1、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题三 压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多， ，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系类型一
2、 中点问题来源:学科网 ZXXK典例 1 【山东省济南市 2018 届高三上学期期末考试】已知点 在椭圆 上，2,1P2:10xyCa动点 都在椭圆上，且直线 不经过原点 ，直线 经过弦 的中点.,ABABOAB（1）求椭圆 的方程和直线 的斜率；来源:学.科.网 Z.X.X.KC（2）求 面积的最大值.P【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】 【2019 四川省宜宾市质检】设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，
3、已知，其中 为坐标原点， 为椭圆的离心率. （1）求椭圆 的方程；（2）是否存在斜率为 的直线 ，使得当直线 与椭圆 有两个不同交点 时，能在直线 y= 上找到一原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2点 ，在椭圆 上找到一点 ，满足 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.类型二 垂直问题典例 2 【天津市部分区 2018 届高三上学期期末考试】设椭圆 的左焦点为 ，离心21(0)xyab1F率为 ， 为圆 的圆心.来源:Z#xx#k.Com1F2:150Mxy（1）求椭圆的方程；学科_网（2）已知过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 两点，过 且与 垂直的直线 与圆 交于 两点，2l
4、,AB2Fl1lM,CD求四边形 面积的取值范围.ACBD【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为 0 处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】 【山东省恒台第一中学 2019 届高三上学期诊断性考试】已知 O 为坐标原点，椭圆的两个焦点分别为 .点 在椭圆 C 上，且 P 到 的距离之和为 4.(1)求椭圆 C 的方程。(2)若过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，以 AB 为直径的圆过 O，求直线 l 的方程类型三 面积问 题典例 3 【广东省肇庆 市 2019 届高三第二次（1 月)统一
5、检测】已知椭圆 经过点，左焦点 ，直线 与椭圆 交于 两点， 是坐标原点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）求 面积的最大值.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁【举一反三】 【2019 吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆 的短轴长为21(0)xyCab：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3，离心率为 ，点 ， 是 上的动点， 为 的左焦点.263,0APCFC（）求椭圆 的方程；C（）若点 在 轴的右侧，以
6、 为底边的等腰 的顶点 在 轴上，求四边形 面积的最PyABPyFPAB小值.类型四 范围与定值问题来源:Z#xx#k.Com典例 4 【湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测】已知椭圆 的离心率 ，左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上一点， ，且 .（）求椭圆 的方程；（）设椭圆 的左、右顶点为 、 ，过 、 分别作 轴的垂直 、 ，椭圆 的一条切线与 、 交于 、 两点，求证： 的定值.【名师指点】对于定值问题，可以通 过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】 【福建省龙岩市 20
7、19 届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆的左、右焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆 交于 两点， 的周长为 8，直线 被椭圆 截得的线段长为 . （1）求椭圆 的方程；（2）设 是椭圆上两动点，线段 的中点为 ， 的斜率分别为 （ 为坐标原点） ，且，求 的取值范围.【精选名校模拟】1 【湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调研】已知椭圆 ： 的离心率为 ， 短轴长为 .（1）求椭圆 的方程；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4（2）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点， 是椭圆 的上焦点.问：是否存在直线 ，使得？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.2 【福建省厦
8、门市 2019 届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中，点 ， 是平面内 一点，直线 的斜率之积为 .（1）求点 的轨迹方程；（2）设点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线 与 相交于 两点，以线段 为直径的圆过点 ，求直线 的方程3 【湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调考】已知椭圆 ： 的焦距为 ，且经过点 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，若椭圆上存在点 ，使得四边形 为平行四边形（其 中 是坐标原点） ，求平行四边形 的面积.4. 【广东省 2018-2019 学年高三年级第一学期期末质量检测】已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， 是
9、椭圆 上的点，且 的面积为 。（1）求椭圆 的方程；（2）若斜率为 且在 轴上的截距为 的直线 与椭圆 相交于两点 ，若椭圆 上存在点 ，满足，其中 是坐标原点，求 的值。5. 【山东省德州市跃华中学 2017-2018 学年下学期高三模拟】设椭圆 的离心率是 ，A、B 分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点 O 到 AB 所在直线的距离为 .（I）求椭圆 C 的方程；（）已知直线 与椭 圆相交于不同的两点 M，N（均不是长轴的端点） ， ，垂足为H，且 ，求证：直线 恒过定点.6. 设圆 的圆心为 A，直线 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，设 P 为圆 A 上一点，线段原创精品资源学科网独家
10、享有版权，侵权必究！5PB 的垂直平分线交直线 PA 于 E（1）证明 为定值，并写出 E 的轨迹方程；（2）设点 M 的轨迹为曲线 C1，直线 交 C1于 M,N 两点，问：在 轴上 是否存在定点 D 使直线 DM 与 DN 的倾斜角互补，若存在求出 D 点的坐标，否则说明理由。7. 【湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测】已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上一点， 与 轴相交于 ， ， .（）求椭圆 的方程；（）设椭圆 的左、右顶点为 、 ，过 、 分别作 轴的垂线 、 ，椭圆 的一条切线与 、 交于 、 两点，求证： .8. 【北京市通州区 2018-20
11、19 学年第一学 期高三年级期末考试】已知椭圆 ： 过点，且椭圆的离心率为 学科_网()求椭圆 的方程；学!科网()斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 若直线 上存在点 P，使得是以 为顶角的等腰直角三角形，求直线 的方程9. 【2019 湖北省重点中学联考】已知椭圆 的离心率 ，且经过点 .21(0)xyab2e21,（1）求椭圆方程；（2）过点 的直线与椭圆交于 两个不同的点，求线段 的垂直平分线在 轴截距的范0,2PMN、 MNx围来源:学科网 ZXXK10. 【湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测】已知点 是椭圆 的一个焦点，点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程；（
12、2）若直线 与椭圆 交于不同的 两点，且 （ 为坐标原点） ，求直线 斜率的取值范围.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！611. 【山东省寿光市 2018 届高三上学期期末考试】已知椭圆 的左右焦点分别为2:10xyCab， 上的动点 到两焦点的 距离之和为 4，当点 运动到椭圆 的上顶点时，直线 恰与以原12,FCPP1PF点 为圆心，以椭圆 的离心率为半径的圆相切.O（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 的左右顶点分别为 ，若 交直线 于 两点.问以 为直径的圆AB、 、 6xMN、是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.12. 【北京市海淀区 2019 届高
13、三上学期期末考试】已知点 和椭圆 . 直线与椭圆 交于不同的两点 . () 求椭圆 的离心率；() 当 时，求 的面积；（）设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，当 为 中点时，求 的值 .13. 【宁夏六盘山高级中学 2019 届高三上学期期末考试】已知椭圆 的离心率为，长轴长为 4，直线 与椭圆 交于 两点且 为直角， 为坐标原点.（）求椭圆 的方程；（）求 长度的最大值.14. 【 湖北省十堰市 2019 届高三年级元月调研考试】设 是圆 上的任意一点， 是过点 且与轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足 .当点 在圆 上运动时，记点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）已知直线 与曲线 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过定点 .15. 【北京市西城区 2018 届高三上学期期末考 试】已知椭 圆 过 ， 2:10xyCab2,A原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7)两点学科_网0,1A(I)求椭圆 的方程及离心率；C()设点 在椭圆 上试问直线 上是否存在点 ，使得四边形 是平行四边形？若Q40xyPAQB存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由P
