1、专题八 立体几何第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分1B【解析】过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆柱12O的高为 ，底面圆的直径为 ，所以该圆柱的表面积为2故选 B()2B【解析】由三视图可知，该几何体为如图 所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长16画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接 ，则 ， ，则从MNS4N到 的路径中，最短路径的长度为 故选 BMN2245SSNMNM图 图3C【解析】连接 ，因为 平面 ，所以 ， ，所1BCA1BC130AB1BC以 为直角三角形又 ，所以 ，又 ，所以1A222。故该长方形的体积 2(3) 8V4A【
2、解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选 A5B【解析】设等边三角形 的边长为 ，则 ，得 BCx21sin60936x设 的外接圆半径为 ，则 ，解得 ，所以球心到 所ACr2sirABC在平面的距离 ，则点 到平面 的最大距离 ，24(3)dDABC146d所以三棱锥 体积的最大值 故选DBmax169383VSB6C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 故选 C1(2)6V7C【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示， DCBA
3、P易知， ， ， ， ， 平面 ，BCAD 12PABPABCD故 ， 为直角三角形， 平面 ， 平面 ，P C，又 ，且 ， 平面 ，又 平面AB ， 为直角三角形，容易求得 ， ，ABPC3P5，故 不是直角三角形，故选 C2PD解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥 ，如图，由图可ABD知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 3，故选 CPDCBA8B【解析】圆柱的轴截面如图， ， ，所以圆柱底面半径 ，1232rBC那么圆柱的体积是 ，故选 B23()4VrhCBA9D【解析】借助立方体可知所求三棱锥为下图粗线部分354该几何体的体积为 选 D1(3)4102V10A【解
4、析】该几何体是由一个高为 3 的圆锥的一半，和高为 3 的三棱锥组成（如图） ，其体积为： 选 A211(3)(23)1311B【解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为 ，故选 B224V12C【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，高为 1，其体积设半球的半径为 ，则 ，即 ，所以半球的体积2113R22R故该几何体的体积 故选32142()6V1236VC13A【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉 后剩下的几何体，设球的半径为8，故 ，所以 ，表面积 ，选 Ar37428r2r2273417Sr14C【解析】该几何
5、体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 ，周长为 ，圆锥c母线长为 ，圆柱高为 lh由图得 ， ，由勾股定理得： ，2r4cr 2234l，故选 C1Shl表 68215B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为 3 的正方形，故面积都是 9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为 3、该边上的高为 6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为 和 3，故面积都为 ，则该几何体的表面积595为 2(9 +18+ )=54 + 51816C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，体积 32223V，故选 C17D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的
6、半径为 1，母线长为 2，所以该几何体的表面积是 1234，故选 D18A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体， 211(2)3V，选 A19D【解析】如图，设正方形的棱长为 1，则截取部分为三棱锥 ，其体积为1B，又正方体的体积为 1，则剩余部分的体积为 ，故所求比值为 6 565D1A1 B1C1A BDC20B 【解析】在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥，表面积为 PABC2132()34111APBC21A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为 ，高为 ，则由三角形相似可得， ，所以2xh21x
