1、考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 1 of 13 1湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析 10：三角证明与计算的综合考查【考点聚焦】考点 1：同角的三角函数关系式； 考点 2：诱导公式；考点 3：和、差、倍角公式 考点 4：正弦定理、余弦定理、面积公式。【考题形式】与倍角公式有关的计算与证明。【考点小测】1.cos43cos77+sin43cos167的值为 解析：cos43cos77+sin43cos167= = cos437sin437cos1202已知 f(cosx)=cos3x，则 f(sin30)的值为 1 3.如果 ，且 是第四象限的角，那么 cos51 )2cs
2、(解：已知 ； 26()sin(1o)254.已知 ( , )，sin = ,则 tan( )= 534解：由 则 ， = ， 。,sin,23tatan()1tan75 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 sin= ， ( ，)，tan()= ，则 tan(2)=_ _ 531234()tan7t() 216 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 ( )，(0， )，cos( )= ，sin( +)= ，则 sin(+)=_ 4,44534135 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j57. 已知 =2，则 = ； = 。tanta()46sin
3、co32解：（I） tan =2, ;22tan4t1考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 2 of 13 2所以 = ；tantan14ta()41437（II）由(I ), tan= , 所以 = = .36sicon26tan2()14638.（江苏卷） 0cs7t10sicos20t【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值解： 00000 0cos213sin7cot2s13inta7242cos4inco0 0scoi200cos(13in)2s4i0 0000 000sco(s1in3si1co3)2s4i2 2cosn4ico42 【典型考例】【
4、问题 1】 “拆项”与“添项”巧凑“和角、差角”公式例 1（1） = ；（2） =8sin157cosin320cosin13例 2已知： ，求： 的值. 4)ta(,2)ta()ta(点评：进行三角变换的技巧常常是变角注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.【问题 2】弦切互化 例 3 P 44例 1 例 4 P 44例 2P46T5（安徽卷）已知 （）求 的值；（）求40,sin52sinico的值。tan()4解：()由 ，得 ，所以 40,sin253cs52sinico考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page
5、 3 of 13 3。2sinicos2031（） ， 。in4ta35tan1tan()47【问题 3】 与 对偶互化sicosico例 5已知 . （I ）求 sinxcosx 的值； 51,02xx（）求 的值.cottan2ssii思路分析：将 sinx-cosx= 平方，求出 sinxcosx 的值，进而求出（ sinx-cosx）2，然后由角51的范围确定 sinx-cosx 的符号 .解法一：（）由 ,251cossin2i,cosin xx平 方 得即 .49i1)co(in.254si2 xx又 故 ,0si,0s,sin,0x .57cosinx（） xxx sincoi1
6、i2cottans2si2i3212508)(251)sin(si x解法二：（）联立方程 .cosin,2x由得 将其代入，整理得,cos51sinx ,012cos52x.54cos,3in,02.4cs3cos xxxx或故 .57csinx考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 4 of 13 4（） xxcottan2s2sii32xsincoi1i212508)34(5)3(si(csi x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.例 6：已知 .)3tan(si,257cos,107)4sin( 及求解法
7、一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得， 即 )cs(i2)si(1027 57cosi由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(c)sin)(csin(cosincos2522 故 51i由式和式得 .因此， ，由两角和的正切公式54cos,3sin43tan.128341ta)4tan( 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 2sin1cos257解得 由53sin,259sin即 57coi,0)4sin( 可 得由于 ，故 在第二象限，于是 .57ico,0c7i 且 3sin从而 ，以下同解法一.54sino【问题 4】向量与三角小综合例 7已知向量 ，528),2(),cosi
