1、文 科 数 学 试 题 第 1页 （ 共 10页 ）深 圳 市 2019 年 高 三 年 级 第 一 次 调 研 考 试文科数学试题参考答案及评分标准第卷一选择题（ 1） C （ 2） B （ 3） A （ 4） C （ 5） B （ 6） A（ 7） C （ 8） A （ 9） C （ 10） B （ 11） D （ 12） C12【 解 析 】 不 妨 设 2 1x x ， 由 1 2( ) ( )f x f x ， 要 使 1 2| |x x 最 大 ， 即 转 化 为 求 1 2 maxx x ，问 题 可 转 化 为 （ 如 图 所 示 ） 1 1( , )A x y 到 1( 0)
2、y x x 距 离 的 最 大 值 问 题 此 时 需 过 A点 的 切 线 与 1y x 平 行 当 0x 时 ， ( ) ln 1f x x ，令 ( ) 1f x ， 则 1 1x ， (1,0)A ， 2 1x 所 以 1 2| |x x 的 最 大 值 为 2二填空题：13 e 1 14 60 15 2 16 2 716【 解 析 】 由 题 意 可 知 1 1sin150 32 4ABCS ac ac ， 得 4 3ac 设 BD x ， 则1 3 4 34 4BCD ABDS S ax cx ， 可 得 4 33x a c ， 当 且 仅 当 3a c 时 x取 到 最 大值 ，
3、 所 以 2 3a ， 2c ， 由 余 弦 定 理 可 得 2 7b三、解答题：解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）记 nS 为 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 已 知 1 4a ， 公 差 0d ， 4a 是 2a 与 8a 的 等比 中 项 （ 1） 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 求 数 列 1 nS 前 n项 和 为 nT 【 解 析 】 （ 1） 2a ， 4a ， 8a 成 等 比 数 列 ， 24 2 8a a a ，文 科 数 学 试 题 第 2页 （ 共 10页 ）
4、 21 1 1( 3 ) ( )( 7 )a d a d a d ， 2 分 2(4 3 ) (4 )(4 7 )d d d ，解 得 4d 或 0d ， 0d ， 4d 4 分 数 列 na 的 通 项 公 式 1 ( 1) 4 ( )na a n d n n N 6 分（ 2） 21( ) 2 22 nn n a aS n n ， 8 分 21 1 1 1 1( )2 2 2 1nS n n n n ， 10 分 1 21 1 1 nnT S S S 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) (1 )2 1 2 2 3 1 2 1n n n 12 分【 命 题 意 图 】
5、本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 、 前 n 项 和 公 式 、 等 比 中 项 、 裂 项 相 消求 和 法 等 知 识 与 技 能 ， 重 点 考 查 方 程 思 想 ， 考 查 数 学 运 算 、 逻 辑 推 理 等 数 学 核 心 素 养 18 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）工 厂 质 检 员 从 生 产 线 上 每 半 个 小 时 抽 取 一 件 产 品 并 对 其 某 个 质 量 指 标 Y 进 行 检 测 ， 一共 抽 取 了 48 件 产 品 ， 并 得 到 如 下 统 计 表 该 厂 生 产 的 产 品 在 一 年 内 所 需 的 维 护 次
6、数 与 指 标Y 有 关 ， 具 体 见 下 表 质 量 指 标 Y 9.4,9.8 9.8,10.2 10.2,10.6频 数 8 24 16一 年 内 所 需 维 护 次 数 2 0 1（ 1） 以 每 个 区 间 的 中 点 值 作 为 每 组 指 标 的 代 表 ， 用 上 述 样 本 数 据 估 计 该 厂 产 品 的 质 量指 标 Y 的 平 均 值 （ 保 留 两 位 小 数 ） ；（ 2） 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 上 述 样 本 中 先 抽 取 6 件 产 品 ， 再 从 6 件 产 品 中 随 机 抽 取 2 件产 品 ， 求 这 2 件 产 品 的 指 标 Y