7、h， ，长方体体积2hx(0,1)，当且仅当 ，2 326)()7xVhx长 方 体 2x即 时取等号， ，故材料利用率为 ，选 A3x213V圆 锥 189322B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为，所以 224016rr2r23B【解析】如图， BDCA设辅助正方体的棱长为 4，三视图对应的多面体为三棱锥 ，最长的棱为ACD，选 B2(4)6AD24C【解析】原毛坯的体积 ，由三视图可知该零件为两个圆柱的2(3)654V组合体，其体积 ，212(3)4 故所求比值为 0725A【解析】如图，将边长为 2 的正方体截去两个角， 213262()134S表
8、26A【解析】圆柱的正视图是矩形， 选 A27D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积 ，其中 是长方体的表面积，123SS正 方 形 斜 面 1S是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积， 是三棱柱的一个底面的面积，可求得2S，选 D2138()cm28C【解析】由题意可知 ，由面面垂直的性质定理可得 平面 ，ABCAD1BC又 ，所以 ，2sin603A11323ADBDCVS故选 C29A【解析】圆柱的底面半径为 1，母线长为 1， 2侧30B【解析】直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面半径为 l 的 圆柱，所以该几何14体的体积为 38431C【解析】由几何体的
9、形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为 1，高为 1，其侧面积 2Srh32B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形33A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为 214 =168，故选 A34A【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为 10，6 ，5 的长方体上面是半径为 3高为 2 的半个圆柱35C【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为 222135537V36B【解析】由三视图可知该几何体的体积： 221
10、3V37D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为 D38C【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积 12(4)24S1648739D【解析】选项 A 正确， 平面 ，而 在平面 内，所以DABCABCD因为 为正方形，所以 ，而 与 相交，所以CSBCS平面 ，所以 ；选项 B 正确，因为 ，而 在平面S内， 不在平面 内，所以 平面 ；选项 C 正确，设 与AAA的交点为 ，连结 ，则 与平面 所成的角 ， 与平面BDODSO所成的角 ，易知这两个角相等；选项 D 错误， 与 所成的角等于SC
11、SB，而 与 所成的角等于 ，易知这两个角不相等SB40C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2(1082)(682)36041B【解析】该几何体上半部是底面边长为 4cm，高为 2cm，的正四棱柱，其体积为；下半部分是上、下底面边长分别为 4cm，8cm，高为 2cm 的正32()cm四棱台，其体积为 ，故其总体积为 124648)3243042 【解析】解法一 连接 ，交 于点 ，则 ， ，则131AC1BDE11ABD1E平面 ，所以 为四棱锥 的高，且 ，矩形1AE1B1112的长和宽分别为 ，1，故 1BD212133
12、ABDV解法二 连接 ，则四棱锥 分成两个三棱锥 和1 11BAD1B111 132323ABDABADV43 【解析】正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中43正八面体的所有棱长都是 ，则该正八面体的体积为 24()44 【解析】取 的中点 ，连接 ，6SCO,AB因为 ，所以 ,ABSC因为平面 平面 ，所以 平面 设 ，Or 3111233ASBCSBCVrr所以 ，9r所以球的表面积为 246r45 【解析】球的直径是长方体的体对角线，设球 的半径为 ，所以14 OR2 231,14.RSR46 【解析】设正方体边长为 ，则 ，9a2683a外接球直径为 .
13、37923,V47 【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆2半径为 1,所以 2124V48 【解析】设球的半径为 ，则 32r213Vr49 .【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积 ，通过侧视图可知四棱柱的高 ，(12)3S 1h所以该四棱柱的体积 32VSh5080 ；40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， 2226480S表， 3420V51 【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为 ，高为 的圆柱，83 1两端是底面半径为 ，高为 的圆锥，所以该几何体的体积122833V52
