1、专题十四 坐标系与参数方程第三十四讲 坐标系与参数方程答案部分1 【解析】利用 ， ，可得直线的方程为 ，圆2cosxsiny 0xya的方程为 ，所以圆心 ，半径 ，由于直线与圆相切，故圆心2(1)y(1,0)1r到直线的距离等于半径，即 ， 或 ，|2a2又 ， 0a121【解析】圆的普通方程为 ，即 240xy22(1)()1xy设圆心为 ，所以 (,)Cmin|2APCr32【解析】直线的普通方程为 ，231xy圆的普通方程为 ，2(1)xy因为圆心到直线的距离 ，所以有两个交点4d42【解析】将 化为直角坐标方程为 ，将cos3in0 310xy=2cos 化为直角坐标方程为 ，圆心
2、坐标为(1,0)，半径 r=1，又(1，0)2(1)xy在直线 上，所以|AB|=2r=2 10xy5 【解析】由 得 ，所以 ，2sin()24-=(sinco)2-=1yx-=故直线 的直角坐标方程为 ，而点 对应的直角坐标为l 10xy-+7(2,)4A，所以点 到直线 ： 的距离为 (2,)A-(2,)Al-=|21|5+=66【解析】圆 即 ，化为直角坐标方程为 ，8sin=8sin22(4)6xy-直线 ，则 ，化为直角坐标方程为 ，圆心 到直线3ta330-,的距离为 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6|42-=7【解析】(1)由 ， 得 的直角坐标方程为 cosxsiny2
3、C2(1)4xy(2)由(1)知 是圆心为 ，半径为 的圆2C(1,0)A由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ，12Byy1l轴左边的射线为 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于yl2C12C与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与1l2C2 l 1l有两个公共点当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故1l2A1l22|1k或 43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点，1l2C43k1l2C与 有两个公共点2lC当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，
4、故2l A2l22|1k或 0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点1l2C43k2lC综上，所求 的方程为 14|3yx8【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 C2146y当 时， 的直角坐标方程为 ，cos0l tantanx当 时， 的直角坐标方程为 1(2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程lCt2(13cos)4(cosin)80tt因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以有两个解，设为 ， ，则Cl(1,2C1t2120t又由得 ，故 ，于是直线 的斜率1224(cosin)3t cosin0lank9 【解析】(1) 的直角坐标
5、方程为 OA21xy当 时， 与 交于两点2l当 时，记 ，则 的方程为 与 交于两点当且仅当tankl2ykxlOA，解得 或 ，即 或 2|1k1(,)4(,)4综上， 的取值范围是 (,)4(2) 的参数方程为 为参数， lcos,(2inxtty4)设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，ABPAtBPt2ABt且 ， 满足 t2sin10tt于是 ， 又点 的坐标 满足siABt2siPtP(,)xycos,2in.Pt所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， Pin,2cosxy(4)10C 【解析】因为曲线 的极坐标方程为 ，C=4所以曲线 的圆心为 ，直径为 4 的圆(2,0
6、)因为直线 的极坐标方程为 ，lsin()26则直线 过 ，倾斜角为 ，(4,)A所以 A 为直线 与圆 的一个交点lC设另一个交点为 B，则OAB= 6连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA= ，2xBOAl所以 4cos236AB因此，直线 被曲线 截得的弦长为 lC2311 【解析】 （1）曲线 的普通方程为 19xy当 时，直线 的普通方程为 al430由 解得 或 243019xy3xy215从而 与 的交点坐标为 ， Cl(,0)214,)5（2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离0xyaC(3cos,in)l为|3cos4in|17ad当 时， 的最大值为 由题设得
7、 ，所以 ；4a 9a98a当 时， 的最大值为 由题设得 ，所以 d1717a16综上， 或 8a612 【解析】 （1）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 P(,)0M1(,)0由椭圆知， |OP14|cosM由 得 的极坐标方程 |16OM2C(0)因此 的直角坐标方程为 2 2()4xyx（2）设点 的极坐标为 由题设知 ， ，于是B,B0|2OA4cosB面积A1|sin2BSA4co|()|3|sin|223当 时， 取得最大值 12S所以 面积的最大值为 OAB13 【解析】 （1）消去参数 得 的普通方程 ；t1l:lykx12消去参数 得 的普通方程 m2l:l2设 ，由题设得