8、n2()sin,(co nmm且和求 的值.)82cos(考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 5 of 13 5解法一： )sinco,2sin(conm2() )sin(co44cos()cos12由已知 ，得 又58nm57)(1)2(cos)4cos(所以 5682 0)82cos(982, )cos(解法二： nmnmnm 22)( 22cosin)si(co)cs)si()sico( 2222 由已知 ，得8(4co1n4 5285)82cos(0)82cos(982, 54)82cos(例 7已知 是三角形 三内角，向量 ，,ABCAB1,3s,inmA且 .（）求
9、角 ；（）若 ，求 .1mn 221sincotanB解：（） ,3,i即 , 3sinco1A12sincs2A i6 50,666A3A（）由题知 ，整理得221sinco3B22sinicos0BB 或co0tat0tatan1考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 6 of 13 6而 使 ，舍去 tan1B22cosin0Btan2B tCAtaAt1tA31851例 9已知向量 ，25(cosin)(cosin)|bab且=(1) 求 的值；(2) 若 的值。cos()00sisin213且解：(1)因为 所以(sin)(cosin)ab且=(cossi)ab且又因为
10、，所以 ，25|b225(i)即 ；43cos()cos()5且(2) ，又因为 ，所以 002且 3cos()5，4sin()5，所以 ，所以131cos3 63sin()5例 10平面直角坐标系有点 求向量 和 的4,1cos),( xQxPOPQ夹角 的余弦用 表示的函数 ；求 的最值.xf解：（1），cosOPQxxx 22 cos1cs)1(cso 即 f2cos)4(x（2） ， 又 ，xs1s 23,cos， ， .,32cos0min3armx【问题 6】函数与三角小综合例 11已知函数 其中 为参数，且321()4cos,3fx,R02.考网| 精品资料共享 你的分享，大家
11、共享Page 7 of 13 7（I）当 时，判断函数 是否有极值；（II ）要使函数 的极小值大于cos0()fx()fx零，求参数 的取值范围；（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数在区间 内都是增函数，求实数 的取值范围。()fx(21,)aa解：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分 12 分。（I）解：当 时 则 在 内是增函数，故无极值。cos031()4,2fx()fx,)（II）解： 令 得2()16cos,fx0,f12cos,.由 及（I） ，只需考虑 的情况。0当 变化时， 的符号及 的变化
12、情况如下表：x()fx()fx因此，函数 在 处取得极小值 且()fxcos2cos(),2f3cos1()cs.24f要使 必有 可得 所以0,f31cos0,421cos,232（III ）解：由（ II）知，函数 在区间 与 内都是增函数。()fx(,)(,)由题设，函数 在 内是增函数，则 须满足不等式组()fx21,aa或210acos,00 cos(,)2cos2cs(,)()fx 0 0 A极大值 A极小值 A考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 8 of 13 8由（II） ，参数 时， 要使不等式 关于参数 恒成(,)3210cos.212cosa立，必有 综上
13、，解得 或 所以 的取值范围是1.4aa5.85(,0,1).8课后训练一、选择题：1设函数 图象的一条对称轴方程为 , 则直线xcosbsina)x(f 4x的倾斜角为 0cbyaA. B. C. D. 4433322已知 ，那么 A. B. C. 2tan(),tan()52tan()4154138D. 133若函数 f(x)同时具有以下两个性质：f (x)是偶函数，对任意实数 x，都有 f( )= x4f( )，则 f(x)的解析式可以是 Af(x)=cosx Bf(x)=cos(2x ) x4 2Cf(x)=sin(4x ) D f(x) =cos6x24把函数 的图象沿向量 的方向平
14、移后，所得的xysin3co )0(,ma图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 A B C 6332D 655在 内，使 成立的 的取值范围是 (0,2)cosintaxx（A）( ) （B）( ) （C） （ ） （D）( )4323,52,47,236函数 y=cosx（sinx+cosx）的最小正周期为 A B C D 27如果 ，且 ，那么 A. B. C. ,24sin5sincos4445D. 35考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 9 of 13 98已知 sin( x) ，则 sin2x 的值为（ ）A. B. C. 453251925162514D. 25
