1、陕西省西安中学薛党鹏第一章 集合与函数考试内容：集合.子集、交集、并集、补集.映射.函数(函数的记号、定义域、值域).幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性.反函数.互为反函数的函数图象间的关系.指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程.二次函数.考试要求：(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.(3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇
2、偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程.一、选择题1.在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0， )上的增函数，又是以 为周期的偶函数(85(3)3 分)2A.yx 2 B.y|sinx| C.ycos2x D.ye sin2xB2.函数 y(0.2) x 1 的反函数是(86(2)3 分)A.ylog 5x1 B.ylog x51 C.ylog 5(x1) D.ylog 5x1C3.在下列各图中，yax 2bx 与 yaxb 的图象只可能是(86(9)3 分)A. B. C. D.D4.设 S，T
3、 是两个非空集合，且ST，TS，令0 xy0 xy0 xy0xy陕西省西安中学薛党鹏XST，那么 SX(87(1)3 分)A.X B.T C. D.SD5.在区间(，0)上为增函数的是(87(5)3 分)A.y log0.5(x) B.y C.y(x1) 2 D.y1x x1 xB6.集合1，2，3的子集总共有(88(3)3 分)A.7 个 B.8 个 C.6 个 D.5 个B7.如果全集 Ia，b，c，d，e，Ma，c，d，Nb，d，e，则 (89(1)3 分)M N A. B.d C.a，c D.b，eA8.与函数 yx 有相同图象的一个函数是(89(2)3 分)A.y B.y C.ya
4、(a0 且 a1) D.y log aax(a0 且 a1)xx2x xlogD9.已知 f(x)8 2xx 2，如果 g(x)f (2x 2)，那么 g(x)(89(11)3 分)A.在区间(1，0)上是减函数 B.在区间(0，1)上是减函数C.在区间(2，0)上是增函数 D.在区间(0，2)上是增函数A10.方程 2 的解是(90(1)3 分)413logxA.x B.x C.x D.x919 33 3A11.设全集 I(x，y)|x ，y R，M (x ，y)| 1 ，N(x，y)|yx 1，则 (90(9)3 分)y 3x 2 M N A. B.(2，3) C.(2，3) D.(x，y
5、)|y x1B12.如果实数 x，y 满足等式(x 2) 2y 23，那么 的最大值是(90(10)3 分)yxA. B. C. D.12 33 32 3D13.函数 f(x)和 g(x)的定义域为 R，“f (x)和 g(x)均为奇函数”是“f(x)与 g(x)的积为偶函数”的(90 上海)A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件陕西省西安中学薛党鹏C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件B14.如果 loga2log b20，那么(90 广东)A.1ab B.1ba C.0ab1 D.0ba1A15.函数 y(x4) 2在某区间上是减函数，这区间可以是(90 年广东)A.(，
6、4 B.4，) C.4，) D.(，4A16.如果奇函数 f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为 5，那么 f(x)在区间7，3上是(91(13)3 分)A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5B17.设全集为 R，f(x)sinx，g(x)cosx，Mx|f(x )0，N x |g(x)0，那么集合x|f(x)g(x)0等于(91 年3 分)A. B. N C. N D.M N M M M N D18. 等于(92(1)3 分)log89log23A. B.1 C. D.223 32A19.图中曲线是幂函数 yx n 在第一象限的图象，已
7、知 n 取2， 四个值，则相应于曲线 c1，c 2，c 3，c 4的 n12依次是(92(6)3 分)A.2， ，2 B.2， ，21212 12 12C. ，2，2， D. ， 2，2，12 12 12 12B20.函数 y 的反函数(92(16)3 分)ex e x2A.是奇函数，它在(0，)上是减函数 B.是偶函数，它在(0，)上是减函数C.是奇函数，它在(0，) 上是增函数 D.是偶函数，它在(0，)上是增函数C21.如果函数 f(x)x 2bxc 对任意实数 t 都有 f(2t ) f(2t)，那么(92(17)3 分)A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f (4)C.
