1、第二章函数2.2 函数的单调性与最值专题 3 单调性的应用(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟二,单调性的应用,填空题,理 15)已知定义在 R 上的偶函数f(x)在0,+)上单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f(x-2)0 的解集是 . 解析:利用偶函数的性质求解 .由题意可得不等式 f(x-2)0 即为 f(|x-2|)f(1), 又 f(x)在0,+ )上单调递增,则|x-2|1,解得 x1 或 x3,故解集为( -,13,+).答案:(-,1 3,+)(2015 江西八所重点中学高三联考,单调性的应用,选择题,理 10)定义在 R 上的函数 f(x)对任意x1,x2(x1x2
2、)都有.答案:m(2015 辽宁东北育才高三第五次模拟,奇偶性的应用,填空题,理 16)若关于 x 的函数 f(x)=(t0)的最大值为 M,最小值为 N,且 M+N=4,则实数 t 的值为 . 解析:依题意,f(x)=t+;因为 y=为奇函数,故 y=最大值与最小值之和为 0,故 M+N=0+2t=4,解得 t=2.答案:2(2015 东北三省三校高三二模,奇偶性的应用,选择题,理 10)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x+1)是偶函数,当 x(2,4)时,f(x )=|x-3|,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=( )A.1 B.0 C.2 D.-2解析:由 f(x+
3、1)是偶函数 ,得 f(-x+1)=f(x+1),又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x+1)=-f(x-1),即-f(x- 1)=f(x+1),f(x+2)=-f(x),所以 f(1)=-f(-1)=-f(3),即 f(1)+f(3)=0,f(2)=-f(4),即 f(2)+f(4)=0,因此 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故选 B.答案:B2.5 对数与对数函数专题 3 对数函数的性质及应用(2015 江西重点中学盟校高三第一次联考,对数函数的性质及应用,选择题,理 4)函数 y=lg(x2-2x+a)的值域不可能是( )A.(-,0 B.0,+)C.1,+)
4、D.R解析:令 u=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,当 a=2 时,y= lgu 的值域为0,+);当 a=11 时,y=lgu 的值域为1,+ );当 a-10 时,y= lgu 的值域为 R,因为 ua- 1,所以 y+,故值域不可能为( -,0,故选 A.答案:A(2015 辽宁东北育才高三第五次模拟,对数函数的性质及应用,选择题,理 4)已知 log2alog2b,则下列不等式一定成立的是( )A. B.log2(a-b)0C.2a-blog2b,故 ab0,故.故选 D.答案:D2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟二,幂
5、函数的图象与性质,选择题,理 9)定义在0,1 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为 M 函数: 对任意的 x0,1,恒有 f(x)0; 当x10,x 20,x 1+x21 时,总有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立,则下列函数不是 M 函数的是( )A.f(x)=x2 B.f(x)=2x-1C.f(x)=ln(x2+1) D.f(x)=x2+1解析:利用排除法求解.函数 f(x)=x20,x0,1,且 x1,x20,1,x 1+x21 时,f (x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-=2x1x20,所以 f(x)=x2 是 M 函数,A 选项正确;
6、函数 f(x)=2x-10,x0,1, 且 x1,x20,1,x 1+x21 时,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=+1=(-1)()0,所以 f(x)=2x-1 是 M 函数,B 选项正确;函数 f(x)=ln(x2+1)0,x0,1,且 x1,x20,1,x 1+x21 时,x 1x2,所以(x 1+x2)2+1-(+1)(+1)=x1x2(2-x1x2)0,则 f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=ln(x1+x2)2+1-ln(+1)-ln(+1)=ln0,所以 f(x)=ln(x2+1)是 M 函数,C 选项正确;对于函数 f(x)=x2+1,x1=x2=满足条件,此时
7、f(x1+x2)=f(1)=20,f(x)是增函数,结合各图象可知 D 正确,故选 D.答案:D(2015 银川一中高三二模 ,函数图象的辨识,选择题,理 8)下列图象中,有一个是函数 f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,a0)的导函数 f(x)的图象,则 f(-1)=( )A. B.- C. D.-解析:依题意得 f(x)=x2+2ax+(a2-1),y=f(x)的图象的开口方向向上,因此其图象只可能是第一或第三个; 又a0,因此 y=f(x)的图象的对称轴为 x=-a0 不是 y 轴,因此 y=f(x)的图象只可能是第三个,由图可知解得 a=-1,f(-1)=-1+1=-,故
8、选 B.答案:B专题 3 函数图象的应用(2015 银川二中高三一模 ,函数图象的应用,选择题,理 11)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1.5)=-f(x),当 x0,3)时,f(x )=|(x-1)2-0.5|,记集合 A=n|n 是函数 y=f(x)(-3x5.5) 的图象与直线y=m(mR) 的交点个数,则集合 A 的子集个数为( )A.8 B.16 C.32 D.64解析:因为 f(x+1.5)=-f(x),f(x+3)=-f(x+1.5),故 f(x+3)=f(x),故 T=3,作出函数 f(x)的大致图象如图所示,观察可知集合 A=0,6,12,9,3,2.故集合
9、 A 的子集个数为 26=64,故选 D.答案:D2.8 函数与方程专题 2 函数零点、方程根的个数(2015 银川高中教学质量检测,函数零点、方程根的个数,选择题,理 12)对于任意实数 a,b,定义mina,b=定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x),且当 0x2 时,f( x)=min2|x|-1,2-|x|,若方程 f(x)-mx=0 恰有两个根,则 m 的取值范围是( )A.-1,1B.C.-1,1D.解析:利用数形结合求解,由题意可知 ,f(x)=且函数 f(x)的最小正周期为 4,方程 f(x)-mx=0 恰有两个根,即函数 y=f(x),y=mx 的图象恰
10、有两个交点.当直线 y=mx 经过点 (3,1)时,m=;当直线 y=mx 在 x=0 处与f(x)=2|x|-1 相切时,m=ln2.经过点(1,1)时,m=1.由图象可得图象恰有两个交点时 m 的取值范围是m=1 或mln2 或-ln2m-,故选 A.答案:A专题 3 函数零点的综合应用(2015 辽宁重点中学协作体高考模拟,函数零点的综合应用,选择题,理 12)已知函数 f(x)=ax2+2(2a-1)x+4a-7,其中 aN *,设 x0 为 f(x)的一个零点,若 x0Z,则符合条件的 a 的值有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个解析:依题意得 f(-2)0,f(x
11、0)=0,因此 x0-2,因为 aN *,所以 a=1,解得-3x 01,且 x0-2,又 x0Z ,因此 x0=-3 或 x0=-1 或 x0=0 或 x0=1.当 x0=-3 或 x0=1 时,a=1; 当 x0=-1 时,a= 5;当 x0=0 时,a= N*.综上所述,符合条件的 a 的值共有 2 个,故选 B.答案:B(2015 东北三省三校高三第一次联考,函数零点的综合应用,选择题,理 12)已知函数 f(x)=若函数 F(x)=f(x)-kx 有且只有两个零点,则 k 的取值范围为( )A.(0,1) B.C. D.(1,+)解析:由题意得 y=为双曲线-x 2=1 的一部分,且双曲线-x 2=1 的一条渐近线为 y=x,作出函数 f(x)的图象如图所示,其中 y=x 为虚线部分.由图可知当 k时,F( x)=f(x)-kx 仅一个零点,排除 A,B;当 k1 时,x0,f(x)=1,故 F(x)=f(x)-kx 仅一个零点,排除 D,故选 C.答案:C