15、79函数 f(x) sin(x) cos(x)的图像关于点（5，0）对称，则 的值是（ 3）A. 10 B. 5 C.2k 10 D. k 5 （kZ）332310已知向量 ， （O 为原点， ） ，则向)sin,(co1P)cos1,sin(2PR量 的长度的最大值是（ ）21A B2 C3 D4 211曲线 和直线 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大)4cos()sin(xy 1y依次记为 P1，P 2，P 3，则 等于 A B2 C3 2| D4 12已知 中， 分别为角 所对的边，且 ， ，ABCcba,CB, 4a5cb，则 的面积为（A ） （B ） （C）Atn3tant 233（
16、D）322二、填空题：13 的三内角 所对边的长分别为 设向量 ,ABC, ,abc()pacb,若 ,则角 = (,)qbac/pqC314对于函数 （ ） ， 则它的值域为 ;(xfcosin ,cosixR15已知 sin ，cos( ) ，、（0， ） ，则 sin2 的值为 。5453216定义运算 为： 例如， ,则函数 的值域ba,ba1()sincofxx为 三、解答题：1已知 ，求（1） ；（2） 的值.2tansinco22cos.sini考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 10 of 13 10解：（1） ；231tancosi1sinco(2) 2222
17、 cosiii.341cosin22(上海卷) 已知 是第一象限的角，且 ，求 的值。5cos13sin4co2解： =)4cos(in sin1sinc)(2cos)in(22由已知可得 sin , 原式= .1343153已知点 A(2，0)，B(0，2)，C(cos ，sin )，且 0 。(1)若 ，求 与 的夹角；(2)若 ，求 tan 的值。7|OCABOCBCA解：(1)， | 7sin)co2(221cos又 ， 又 ， 与 的夹角为 .),0(3AO6(5 分)(2) ， ， )sin,2(coAC)2sin,(coBCBCA0 1sinco41243c),(),2(又由 及
18、 得 47cosin21sinco0sinc27sinco由 ， 。co1i374ta4已知 A (3， 0)，B (0，3)， C 若 =1,求 sin的值；(cs,n)ACB若 ,且 (0,),求 与 的夹角.|13OO解答:(1) =( cos3, i), =( os, i3),由 =1,考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 11 of 13 11得( cos3) + sin( 3)=1, cos+ in= 32,两边平方,得 1+ 2sin= 94,2in= 95(2) OCA=(3+ cos, in),(3+ cos)2+ in=13, cos= 21, (0,),=
19、3sin= 2, 3,31(OCB,设 B与 的夹角为 ,则 cos= 2|, = 6即为所求. 5已知向量 ， （）当 ，且 时，求)21,in(am)cos,(anm的值； （）当 ，且 时，求 的值2sin0mnt解：（）当 时， ， ， 由 ， 得2a)21,si(n0n， cosin上式两边平方得 ，因此， 21sin21sin（）当 时， ，由 得 0a),i(mm4cosi即 ， 或 21sin2tan1si32t6.（安徽卷）已知 （）求 的值；310,cot4tan（）求 的值。225sin8cos8i解：()由 得 ，即10tact32tan10t3，tn3t或又 ，所以
20、为所求。4tan3考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 12 of 13 12（） =225sin8icos181-cos1+cos54in82= = = 。cosis62cicos8ta62257 （北京卷）已知函数 ， （）求 的定义域；1in()4()osxfx()fx（）设 是第四象限的角，且 ，求 的值.ta3f解：（1）依题意，有 cosx0，解得 xk ，即 的定义域为x|xR，且 xk2()fx，kZ2（2） 2sinx2cosx 2sin2cos12sin()4()coxfx()f由 是第四象限的角，且 可得ta3sin ，cos 2sin2cos45()f 1458. （天津卷）已知 ， 求 和 的值5tancot2且cos2in()4本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。解法一：由 得 则tact,sin5,coi2,si.sin5因为 所以(,)42(,)2231,sinsin.cos.in44.510解法二：由 得5tat,21ta,t2解得 或 由已知 故舍去 得tn21t.(,)4an,tan2.因此， 那么5si,cos.223cossi,5考网| 精品资料共享 你的分享，大家共享Page 13 of 13 13且 4sin2icos,5故 i()in2.cos2.in4232.510
