，则另外 6 个节点所生成的子图恰 15 条边. 由于 是简单图，)1(kj1j
8、n的边数为 15，即 中含 子图. 显然， 不是平面图，这与已知 是平面图矛盾.6K6K若存在 使得 ，则另外 5 个节点所生成的子图恰 14 条边，这不可能，因为j2j的边数恰为 10.5于是 , 因此对于每个连通分支有 ，进而kjnj.,13 )1(63kjnmii . 因为 ，所以 ki iiki knm111 633)6( 5,7，由此得出 ，与 矛盾. 故 是连通图 .752G离散数学期末考试题(B)一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1.设 ，则 = ( )， = ( )， 中的元素个,baAAA(AP数 ( ).|)|P2.设集合 A 中有 3 个元素，则 A 上的二元关系
9、有( )个，其中有( )个是 A 到 A 的函数.3.谓词公式 中量词 的辖域为( ), 量)yPQyxxx词 的辖域为( ).y4.设 ，对于其上的整除关系“|” ，元素( )不存在补元.24,186,24D5.当 ( )时， 阶完全无向图 是平面图，当当 为( )时， 是欧拉图.nnKnnK二、单选题(每小题 3 分，共 15 分)1.设 是集合 A 上的偏序关系， 是 的逆关系，则 是 A 上的R1R1R(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由 2 个命题变元 和 组成的不等值的命题公式的个数有pq(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设 是素数
10、且 是正整数，则任意有限域的元素个数为n(A) (B) (C) (D)npp4.设 R 是实数集合， 是其上的小于等于关系，则 (R, )是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3 阶完全无向图 的不同构的生成子图有3K(A)2 (B)3 (C)4 (D)5三、判断题(每小题 3 分，共 15 分): 正确打“” ，错误打“”.1.若一个元素 既存在左逆元 ，又存在右逆元 ，则 . ( )al rarl2.命题联结词不满足结合律. ( )3.在 Z8 = 0，1，2，3，4，5，6，7中，2 关于“ 8”的逆元为 4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何 平面图的面
11、数 . ( ),(mn2nr四、(10 分)设 且 ，若 是单射，证明 是单射，并举例说明 不一定是BAf:Cg:gffg单射.五、(15 分)设 , 上的关系,dcba,)(,),(),(,)()( cdbacbacR1.画出 的关系图 .G2.判断 所具有的性质.3.求出 的关系矩阵 .RM六、(10 分)利用真值表求命题公式 的主析取范式和主合取)()(pqrqpA范式.七、(10 分) 边数 的简单平面图 ，必存在节点 使得 .30mGv4)deg(八、(10 分) 有六个数字，其中三个 1，两个 2，一个 3，求能组成四位数的个数.离散数学期末考试题(B) 参考答案一、1. a, b
12、, a, b, ， a, b, a, b，16.2. , 27.923. , .)(xQP)(yP4. 2, 4, 6, 12.5. ，奇数.4二、1(B); 2(D); 3(C); 4(B); 5(C).三、1(); 2(); 3(); 4(); 5().四、证 对于任意 ，若 ，则 ，即Ayx, )(yfxf)()(yfgxf. 由于 是单射，因此 ，于是 是单射.)()(ygfxfgf例如取 ，令 ，3,21,CBbaA 2,1ba，这时 是单射，而 不是单射.2,1g ),(ba五、解 1. 的关系图 如下：RRGabcd2.(1)由于 ，所以 不是自反的.Rb),(2)由于 ，所以
13、不是反自反的.a(3)因为 ，而 ，因此 不是对称的.dd),(R(4)因 ，于是 不是反对称的.c),(5)经计算知 ，进而 是传递Rcdacbacba ),(),(,)(,的.综上所述，所给 是传递的.R3. 的关系矩阵 .01M六、解 命题公式 的真值表如下:)()(pqrqpAp, q, r A1, 1, 1 1 1 11, 1, 0 0 1 01, 0, 1 1 1 11, 0, 0 1 1 10, 1, 1 1 0 00, 1, 0 1 1 10, 0, 1 1 1 10, 0, 0 1 1 1由表可知， 的主析取范式为)()(pqrqpA).()( )()(rqprqp rqpr
14、A A 的主合取范式为 .七、证 不妨设 的阶数 ，否则结论是显然的. 根据推论 1 知， . 若 的任意节点G3n 63nmG的度数均有 ，由握手定理知v5)deg(v.vm5)deg(2于是 ，进而 . 因此 ，与已知矛盾. 所以必存在节点mn263n30使得 .v4)deg(八、解 设满足要求的 r 位数的个数有 ar 种，r = 0，1，2， ，则排列计数生成函数xxxE!321,6541212964因而 .8!1294a离散数学期末考试题(C)一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1. 若 ，则 ( )，A 到 B 的 2 元关系共有( )个，A 上的 2 元nBmA|,| |关