7、都 在 9.8, 10.2 内 的 概 率 ；（ 3） 已 知 该 厂 产 品 的 维 护 费 用 为 300 元 /次 工 厂 现 推 出 一 项 服 务 ： 若 消 费 者 在 购 买 该厂 产 品 时 每 件 多 加 100 元 ， 该 产 品 即 可 一 年 内 免 费 维 护 一 次 将 每 件 产 品 的 购 买 支 出 和 一 年的 维 护 支 出 之 和 称 为 消 费 费 用 假 设 这 48 件 产 品 每 件 都 购 买 该 服 务 ， 或 者 每 件 都 不 购 买 该服 务 ， 就 这 两 种 情 况 分 别 计 算 每 件 产 品 的 平 均 消 费 费 用 ， 并
8、 以 此 为 决 策 依 据 ， 判 断 消 费 者 在购 买 每 件 产 品 时 是 否 值 得 购 买 这 项 维 护 服 务 ？文 科 数 学 试 题 第 3页 （ 共 10页 ）【 解 析 】 （ 1） 指 标 Y 的 平 均 值 1 3 2=9.6 +10 +10.4 10.076 6 6 2 分（ 2） 由 分 层 抽 样 法 知 ， 先 抽 取 的 6 件 产 品 中 ， 指 标 Y 在 9.8,10.2 内 的 有 3 件 ， 记 为1 2 3A A A、 、 ； 指 标 Y 在 10.2,10.6 内 的 有 2 件 ， 记 为 1 2B B、 ； 指 标 Y 在 9.4,9
9、.8 内 的 有1 件 ， 记 为 C 3 分从 6 件 产 品 中 随 机 抽 取 2 件 产 品 ， 共 有 基 本 事 件 15 个 ： 1 2 1 3 1 1A A A A A B, 、 , 、 , 、 1 2 1A B A C, 、 , 、 2 3 2 1 2 2 2, , , ,A A A B A B A C、 、 、 、 3 1 3 2 3, , ,A B A B A C、 、 、 1 2 1 2, , ,B B B C B C、 、 5 分其 中 ， 指 标 Y 都 在 9.8,10.2 内 的 基 本 事 件 有 3 个 ： 1 2 1 3 2 3,A A A A A A,
10、、 , 、 6 分所 以 由 古 典 概 型 可 知 ， 2 件 产 品 的 指 标 Y 都 在 9.8,10.2 内 的 概 率 为 3 115 5P 7 分（ 3） 不 妨 设 每 件 产 品 的 售 价 为 x元 ，假 设 这 48 件 样 品 每 件 都 不 购 买 该 服 务 ， 则 购 买 支 出 为 48x元 其 中 有 16 件 产 品 一 年 内的 维 护 费 用 为 300 元 /件 ， 有 8 件 产 品 一 年 内 的 维 护 费 用 为 600 元 /件 ， 此 时 平 均 每 件 产 品 的消 费 费 用 为 1= 48 16 300+8 600 = 20048 x
11、 x 元 ； 9 分假 设 为 这 48 件 产 品 每 件 产 品 都 购 买 该 项 服 务 ， 则 购 买 支 出 为 48 100x 元 ， 一 年 内只 有 8 件 产 品 要 花 费 维 护 ， 需 支 出 8 300=2400 元 ， 平 均 每 件 产 品 的 消 费 费 用 1= 48 100 +8 300 15048 x x 元 11分所 以 该 服 务 值 得 消 费 者 购 买 12 分【 命 题 意 图 】 本 题 主 要 考 查 通 过 用 样 本 估 计 总 体 （ 平 均 数 ） 、 古 典 概 型 、 概 率 决 策 等 知 识点 ， 重 点 体 现 数 学
12、运 算 、 数 据 分 析 等 数 学 核 心 素 养 19 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 ABCD为 平 行 四 边 形 ， PD DC ， AD PC （ 1） 求 证 ： AC AP ；（ 2） 若 平 面 APD 平 面 ABCD， 120ADC ， 4AD DC ， 求 点 B 到 平 面PAC 的 距 离 文 科 数 学 试 题 第 4页 （ 共 10页 ）【 解 析 】 （ 1） 证 明 ： 取 PC中 点 M ， 连 接 AM ， DM ， 1 分PD DC ， 且 M 为 PC 中 点 ，DM PC ， 2 分AD PC ，