8、，消去 得 (,)Pxyykx1kxy240所以 的普通方程为Cxy240（2） 的极坐标方程为 cosin2, 2联立 得 cosin2+-=0icosin=+故 ，从而tan13csin2291，代入 得 ，所以交点 的极径为 osi2-45M514 【解析】直线 的普通方程为 .l280xy因为点 在曲线 上，设 ，PC(,)Ps从而点 到直线 的的距离 ，l2 22|4|()45(1)sd当 时， .2smin45因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 .P(,)CPl4515 【解析】(1) cos1inxaty（ 均为参数） 22 1C为以 0， 为圆心， a
9、为半径的圆方程为 2210xya 22sinxy， 2si10a即为 1C的极坐标方程(2) 24coC：两边同乘 得 222cscosxyx，24xy即 23C：化为普通方程为 yx，由题意： 1C和 2的公共方程所在直线即为 3C得： 2410xa，即为 3 210a， 16 【解析】 （）整理圆的方程得 ，210xy由 可知圆 的极坐标方程为 22cosinxyC2cos10()记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，kkxy由垂径定理及点到直线距离公式知： ，2261051k即 ，整理得 ，则 2369014k253k317 【解析】 （） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 .1C21x
10、y2C40xy（）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，P(cos,in)2C所以 的最小值，即为 到 的距离 的最小值，|PQ2d|3cosin4|() |si()2|32d当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，()6kZd2此时 的直角坐标为 P31,218【解析】椭圆 的普通方程为 ，将直线 的参数方程 ，C214yxl123xty代入 ，得 ，即 ，214yx223()()14tt2760t解得 ， .10t267t所以 .|AB19 【解析】 （）因为 ，cos,inxy 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为1C2C2cos4in0（）将 代入 ，得 ，=2cos4in023
11、40解得 = ， = ，|MN|= = ，1212因为 的半径为 1，则 的面积 = 2C2CMNAosi451220 【解析】 （）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为2C20xy3C联立 解得 或230xyx2,30xyx,xy,2,所以 与 交点的直角坐标为 和 2C1(,),)2（）曲线 的极坐标方程为 ，其中 1 ,0R因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 A(2sin,)B(3cos,)所以 ，i3coB4i)s当 时， 取得最大值，最大值为 5621 【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 轴的正半轴，建x立直角坐标系 xoy圆 的极坐标方程为 ，
12、C22sincos40化简，得 2sinco40则圆 的直角坐标方程为 ，2xy即 ，所以圆 的半径为 216xyC622 【解析】 （）由 23sin,3sin得 ，从而有 2+,+xyxy所 以 （）设 1(3t,)C(0,3)P又 ，则22|C1ttt，故当 =0 时，| |取最小值，此时 点的直角坐标为 .tPP(3,0)23 【解析】 2cos.().3inxy（ I） 曲 线 C的 参 数 方 程 为 为 参 数5 分60.lx直 线 的 普 通 方 程 为 2（） cosil曲 线 上 任 意 一 点 P()到 的 距 离 为54cos3in6.d25 4si(), tan.si
13、0 3PA则 其 中 为 锐 角 ， 且25in .PA当 (+)=-1时 ， 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为si() .当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为24 【解析】 （I）C 的普通方程为 2(1)(01)xy可得 C 的参数方程为（t 为参数， ）1cos,inxytx（）设 D .由（ I）知 C 是以 G（1,0）为圆心， 1 为半径的上半圆。(,)t因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同，tan3,t故 D 的直角坐标为 ，即 (1cos,in)33(,)225 【解析】将 45sixty消去参数 t，化为普通方程 2
14、2(4)(5)xy，即 1C： 28106y，将 cosinxy代入2xy得， 281060， 1的极坐标方程为 2cosi；（） 2C的普通方程为 20xy，由 28106xy解得 1x或 2y， 1与 2的交点的极坐标分别为( 2,4)， (,26 【解析】（）由题意有 因此cosincos,in,PQcos,sinM的轨迹的参数方程为 （ ）cs2,inxy02（） 点到坐标原点的距离（ ）22cosdxy02当 时， ，故 M的轨迹过坐标原点027 【解析】 （1）点 的极坐标为,ABCD541(,),(,)2,3636点 的直角坐标为, 1,)（2）设 ；则0(,)Pxy02cos()3inx为 参 数2220416tABPCDxy30si,528 【解析】 （I）设 ，则由条件知 M( ,2).由于 M 点在 上，所以(,)xy 1C，即 2cosinxy4cosiny从而 的参数方程为 （ 为参数） ，2Ccs4ixy（）曲线 1的极坐标方程为 n，曲线 的极坐标方程为 8sin2C射线 3与 的交点 A的极径为 1si3，射线 3与 的交点 B的极径为 28sin32C所以 1|3A