8、f(2)f (4) f(1) D.f(4)f(2)f (1)y c1c2c3c4o x陕西省西安中学薛党鹏A22.当 0a1 时，函数 ya x 和 y(a1)x 2的图象只可能是(92 年上海)A. B. C. D.D23.设全集 IR，集合 M x| 2，N|log x7log 37，那么 M (92 年三南)x2 N A.x|x2 B.x|x2 或 x3 C.x|x3 D.x|2x3B24.对于定义域为 R 的任何奇函数 f(x)都有(92 年三南)A.f(x) f(x )0(xR) B.f(x)f (x)0(xR)C.f(x)f(x)0(xR) D.f(x)f(x)0(xR)C25.F
9、(x)1 f(x)，(x0)是偶函数，且 f(x)不恒等于 0，则 f(x)(93(8)3 分)22x 1A.是奇函数 B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数A26.设 a，b，c 都是正数，且 3a4 b6 c，那么(93(16)3 分)A. B. C. D.1c 1a 1b 2c 2a 1b 1c 2a 2b 2c 1a 2bB27.函数 yxa 与 ylog ax 的图象可能是(93 年上海)A. B. C. D.C28.集合 Mx|x ，kZ，Nx|x ，k Z，则(93 年三南)k2 4 k4 2A.MN B.NM C.MN D.MN C29.设全集
10、I0，1，2，3， 4，集合 A0，1，2，3，集合 B2，3，4，则 (94(1)4 分)A B 1 1.1 .11 11 1.11 1.1陕西省西安中学薛党鹏A.0 B.0，1 C.0，1，4 D.0，1，2，3，4C30.设函数 f(x)1 (1x0)，则函数 yf 1 (x)的图象是(94(12)5 分)1 x2A. y B. y 1 C. y D. y 1 x1 x 1 O11 O x O 1 x 1B31.定义在 R 上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)与一个偶函数 h(x)之和，如果 f(x)lg(10 x1)，xR ，那么 (94(15)5 分)A.g(x)x
11、，h(x)lg(10 x10 x 1) B.g(x) ，h(x)lg(10x 1) x2 lg(10x 1) x2C.g(x) ，h (x)lg(10 x1) D.g(x) ，h(x)x2 x2 x2 lg(10x 1) x2C32.当 a1 时，函数 ylog ax 和 y(1a)x 的图像只可能是(94 上海)A. y B. y C. y D. y0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 xB33.设 I 是全集，集合 P，Q 满足 PQ，则下面结论中错误的是(94 年上海)A.PQQ B. Q I C.P D.P Q P Q P D34.如果 0a1，那么下列不等式中正确的是(94 上
12、海)A.(1a) (1a) B.log(1a) (1a)0 C.(1a) 3(1a) 2 D.(1a) 1a 1321A35.已知 I 为全集，集合 M，N I，若 MNN ，则(95(1)4 分)A. B. N C. D. NMN M MN M C36.函数 y 的图象是(95(2)4 分)1x 1A. y B. y C. y D. yO 1 x 1 O x O 1 x 1 O x陕西省西安中学薛党鹏B37.已知 ylog a(2ax)在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是(95(11)5 分)A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.2，)B38.如果 Px |(x1)
13、(2x5)0，Q x |0x10，那么(95 年上海)A.PQ B.PQ C.QP D.PQ RB39.已知全集 IN，集合 Ax|x 2n，nN，Bx|x4n，nN，则(96(1)4 分)A.IAB B.I B C.IA D.IA B A B C40.当 a1 时，同一直角坐标系中，函数 ya x ，ylog ax 的图象是(96(2)4 分)A. y B. y C. y D. y1 1 1 1O 1 x O 1 x O 1 x O 1 xA41.设 f(x)是( ，)上的奇函数，f(x2)f (x)，当 0x1，f (x)x，则 f(7.5)(96(15)5 分)A.0.5 B.0.5 C
14、.1.5 D.1.5B42.如果 loga3log b30，那么 a、b 间的关系为(96 上海 )A.0ab1 B.1ab C.0ba1 D.1baB43.在下列图像中，二次函数 yax 2bx 与指数函数 y( )x 的图像只可能是(96 上海)baA. B. C. D.A44.设集合 Mx|0x2，集合 Nx |x22x30，集合 MN(97(1)4 分)A.x|0 x1 B.x|0x 2 C.x|0x1 D.x|0x2B45.将 y2 x 的图象A.先向左平行移动 1 个单位 B.先向右平行移动 1 个单位C.先向上平行移动 1 个单位 D.先向下平行移动 1 个单位再作关于直线 yx