13、 AD DM D ， 3 分PC 平 面 ADM ， 4 分AM 平 面 ADM ，PC AM ， 5 分 M 为 PC 中 点 ，AC PA 6 分（ 2） 过 点 P 作 PH 垂 直 AD 延 长 线 于 点 H ， 连 接 CH ， 7 分平 面 APD 平 面 ABCD， 平 面 APD 平 面 ABCD AD ，PH 平 面 APD， PH AD，PH 平 面 ABCD， 8 分CH 平 面 ABCD，PH CH ， 9 分PD DC ， AD AD ， AC AP ， ADP ADC ， 120ADC ADP ， 4PD CD AD ， 4 3AC AP ，2 3PH CH ，
14、2 6PC 10 分设 Bh 为 点 B 到 平 面 PAC 的 距 离 ，由 于 P ABC B ACPV V ， 可 得 1 13 3ABC ACP BS PH S h ，1 34 4 4 32 2ABCS ，1 2 6 42 6 72ACPS ， 11 分所 以 4 77Bh 即 点 B 到 平 面 PAC 的 距 离 为 4 77 12 分【 命 题 意 图 】 本 题 主 要 考 查 了 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 、 线 面 垂 直 的 定 义 、 面 面 垂 直 的 性 质 、文 科 数 学 试 题 第 5页 （ 共 10页 ）等 体 积 法 求 点 到 面 的 距 离
15、等 知 识 ， 重 点 考 查 等 价 转 换 思 想 ， 体 现 了 直 观 想 象 、 数 学 运 算 、 逻辑 推 理 等 核 心 素 养 20 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）设 抛 物 线 C： 2 4y x ， 直 线 :l 2 0x my 与 C交 于 A， B 两 点 （ 1） 若 4 6AB ， 求 直 线 l的 方 程 ；（ 2） 点 M 为 AB 的 中 点 ， 过 点 M 作 直 线 MN 与 y 轴 垂 直 ， 垂 足 为 N ， 求 证 ： 以 MN为 直 径 的 圆 必 经 过 一 定 点 ， 并 求 出 该 定 点 坐 标 【 解 析 】 （ 1） 由 2
16、2,4 ,x myy x 消 去 x并 整 理 ， 得 2 4 8 0y my ， 1 分显 然 216 32 0m ， 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，由 韦 达 定 理 可 得 ， 1 2 4y y m ， 821 yy ， 3 分2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB m y y m y y y y + ，2 24 1 2 4 6AB m m ， 4 分2 4m （ 舍 去 ） 或 2 1m ，1m ，直 线 方 程 为 02 yx 或 02 yx 5 分（ 2） 设 AB 的 中 点 M 的 坐 标 为 ),( MM yx ， 则 1 2 22M
17、y yy m ，又 21 2 1 2( ) 4 4 4x x m y y m ，21 2 2 22M x xx m ， 6 分2(2 2,2 )M m m ， 由 题 意 可 得 (0,2 )N m ， 7 分设 以 MN 为 直 径 的 圆 经 过 点 ),( 00 yxP则 2 0 0(2 2 ,2 )PM m x m y ， 0 0( ,2 )PN x m y ， 8 分由 题 意 可 得 ， 0PNPM ，即 2 2 20 0 0 0 0(4 2 ) 4 2 0x m y m x y x ， 9 分由 题 意 可 知 002 20 0 04 2 04 0 2 0xyx y x ， ，
18、10 分文 科 数 学 试 题 第 6页 （ 共 10页 ）20 x ， 00 y ， 11 分定 点 )0,2( 即 为 所 求 12 分【 命 题 意 图 】 本 题 主 要 考 查 抛 物 线 方 程 、 直 线 与 抛 物 线 位 置 关 系 、 弦 长 公 式 、 定 点 问 题等 知 识 ， 重 点 考 查 数 形 结 合 思 想 ， 体 现 了 数 学 运 算 、 数 学 建 模 、 逻 辑 推 理 等 数 学 核 心 素 养 21 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 函 数 ( ) 2 e 2xf x ax x ， 其 中 2a （ 1） 当 0a 时 ， 求 函 数