15、系共有( )个.2. 设 A = 1, 2, 3, f = (1,1), (2,1), (3, 1), g = (1, 1), (2, 3), (3, 2)和 h = (1, 3), (2, 1), (3, 1)，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列 5 个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1) ；qp(2) ；(3) ；)(4) ；(5) .4. 设 D24 是 24 的所有正因数组成的集合， “|”是其上的整除关系，则 3 的补元( )，4 的补元( )，6 的补元( ).5. 设 G 是 (7, 15)简单平面图，则 G 一定是( )图，且其每个面
16、恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题 3 分，共 15 分)1. 设 A, B, C 是集合，则下述论断正确的是( ).(A)若 A B， B C，则 A C. (B)若 A B， B C，则 A C.(C)若 A B， B C，则 A C. (D)若 A B， B C，则 A C. 2. 设 R A A，S A A ，则下述结论正确的是( ).(A)若 R 和 S 是自反的，则 R S 是自反的.(B)若 R 和 S 是对称的，则 是对称的.(C)若 R 和 S 是反对称的，则 是反对称的.(D)若 R 和 S 是传递的，则 R S 是传递的.3.在谓词逻辑中，下列各式
17、中不正确的是( ).(A) )()()(xBxBx(B) AA(C) (D) ),(),yy4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设 G 是(n, m) 图，且 G 中每个节点的度数不是 k 就是 k + 1，则 G 中度数为 k 的节点个数为( ).(A) . (B)n(n + 1). (C)nk. (D) .2 mn2)(三、判断题(每小题 3 分，共 15 分): 正确打“” ，错误打“”.1.设 f: Z Z， ，则 是单射. ( )xf2|)f2.设 是群 G1 到群 G2 的同态映射，若 G1 是 Abel 群，则 G
18、2 是 Abel 群. ( )3.设 是格，对于 ，若 且 ，则 . ( ),(LLzy,zxy zxyy4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设 G 是 n (n 11)阶简单图，则 G 或 是非平面图. ( )四、(15 分)设 A 和 B 是集合，使下列各式(1) ； (2) ；(3)ABAB成立的充要条件是什么，并给出理由.)(五、(10 分) 设 S 是实数集合 R 上的关系，其定义如下R 且是 是整数，yx,|)(3yx证明: S 是 R 上的等价关系.六、(10 分) 求谓词公式 的前束范式.)()(DCBxA七、(10 分) 若 n 个人，每个人恰有 3 个朋友
19、，则 n 必为偶数，试证明之.八、(10 分) 利用生成函数求解递归关系 .211a 离散数学期末考试题(C)参考答案一、1. .2,mn2.g, g, g.3.1,2,4.4.8，不存在，不存在.5.连通，3，10.二、1(C); 2(A); 3(B); 4(A); 5(D).三、1(); 2(); 3(); 4(); 5().四、证 (1) 显然， .BA(2)可以证明： . BA()当 A = B 时，A B = 且 B A = , 于是 .A()假定 ，先证明 : 对于任意 ，若 ，则 ，进而xBAx，根据差运算定义知 ，与 矛盾. 所以 ，因此 . 同理可证xx. 故 A = B.(
20、3)容易证明： .)()()显然.()(反证) 若 B ，则存在 . 分两种情况讨论：若 ，则 ，由于BxAxB，于是 ，矛盾；若 ，则 且 , 进而Ax，矛盾. 证毕.Ax五、证 1. 对于任意 x R, 因为 是整数，所以( x, x) S，即 S 是 R 上的自反关系.032. 对于任意 x, y R, 若(x, y ) S，则 是整数，而 也是整数，于是(y, x) S.yx3y3. 对于任意 x, y, z R, 若(x, y) S 且(y, z) S，则 是整数且 是整数. 由于z是整数，由此得出(x , z) S.33z综上所述，知 S 是 R 上的等价关系.六、解 )()()(
21、)( xDyCyBxA= = = )()()()(= xyx= BA= )()()()( zDCt= = yxy= .)()()(tz七、证 用 n 个节点代表 n 个人，两个人是朋友则在相应的两个节点之间连一条无向边，于是得到一个 n阶图, 其中每个节点的度数均为 3.由于每个节点度数为 3, 根据握手定理知 , 其中 m 为 G 的边数. 于是 n 必为nvVv23deg偶数. 证毕.八、解 由数列 a1，a 2， ，a n， ，构造组合计数生成函数. nxaxaG21)(因为 ，于是(n nnx)()211221nnxanxx01)(，2)(2G因而 3)1()(xx0202nnnC11xx2nn，1x故 . 2an