15、 对称的图象，可得到函数 ylog 2(x1)的图象.(97(7)4 分).11 1. .1 1.1.11 1. . .1 1.1陕西省西安中学薛党鹏D46.定义在区间(，)的奇函数 f(x)为增函数；偶函数 g(x)在区间0，)的图象与 f(x)重合.设ab0，给出下列不等式:f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f( a)g(a)g(b)f(a)f(b)g(b)g(a) f(a)f( b)g(b)g(a)其中成立的是(97(13)5 分)A.与 B.与 C.与 D.与C47.三个数 60.7，0.7 6，log 0.76 的大小关系为(97 上海)A.0.76log 0.766 0.7
16、 B.0.766 0.7log 0.76C.log0.766 0.70.7 6 D.log0.760.7 66 0.7D48.函数 ya |x|(a1)的图像是(98(2)4 分)A. y B. y C. y D. y1 1 1o x o x o x o xB49.函数 f(x) (x0)的反函数 f1 (x)(98(5)4 分)1xA.x(x0) B. (x0) C.x (x0) D. (x0)1x 1xB50.如果实数 x，y 满足 x2y 21，那么(1xy)(1xy)有 (98 年广东)A.最小值 和最大值 1 B.最大值 1 和最小值12 34C.最小值 而没有最大值 D.最大值 1
17、 而没有最小值34B51.如图，I 是全集，M、P 、 S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合 是A.(MP)S B.(M P)SC.(MP) D.(MP) (99(1)4 分)S S C52.已知映射 f:AB，其中集合 A3，2，1，1，2，3，4，集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f下的象，且对任意的 aA，在 B 中和它对应的元素是|a|，则集合 B 中的元素的个数是(99(2)4 分)A.4 B.5 C.6 D.7A53.若函数 yf(x)的反函数是 yg(x)，f (a)b，ab0，则 g(b)(99(3)4 分)PMS陕西省西安中学薛党鹏A.a B.a1 C
18、.b D.b1A54.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射 f：AB 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2nn，则在映射 f 下，象 20 的原象是(20005 分)A.2 B.3 C.4 D.5C55.中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过 800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.全月应纳税所得额 税率不超过 500 元的部分 5%超过 500 元至 2000 元的部分 10%超过 2000 元至 5000 元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得
19、介于(20005 分)A.800900 元 B.900 1200 元 C.12001500 元 D.15002800 元C56.设全集 Ia，b，c，d，e，集合 Ma，c，d，Nb，d，e，那么 是(2000 春京、皖(2)4 分)M N A. B.d C.a，c D.b，eA57.已知 f(x6) log2x，那么 f(8)等于(2000 春京、皖)A. B.8 C.18 D.43 12D58.函数 ylg| x|(2000 春京、皖(7)4 分)A.是偶函数，在区间(，0)上单调递增B.是偶函数，在区间(，0)上单调递减C.是奇函数，在区间(0，) 上单调递增D.是奇函数，在区间(0，
20、)上单调递减B59.已知函数 f(x)ax 3bx 2cxd 的图象如右图，则(2000 春京、皖(14)5 分)A.b(，0) B.b(0，1) C.b(1，2) D.b(2，)A60.若集合 Sy|y 3 x，x R，Ty|y x 21，xR ，则 ST 是(2000 上海(15)4 分)A.S B.T C. D.有限集A61.已知集合 A1，2，3，4，那么 A 的真子集的个数是(2000 广东)A.15 B.16 C.3 D.40 1 2 xy陕西省西安中学薛党鹏A62.设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集(x，y )|xR，yR，映射 f:AB 把集合 A 中的元素(x，y)映射
21、成集合 B 中的元素(x y ，xy)，则在映射 f 下，象(2，1)的原象是(2000 年江西、天津(1)5 分)A.(3，1) B.( ) C.( ) D.(1，3)3212 32 12B63.集合 M1，2，3，4，5 的子集个数是(2001 年春京、皖、蒙(1)5 分)A.32 B.31 C.16 D.15A64.函数 f(x) ax(a0 且 a1) 对于任意的实数 x、y 都有(2001 春京、皖、蒙(2)5 分)A.f(xy)f(x)f(y) B.f(xy)f (x)f(y)C.f(xy)f (x)f(y) D.f(xy)f(x)f(y)C65.函数 y 的反函数是 (2001