19、( )f x 在 1,0 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ；（ 2） 若 函 数 ( )f x 为 R 上 的 单 调 函 数 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 【 解 析 】 （ 1） 当 0a 时 ， ( )=2e 2xf x x ， ( )=2e 1xf x 1 分由 ( ) 0f x 解 得 ln2x ， 由 ( ) 0f x 解 得 ln2x 故 函 数 ( )f x 在 区 间 1, ln2 上 单 减 ， 在 区 间 ln2,0 上 单 增 2 分 min( ) ln2 ln2 1f x f 3 分 2( 1)= 1 0ef ， (0)=0f ， max( ) (0) 0
20、f x f 4 分（ 2） 法 一 ： 令 ( ) ( ) 2 e 1xg x f x ax a ， 则 ( ) 2 2 exg x ax a （ i） 当 =0a 时 ， 由 （ 1） 知 ， 与 题 意 不 符 ； 5 分（ ii） 当 0a 时 ， 由 2( ) 0 2g x x a ， 2( ) 0 2g x x a 22min 2( ) =g 2 = e 1 0ag x aa ， (0)= +1 0g a ， 此 时 函 数 ( )f x 存 在 异 号 零 点 ， 与 题 意 不 符 6 分（ iii） 当 2 0a 时 ， 由 ( ) 0 g x ， 可 得 2 2x a ，由
21、( ) 0 g x 可 得 22x a ( )g x 在 2, 2 a 上 单 调 递 增 ， 在 22 +a ， 上 单 调 递 减 文 科 数 学 试 题 第 7页 （ 共 10页 ）故 22max 2( ) =g 2 = e 1ag x aa 7 分由 题 意 知 ， 22e 1 0aa 恒 成 立 8 分令 22 ta ， 则 上 述 不 等 式 等 价 于 e 12t t ， 其 中 1t 9 分易 证 ， 当 0t 时 ， e 1 12t tt ，又 由 （ 1） 的 结 论 知 ， 当 10t ， 时 ， e 12t t 成 立 11 分由 21 2 0a ， 解 得 2 1a
22、综 上 ， 当 2 1a 时 ， 函 数 ( )f x 为 R 上 的 单 调 函 数 ， 且 单 调 递 减 12 分（ 2） 法 二 ： 因 为 2( 1) 1 0ef ， 所 以 函 数 ( )f x 不 可 能 在 R 上 单 调 递 增 6 分所 以 ， 若 函 数 ( )f x 为 R 上 单 调 函 数 ， 则 必 是 单 调 递 减 函 数 ， 即 ( ) 0f x 恒 成 立 由 (0) 1 0f a 可 得 1a ，故 ( ) 0f x 恒 成 立 的 必 要 条 件 为 2 1a 7 分令 ( ) ( ) 2 e 1xg x f x ax a ， 则 ( ) 2 2 ex
23、g x ax a 当 2 1a 时 ， 由 ( ) 0 g x ， 可 得 2 2x a ，由 ( ) 0 g x 可 得 22x a ， ( )g x 在 2, 2 a 上 单 调 递 增 ， 在 22 +a ， 上 单 调 递 减 故 22max 2( ) =g 2 = e 1ag x aa 9 分22( )= e 1ah a a 令 ， 下 证 ： 当 2 1a 时 ， 22( )= e 1 0ah a a 即 证 22 1e a a 令 22 ta ， 其 中 1,0t ， 则 1 12ta 则 原 式 等 价 于 证 明 ： 当 1,0t 时 ， e 12t t 11 分由 （ 1）
24、 的 结 论 知 ， 显 然 成 立 综 上 ， 当 2 1a 时 ， 函 数 ( )f x 为 R 上 的 单 调 函 数 ， 且 单 调 递 减 12 分文 科 数 学 试 题 第 8页 （ 共 10页 ）【 命 题 意 图 】 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 和 最 值 问 题 ， 以 及 不 等 式 恒 成 立问 题 ， 重 点 考 查 分 类 讨 论 、 化 归 转 化 等 数 学 思 想 ， 体 现 了 数 学 运 算 、 逻 辑 推 理 等 核 心 素 养 请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第
