1、高中数学热点难点突破技巧第 13 讲：圆锥曲线中的定点和定值问题的解法【知识要点】定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定 点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有三种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后求出该直线或曲线，最后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数 ，结合已知条件求出直线或R曲线的方程，分离参数得到等式 ， （一般地， 为关0),(),(),(321 yxffyxf )3,21)(,iyxfi于 的二元一次关系式）由上述原理可
2、得方程组 ，从而求得该定点. (3)点斜式法：对于yx, 0),(321yxf直线方程过定点问题，可以先写成直线方程的点斜式 ，再确定定点 .)kx0(,)xy二、定值问题：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.【方法讲评】题型一来源:学科网ZXXK定点问题方法一特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直 线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后求出该直线或曲线，最后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.方法二分离参数法：若等式 对 恒成立，
3、则 同),(02Rcbaba0,cba时成立，运用这 一原理，可以证明直线或曲线过定点问题.一般可以根据需要选定参数 ，R结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式， （一般地， 为关于 的二元一次0),(),(),(321 yxffyxf )3,21)(,iyxfi yx,关系式）由上述原理可得方程组 ，从而求得该定点.0),(,321yxff方法三 点斜式法：对于直线方程过定点问题，可以先写成直线方程的点斜式 ，再00()ykx确定定点 .0(,)xy【例 1】设点 和 是抛物线 上原点以外的两个动点，且 ，求证直线AB24(0)pxOAB过定点.由题意得 两式相减得 ，即 ，22
4、114,ypx121212()4()yypx124pky直线 的方程为 ，整理得 AB21124()pyx1212()0y又 ， ， ，O120x211204yyp2126p直线 的方程为 把 代入直线 得方程恒成立，所以直线AB2124()6p(4,)pAB过定点 (,0)【解析二】由上得 又 ， 2124()60pxyp2216py,1622yp代入 得 ，整理得 ，)(21 0)4(2121yx直线 过定点 .01642ypx4ypAB(4,0)p【点评】 （1）证明直线过定点，一般有两种方法.方法一：（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后求出
5、该直线或曲线，最后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立） （见解析一）.方法二：分离参数法：若等式对 恒成立，则 同时成立，运用这一原理，可以证),(02Rcbaba0,cba明直线或曲线过定点 问题.一般可以根据需要选定参数 ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分R离参数得到等式 ， （一般地， 为关于 的二元一0),(),(),(321yxffyxf )3,21)(,iyxfi yx,次关系式）由上述原理可得方程组 ，从而求得该定点见解析二）.方法三：点斜式法：求出0),(321yxf直线的点斜式方程，根据直线方程的点斜式找到定点(见解析三).（2）解析一使
6、用的就是方法一，解析二使用的就是方法二. 大家注意灵活选择. （3）求直线过定点 ，有三种方法（特殊探求一般证明、分离参数、点斜式方程定定点）【反馈检测 1】 （2017 全国高考 I 卷理科数学）已知椭圆 C： （ab0） ，四点 P1（1,1） ，2=1xyP2（0,1） ，P 3（1， ） ，P 4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上.232（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.【反馈检测 2】在直角坐标系 中,椭圆 的离心率 ,且过点 ,椭xOy2:10xyab12e03圆
7、 的长轴的两端点为 ,点 为椭圆上异于 的动点,定直线 与直线 、 分别交于CABPAB4xPAB两点.,MN（1）求椭圆 的方程；C（2）在 轴上是否存在定点经过以 为直径的圆,若存在,求定点坐标；若不存在,说明理由.xMN题型二 定值问题方法一 特殊探究，一般证明.方法二 直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.【例 2】过抛物线 ： （ 0）的焦点 作直线 交抛物线于 两点，若线段 与 的长m2yaxFl,PQPFQ分别为 ，则 的值必等于（ ） ,pq1A B C D2a2a4a4a【解析一】 （特殊探究一般证明）令直线 与 轴垂直，则有 ： ，所以有lxl14ya12pqa1