22、春京、皖、蒙(4)5 分)1 xA.yx 21(1x0) B.yx 21(0x1)C.y1 x 2(x0) D.y1x 2(0x 1)C66.已知 f(x6) log2x，那么 f(8)等于(2001 春京、皖、蒙 (7)5 分)A. B.8 C.18 D.43 12D67.若定义在区间(1， 0) 内的函数 f(x)log 2a(x1) 满足 f(x)0， 则 a 的取值范围是(2001 年(4)5 分)A.( ，) B.(0， C.(0， ) D.(0，)12 12 12C68.设 f(x)、g( x)都是单调函数，有如下四个命题:(2001 年(10)5 分)若 f(x)单调递增， g(
23、x)单调递增，则 f(x)g(x)单调递增;若 f(x)单调递增， g(x)单调递减，则 f(x)g(x)单调递增;若 f(x)单调递减， g(x)单调递增，则 f(x)g(x)单调递减;若 f(x)单调递减， g(x)单调递减，则 f(x)g(x)单调递减;其中，正确的命题是A. B. C. D.A69.满足条件 M11，2 ，3的集合 M 的个数是(2002 年北京(1)5 分)A.1 B.2 C.3 D.4B70.下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 ( ， )上为减函数的是(2002 年北京(3)5 分)2陕西省西安中学薛党鹏A.ycos 2x B.y2|sinx| C.y( )
24、cosx D.ycotx13B71.如图所示，f i(x)(i1，2，3，4)是定义在0， 1上的四个函数，其中满足性质：“对0， 1中任意的 x1和 x2，任意 0 ， 1， f x1(1)x 2f (x1)(1)f(x 2)恒成立”的只有(2002 年北京(12)5 分)A.f1(x)， f 3(x) B.f2(x) C.f2(x)， f3(x) D.f4(x)A72.一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温()有一定的关系，用图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年 12 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是(200
25、2 年上海(16)4 分)图(1) 图(2)A.气温最高时，用电量最多 B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加C73.集合 Mx|x ，k Z，Nx |x ，kZ，则(2002 年全国(5)、广东(5)、天津(6)5 分)k2 14 k4 12A.MN B.MN C.NM D.MN B74.函数 f(x) x|xa|b 是奇函数的充要条件是(2002 年广东(7)5 分)A.ab0 B.ab0 C.ab D.a2b 20D75.函数 y1 (2002 年广东(9)5 分)1x 1A.在(1，)内单调递增 B.在(1
26、，)内单调递减1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份302520151050140120100806040200气温 用电量陕西省西安中学薛党鹏C.在(1，)内单调递增 D.在(1，)内单调递减C76.函数 yx 2bx c(x0，)是单调函数的充要条件是(2002 年全国(9)、天津(8)5 分)A.b0 B.b0 C.b0 D.b0A77.据 2002 年 3 月 9 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到 95 933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十五”期间(2001 年200
27、5 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为(2002 年全国(12)、广东(12)、天津(12)5 分)A.115 000 亿元 B.120 000 亿元 C.127 000 亿元 D.135 000 亿元C78. 函数 y1 的图像是(2002 年全国(10)5 分)1x 1A B. C. D.B79.若集合 My|y2 x ， Py|y ，则 MP(2003 年春北京(1)5 分)x 1Ay |y1 By|y 1 Cy |y0 Dy|y0C80.若 f(x) ，则方程 f(4x)x 的根是(2003 年春北京(2)5 分)x 1xA B C2 D2
28、12 12A81.关于函数 f(x)(sinx )2 ，有下面四个结论：(f(2,3)|x| 12(1)f(x)是奇函数 (2)当 x2003 时， f(x) 恒成立12(3)f(x)的最大值是 (4)f(x)的最小值是32 12其中正确结论的个数为(2003 年春上海(16)4 分)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个A陕西省西安中学薛党鹏二、填空题1.设函数 f(x)的定义域是 0，1，则函数 f(x2)的定义域为_.(85(10)4 分)答：1，12.已知圆的方程为 x2(y 2) 29，用平行于 x 轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆 (包括端点)为图像的函数表达式为_