25、一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l的 参 数 方 程 为 ,sin ,cos2 ty tx （ t为 参 数 ） ， 以 坐 标 原点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 cos2 ， 直 线 l与 曲 线 C交 于 A， B 两 个 不 同 的 点 （ 1） 求 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 ；（ 2） 若 点 P 为 直 线 l与 x
26、轴 的 交 点 ， 求 22 11 PBPA 的 取 值 范 围 【 解 析 】 （ 1） cos2 cos22 ， 1 分 222 yx ， xcos ， 3 分 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 为 0222 xyx 5 分（ 2） 将 ,sin ,cos2 ty tx 代 入 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 ， 可 得08cos62 tt ， 6 分由 题 意 知 236cos 32 0 = ， 故 98cos2 ， 又 1cos2 ， 1,98cos2 ， 7 分设 这 个 方 程 的 两 个 实 数 根 分 别 为 1t ， 2t ， 则cos621 tt ， 821 tt
27、 ， 8 分1t 与 2t 同 号 ，由 参 数 t的 几 何 意 义 可 得 ： cos62121 ttttPBPA ， 821 ttPBPA ，22 2 2 2( ) 21 1 PA PB PA PBPA PB PA PB 文 科 数 学 试 题 第 9页 （ 共 10页 ）2 21 2 1 221 2( ) 2 9cos 4( ) 16t t t tt t ， 9 分 1,98cos2 ， 165,4116 4cos9 2 ，22 11 PBPA 的 取 值 范 围 为 165,41 10 分【 命 题 意 图 】 本 题 主 要 考 查 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程
28、互 化 、 直 线 的 参 数 方 程 、 直 线 与圆 的 位 置 关 系 、 函 数 的 最 值 问 题 等 知 识 点 ， 重 点 考 查 数 形 结 合 思 想 ， 体 现 了 数 学 运 算 、 逻 辑推 理 等 核 心 素 养 23 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4 5： 不 等 式 选 讲设 函 数 21)( xxxf ， 1)( 2 mxxxg （ 1） 当 4m 时 ， 求 不 等 式 )()( xgxf 的 解 集 ；（ 2） 若 不 等 式 )()( xgxf 在 21,2 上 恒 成 立 ， 求 m的 取 值 范 围 【 解 析 】 （ 1） 21)(
29、xxxf ， ,2,12 ,21,3 ,1,12)( xx x xxxf1 分当 4m 时 ， 14)( 2 xxxg ， 当 1x 时 ， 原 不 等 式 等 价 于 022 xx ， 解 得 ， 02 x ，12 x 2 分 当 21 x 时 ， 原 不 等 式 等 价 于 0242 xx ，解 得 ， 2222 x ，221 x 3 分 当 2x 时 ， 11)2()( gxg ， 而 3)2()( fxf ，不 等 式 )()( xgxf 解 集 为 空 集 4 分文 科 数 学 试 题 第 10页 （ 共 10页 ）综 上 所 述 ， 不 等 式 )()( xgxf 的 解 集 为
30、),( 222 5 分（ 2） 当 12 x 时 ， )()( xgxf 恒 成 立 等 价 于 xxmx 22 ， 又 0x ，2 xm ， 故 4m ； 7 分 当 211 x 时 ， )()( xgxf 恒 成 立 等 价 于 3)( xg 恒 成 立 ， 即 3)( min xg ，只 需 3)21( 3)1(gg 即 可 ， 由 此 可 得 ,29,3mm29m， 9 分综 上 所 述 ， 9, 2m 10 分【 命 题 意 图 】 本 题 主 要 考 查 绝 对 值 不 等 式 以 及 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 、 分 段 函 数 等 知 识点 ， 重 点 考 查 分 类 讨 论 思 想 ， 体 现 了 数 学 运 算 、 逻 辑 推 理 等 核 心 素 养 命题组长：李志敏（深圳市教科院）副组长：董正林（深圳中学），命题组成员：金宁（深圳市第三高级中学中学），吴振文（深圳市翠园中学），陈林（深圳大学附中）