14、12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为 ，h则 ，解得 ，底面正六边形的中心到其边的距离为 ，21634h1h 3故侧面等腰三角形底边上的高为 ，该六棱锥的侧面积为 321253 【解析】由题意可知直观图如图所示，2PABC结合三视图有 平面 ， ， ，PC2P2，所以 ， ，2CA26BAPAC三棱锥最长棱的棱长为 54 【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是 ，母线长分别是 则由32 12,r12,l，可得 又两个圆柱的侧面积相等，即 ，则1294S123r 12lrl，12lr所以 129234VSl55 3【解析】设正方体的棱长为 a，则正方体的体对角线为直径，即
15、 32ar，即球半径 2ra若球的体积为 92，即 349()2a，解得 561：24【解析】三棱锥 ADEF与三棱锥 ABC1的 相似比为 1：2，故体积之比为 1：8又因三棱锥 BC1与三棱柱 的体积之比为 1：3所以，三棱锥 与三棱柱 1的体积之比为 1：24另： 1122344ADEABCVShShV，所以 12:45738【解析】由三视图知，此几何体为一个长为 4，宽为 3，高为 1 的长方体中心，去除一个半径为 1 的圆柱，所以表面积为 +-=858 【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为 的直四棱柱几何体的表面积是9222(5)4(4(5)49S59 【解析】 113sin603
16、3ABCVPS，答案应填 3360 【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的 ，得 ，所以 ，12416rR2r则小圆锥的高为 ，大圆锥的高为 ，所以比值为 2R32R361【解析】(1)由已知可得， =90， BACAC又 ，所以 平面 BADD又 平面 ，所以平面 平面 CABEMPQDC BA(2)由已知可得， ， 3DCMAB2D又 ，所以 23BPQ2P作 ，垂足为 ，则 EAEQA13C由已知及(1)可得 平面 ，所以 平面 ， DCBEAB1QE因此，三棱锥 的体积为P1132sin4513QABPABVES62 【解析】 （1）由已知 ，得 ， 90C ABPCD由于 ，故 ，从
17、而 平面 CD P又 平面 ，所以平面 平面 PA BCDE（2）在平面 内作 ，垂足为 P由（1）知， 平面 ，故 ，可得 平面 BDPEACD设 ，则由已知可得 ， Ax2Axx故四棱锥 的体积PC3113PABCDVPEx由题设得 ，故 318x2从而 ， ， PA2可得四棱锥 的侧面积为BC211sin602322DPADCB63【解析】（）证明： 平面 平面 平面 ，PD,ABCPDPCABD平面 平面 平面 ， ，PC,M 平面 ，M, ,FFFMF平 面 又 平 面， DD平 面（） 00,6,3,CCPCD平 面 又 易 知1=2从 而 132,=,43DEFFDEPPC 即，
18、128CES222236()(,4M116.3381CDEEVS64 【解析】 （）由已知得 ，因此 ，又 为 的中点，ABCDACGAD；同理 ；因此 平面 ,又 , 平面GABEF BCGGB CDAOFE（）在平面 内，做 ，交 的延长线于 ，由平面 平面ABCOABC，知 平面 ，又 为 的中点，因此 到平面 的距离 是DGAGDh的一半，在 中， ，所以Osin603OB1132DBCGDBGVSh65 【解析】 （）连结 1A，交 C于点 O，连结 DO，则 O 为 1AC的中点，因为 D 为AB 的中点，所以 OD 1BC，又因为 OD平面 1ACD， 1B平面 1ACD，所以
19、1BC /平面 1AD；（）由题意知 平面 1再由 12， B得 ， ， ， ， 90ACBD16A3DE1A故 ，即2211E所以 1 33CADV66 【解析】（）证明：连接 AC，交于 BD 于 点，连接 PO因为底面 ABCD 是菱形，所以O,ACBDO，由 PBD知， B再由 知，POAC面 ，因此 C（）解：因为 E 是 PA 的中点，所以 12PBCEPBCPABAPCVV由 2PBA知， A因为 60D,所以 3,1OCBO.又 22,PAPAC即 .故 1CS.由（1）知， 111,232PBCEAPCAPCBOVBOS面 因 此 67 【解析】 （1）由已知可得 AE=3，
20、BF=4，则折叠完后 EG=3，GF =4，又因为 EF=5，所以可得 EGF，又因为 CEGF底 面 ,可得 CE，即 GCF面 所以平面 DEG 平面 CFG.（2）过 G 作 GO 垂直于 EF，GO 即为四棱锥 G-EFCD 的高，所以所求体积为 112451633CDEFSO68 【解析】 （I）由条件知 PDAQ 为直角梯形因为 QA 平面 ABCD，所以平面 PDAQ 平面 ABCD，交线为 AD又四边形 ABCD 为正方形，DCAD，所以 DC 平面 PDAQ，可得 PQ DC在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= PD，则 PQ QD2所以 PQ 平面 DCQ.（II）设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高，所以棱锥 QABCD 的体积 31.Va由（I）知 PQ 为棱锥 PDCQ 的高，而 PQ= ， DCQ 的面积为 ，2a2所以棱锥 PDCQ 的体积为 321.V故棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积的比值为 1