29、(85 广东)答：y2 9 x23.方程 的解是_.(86(11)4 分)40.5x2答：x 112x2 324.方程 9x 23 1x 27 的解是 _.(88(17)4 分)答：x25.函数 y 的反函数的定义域是_.(89(15)4 分)ex 1ex 1答：(1，1)6.函数 y 的值域为 _(89 广东)x2 49答：y07.函数 y 的定义域是 _(90 上海)x 4x 2答：4，2)(2，)8.设函数 yf( x)的图象关于直线 x1 对称，若当 x1 时，yx 21，则当 x1 时，y_(91 年上海)答：(x2) 219.设函数 f(x) x2x 的定义域是n，n1(n 是自然
30、数)，那么在 f(x)的值域中共有_个整数(91 年三12南)答：2n210. 方程 3 的解是_.(92(19)3 分)1 3x1 3x答：x111. 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 3 个元素组成的子集数为 T，则 的值为TS_.(92(21)3 分)答：1512812. 已知函数 yf(x)的反函数为 f1 (x) 1(x0)，那么函数 f(x)的定义域为_(92 上海)x答：x113.设 f(x)4 x2 x1 (x0)，f 1 (0)_.(93(23)3 分)陕西省西安中学薛党鹏答：1注:原题中无条件 x0，此时 f(x)不存在反函数.14.函数 yx 2 2x
31、3 的最小值是_(93 年上海)答：215.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1，a 2，a n，共 n 个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从 a1，a 2，a n 推出的 a_. (94(20)4 分)答：a1 a2 ann16.函数 ylg 的定义域是_(95 上海)10x 2答：(lg2，)17.1992 年底世界人口达到 54.8 亿，若人口的年平均增长率为 x%，2000 年底世界人口数为 y(亿)，那么 y 与 x的关系式为_(96 上海)答：y54.8(1x
32、%)818.方程 log2(9x5)log 2(3x2)2 的解是 x_(96 上海)答：119.函数 y 的定义域为_(96 上海)1log0.5(2 x)答：(1，2)20.lg20log 10025_(98 上海)答：221.函数 f(x)a x(a0，a1) 在区间1，2上的最大值比最小值大 ，则 a_(98 上海)a2答：12或 3222.函数 y 的最大值是_(98 年上海)2x 3 (x 0)x 3 (0 x 1) x 5 (x 1) )答：423.函数 ylog 2 的定义域为_(2000 上海(2)4 分)2x 13 x答：( ，3)1224.已知 f(x)2 xb 的反函数
33、为 yf 1 (x)，若 yf 1 (x)的图像经过点 Q(5，2)，则 b_(2000 上海(5)4 分)答：125.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 GDP(GDP 是值国内生产总值)4035 亿元，2000 年上海市 GDP 预期增长 9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍，至少需要陕西省西安中学薛党鹏_年(2000 上海(6)4 分)(按：1999 年本市常住人口总数约 1300 万)答：926.设函数 yf(x)是最小正
34、周期为 2 的偶函数，它在区间0，1上 的图像为如图所示的线段 AB，则在区间1，2上，f(x )_(2000 上海(8)4 分)答：x27.函数 的反函数 _(2001 年春)0(1)(2xf )(1xf 上海(1)4 分)答： (x1)x 128.关于 x 的函数 f(x)sin(x)有以下命题：(2001 年春上海(11)4 分)(1)对任意的 ，f(x)都是非奇非偶函数；(2)不存在 ，使 f(x)既是奇函数，又是偶函数；(3)存在 ，使 f(x)是奇函数；(4)对任意的 ，f(x)都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_。因为当 =_时，该命题的结论不成立。答：(1)，k (kZ )；
35、(1)， k(k Z )；(4)， k (kZ)等。(两个空格全填对时才能得分，其中 k 也可2 2以写成任何整数)29.方程 log3(12 3x)2x1 的解 x_.(2002 年上海(3)4 分)答：130.已知函数 yf(x)(定义域为 D，值域为 A)有反函数 yf 1 (x)，则方程 f(x)0 有解 xa，且 f(x)x(xD)的充要条件是 yf 1 (x)满足_(2002 年上海(12)4 分)答：_f 1 (0)a 且 f1 (x)x(x A)；yf 1 (x)的图像在直线 yx 的下方，且与 y 轴的交点为(0，a)；31.函数 y (x(1，)图象与其反函数图象的交点坐标
36、为_。(2002 年天津(13)4 分)2x1 x答：(0，0)，(1，1)32.函数 ya x 在0，1上的最大值和最小值之和为 3，则 a_(2002 年全国(13)4 分)答：233.已知函数 f(x) ，那么 f(1)f (2)f( )f (3)f( )f(4)f( )_(2002 年全国(16)、广东x21 x2 12 13 14(16)、天津(16)4 分)答：7234.若存在常数 p0，使得函数 f(x)满足 f(px)f(px )(xR)，则 f(x)的一个正周期为_.(2003 年p2春北京(16)4 分)答： (填 的任何一个正整数倍均可)p2 p20 1 2 xy21 B