8、4pqa来源:Z+xx+k.Com抛物线 （ 0）的焦点 ，准线 2yax1(0,)4Fa14ya ：l14k又由 ，消去 得mx ， 来源:Zxxk.Com22168()10ayky21212,6kyyaa 2 212122,()464pqpa 14pq【点评】定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值 ，证明其结果是一个常数.学科#网【反馈检测 3】椭圆 的离心率为 ，且过点 2:1(0)xyCab2(2,1)P（1）求椭圆 的方程；（2）若 分别是椭圆的左、右顶点，动点 满足 ，且 交椭12,AM21A1MA圆 于不同于 的点 ，求证： 为定值1
9、AROM【反馈检测 4】如图， 为椭圆 的左右焦点， 是椭圆的两个顶点，21,F)0(1:2bayxCED,， ，若点 在椭圆 上，则点 称为点 的一个“椭点”.直32|1F5|DE),(0 ),(0byaxNM线 与椭圆交于 两点， 两点的“椭点”分别为 ，已知以 为直径的圆经过坐标原点 .lBA, QP, O（1）求椭圆 的标准方程；C（2）试探讨 的面积 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.AOBS【反 馈检测 5】 （2017 全国高考 III 卷文科 数学）在直角坐标系 xOy 中，曲线 与 x 轴交于2yxmA，B 两点，点 C 的坐标为 .当 m 变化时，解
10、答下列问题：(0,1)（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 高中数学热点难点突破技巧第 13 讲：圆锥曲线中的定点和定值问题的解法【反馈检测 1 答案】 （1） ；（2）直线 l 过定点（2， ）.214xy1（）设直线 P2A与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k 2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x =t，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， ） ， （t，0t|t 24）.24t则 ，得 ，不符合题设.221241ttk2t从而可设 l： （ ）.将 代入 得ykxmykxm214y22(4)840
11、kxkm由题设可知 .2=16(41)0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= .84k4k而 .212k12km 122()mx由 题设 ，故 .221()()0xx即 . 解得 .48() 014mkk2k当且仅当 时， ，欲使 l： ，即 ，所以 l 过定点（2， ）myx1()2myx1【反馈检测 2 答案】(1) ；(2)存在， .2143x1,07【反馈检测 2 详细解析】 （1） , 椭圆 的方程为 .2221433cabaebC2143xy【反馈检测 3 答案】 （1） （2）214xy4ORM【反馈检测 3 详细解析】 （1）由题
12、得: ,因为 ，解得 2+=ab2cabe24,ab所以椭圆 的方程为 （2）由（1）知 ，由题意设 ，C24xy12(,0)(,A01(,),)MyRx易知直线 的方程 为： ，代入椭圆 ，得 1MA04xy2201)48yx所以 ，解 得 ，从而 ，2014(8)()yx201(8)yx012y所以 ，即 为定值2 2000002 2()4()8,)(, 4ORy ORM【反馈检测 4 答案】 （1） ；（2） 的面积为定值 1.14xAOB【反馈检测 4 详细解析】 （1）由题 可得 解得 ，故椭圆 的标准方程为22235cba142baC.42yx当直线 的斜率存在时，设其 直线为 ，
13、联立 得AB)0(mkxy42yxmk，则 ， ，同理 ，048)14(22mkxk )14(622121k1421ky代入（*） ，整理得 ，此时 ，22102， . 综上， 的面积为定值 1.来源:学*科*网2212 1|,| kmhkxkAB 1SAOB【反馈检测 5 答案】 （1）不会出现 ACBC 的情况；（2 ）过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3.【反馈检测 5 详细解析】 21212(),0)(, 0.AxBxxm设 则 是 方 程 的 根1212,.xmx所 以 12(,), 0.ACBx则 所 以 不 会 出 现 的 情 况 .（2）过 A,B,C 三点的圆的圆心必在线段 的垂直平分线上，设 ，AB0(,)Exy则 120,xm22211100| )()(1)xxEACyy由 得 （ 化 简 得，所以圆 E 的方程为 ，120xy221mm令 得 ，所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 ，所以12,y 3所以过 A，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 学#科%网