37、A陕西省西安中学薛党鹏35.已知函数 f(x) 1，则 f1 (3)_.(2003 年春上海(1)4 分)x答：436.已知集合 Ax |x|2，xR，Bx|x a且 AB，则实数 a 的取值范围是_.(2003 年春上海(5)4 分)答：(，2)37.若函数 yx 2(a2)x3，xa，b的图象关于直线 x1 对称，则 b_.(2003 年春上海(11)4分)答：6三、解答题1.解方程 log 4(3x )log 0.25(3x)log 4(1x)log 0.25(2x1).(85(11)7 分)解：由原对数方程有意义，可得 x 的取值范围是0.5x1，原方程化为 log4 即 3 x3 x
38、 log41 x2x 1 3 x3 x 1 x2x 1解这个方程得 x10，x 27.其中 x10( ，1)是原方程的解，x 27 ( ，1)，应舍去.12 122.设 a，b 是两个实数，A(x，y )|xn，ynab，n 是整数，B(x，y)|xm，y3m 215，m 是整数，C(x，y )|x2y 2144是 xoy 平面内的集合，讨论是否存在 a 和 b 使得AB ，(a，b)C 同时成立.(85(17)12 分)解法一:如果存在实数 a 和 b 使得式成立，则存在整数 m 和 n 使得(n，nab)(m，3m 215)即 nm， nab3m 215nab3n 215这个等式表明点 P
39、(a，b)在直线 l:nxy3n 215 上原点 O 到直线 l 的距离 d|3n2 15|n2 1 3(n2 5)n2 1 3(f(n2 1,r(n2 1) f(4,r(n2 1)d12，当且仅当 n23 时取等号，而 nZ，n 23，故只有 d12点 P 到原点的距离|PO| d12，即 a2b 2144.a2 b2而成立要求 a2b 2144.由此可知，同时满足的 a，b 不存在.解法二:如果存在实数 a，b 能同时满足，同解法一，由成立知，存在整数 n 使得 nab3n 215，即 b3n 2na15， (*)由成立得 a2b 2144将(*)式代入上式，并按 a 整理得关于 a 的二
40、次不等式(1n 2)a22n(3n 215)a(3n 215) 21440陕西省西安中学薛党鹏它的判别式4n 2(3n215) 24(1n 2)(3n215) 214436(n 23)nZ，n 230，于是0又因 1n 20，故这个关于 a 的不等式不可能有实数解即是说不存在实数 a，b，使得同时成立.解法三:如果存在实数 a，b 能同时满足，同解法一，由成立知，存在整数 n 使得3n2an(b15)0 (*)于是它的判别式应非负，即a 212b1800 (*)由此得 12b180a 2由成立知 a2b 2144， (*)即 a 2b 2144因此有 12b180b 2144即(b6) 20只
41、有 b6将 b6 代入判别式(*)得出 a2108但将 b6 代入(*)式得出 a2108于是只有 a2108，此时从(*)式解出 n Zab 3所以不存在实数 a，b，使得同时成立.3.已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素，AB 含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数:CAB，且 C 中含有 3 个元素，CA ( 表示空集)(86(20)10 分)解法一:以为 A，B 各含有 12 个元素，AB 含有 4 个元素，因此 AB 的元素个数是 1212420 个，所以满足条件的集合个数是 C ，在上面集合中，还满足 AC 的集合 C 的个数是 C ，因此所求集合3
42、20 38C 的个数为 1084.3820解法二:由题目条件可知，属于 B 而不属于 A 的元素个数是 1248，因此，在 AB 中只含 A 中 1 个元素的所求集合 C 的个数为 C ；同理，含 A 中 2 个元素和 3 个元素的集合 C 的个数分别为 C 和 C ，总数281 8232为 C 1084.3128214.给定实数 a，a0 且 a1，设函数 y (xR 且 x )，证明:x 1ax 1 1a经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴；这个函数的图象关于直线 yx 成轴对称图形.(88(24)12 分)证法一:设 M1(x1，y 1)，M 2(x2，y 2)是这个函
43、数图象上任意两个不同点，则 x1x 2，且y2y 1x2 1ax2 1 x1 1ax1 1 ax1x2 x2 ax1 1 (ax1x2 x1 ax2 1)(ax2 1)(ax1 1)(x1 x2)(a 1)(ax2 1)(ax1 1)a1 且 x1x 2，y 2y 10陕西省西安中学薛党鹏从而直线 M1M2的斜率 k 0，因此直线 M1M2不平行于 x 轴.y2 y1x2 x1设点 P(x1， y1)是这个函数的图象上任意一点，则 x1 (i)1a且 y1 x1 1ax1 1易知点 P(x1， y1)关于直线 yx 的对称点 P1的坐标为(y 1，x 1)由(i)式得 y 1(ax11)x 11变形得 x 1(ay11)y 1 1
