1、高中数学热点难点突破技巧第 12 讲：圆锥曲线中的最值和范围问题的解法【知识要点】一、与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：1、几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系构造不等式，再解不等式.2、函数法：把所讨论的对象作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.来源:学|科|网3、基本不等式法：先把这个变量表示出来，再利用基本不等式解答.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；4、三角函数法：结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因
2、此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题.5、数形结合法：利用“以形助数”和“以数解形”分析解答.二、其实，圆锥曲线的最值和范围问题的解法和一般的最值和范围问题的解决方法是一致的. 最值和范围问题解法一般有最值 6 法. .要注意灵活选择，提高解题效率.函 数 （ 单 调 性 ）三 “数 ”导 数数 形 结 合最 值 法 基 本 不 等 式三 “不 ”绝 对 值 不 等 式不 等 关 系【方法讲评】方法一 几何法解题方法 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.【例 1】
3、已知动点 与 双曲线 的两个焦点 的距离之和为定值，且 的最小值P132yx12,F12cosFP为 91（1）求动点 的轨迹方程； （2）若已知 ， 在动点 的轨迹上且 ，求实数 的取值范围(0,3)D,MNPDNM（2）设 ， ，则由 ，可得 = ，故 ，(,)Nst(,)MxyDN(,3)xy(,3)stxs. 3y 在动点 的轨迹上， 且 ，,P1492ts 14)(9)22ts消去 可得 ，解得 ，s 224)3(tt 653t又 ， ，解得 ，故实数 的取值范围是 |2t|651|515,1【方法点评】本题就是利用了椭圆 的几何性质 来构造不等式求参数的取值范围.诸如此2xyab|
4、yb类的还有 等.学#科%网|xa【反馈检测 1】已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上， 为坐标:C21(0)xyab(1,0)F3(1,)2PCO原点（）求椭圆 的标准方程；（）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且 为锐角，求直线 的斜率 的(0,2)Tl ABOlk取值范围；（）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的两条切线，切点分别1:C2153xyabP:342yx为 （ 不在坐标轴上） ，若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、 ，证明： 为定,MN, MNxymn21n值方法二 函数法解题方法把所讨论的对象作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过
5、讨论函数的值域来求参数的变化范围.【例 2】 【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 ，点 A ， ，抛2xy1()24， 39()B，物线上的点 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q)231)(,xyP来源:学#科#网（）求直线 AP 斜率的取值范围；（）求 的最大值|PQA【解析】 （）设直线 AP 的斜率为 k，则 ， ，直线 AP 斜率的取值2142x32x范围是 )1,(令 ，因为 ，所以 在区间 上单调递增，3)1()(kkf 2)1(4)( kkf ()fk)21,(上单调递减，因此当 时， 取得最大值 )1,2( 12k|PQA2716【点评】 （
6、1）函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数和三角函数等，值得注意的是函数自变 量取值范围的考察不能被忽视. 本题不能忽略了 的取值范围. k（2）本题求 的最大值，首先求出了 的函数表达式|PA|PQ|= ，再|PQA |PA 3)1(利用导数求函数的单调区间，求函数的最值.【反馈检测 2】(2017 浙江高考) 如图，已知抛物线 .点 A ，抛物线上的点2xy139-， ， ，24BP（x,y） ,过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.13- x（I）求直线 AP 斜率的取值范围； （II）求 的最大 值PAQ方法三 基本不等式法解题方法 先求
7、出函数的解析式和函数的定义域，建立函数的模型，再利用基本不等式求函数的最值.【例 3】已知椭圆 C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，有一个顶点为 ，x)0,4(A162ca（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作直线 l与椭圆 C交于 EF、 两点，线段 E的中点为 M,求直线 A的斜率 k的取值)0,(B范围.（2）依题意，直线 l过点 且斜率不为零.)0,1(B（1）当直线 与 x轴垂直时， M点的坐标为 ，此时， 0k； )0,1(B（2）当直线 l的斜率存在且不为零时，设直线 l方程为 , )(,1mxy由方程组 消去 y， 并整理得 ， 126)(yxm 0488)34(2
8、22 m设 ),(),(21FE, )(0xM, 又有 ， )0,(A34221mx ， ，来源:学科网342210mx 3)(200xmy， )(14)(20 xykAM1|m， 0|8k. 18k且 0 综合(1)、(2)可知直线 A的斜率 k的取值范围是： 【点评】 （1）本题先求出直线 M的斜率 的解析式 ，再变形利用基本不等式来解答. 24(1)AMmk(2) 利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等.学科！网【反馈检测 3】设椭圆 中心在原点，焦点在 轴上，短轴长为 4，点 （2， ）在椭圆上.ExQ（1） 求椭圆 的方程；（2） 设动直线 交椭圆 于 两点
9、，且 ， 求 的面积的取值范围.L,ABOAB（3）过 （ ）的直线 : 与过 （ ）的直线 :M1,yx1l281yxN2,yx2l的交点 （ ）在 椭圆 上，直线 与椭圆 的两准线分别交于 两点，282xP0,EME,GH求 的值. OG H方法四 三角函数法解题方法 先建立三角函数的模型，再利用三角函数的性质分析解答.【例 4】椭圆 的切线与两坐标轴分别交于 两点 ， 求 的最小面积 .,ABOAB【解 析】 设切点为 ， 则切线方程为 .(cos,in)Pabcosin1xyab令 , 得切线与 轴交点 ；令 ,得切线与 轴交点 0yx,0Ax(0,)siB来源:学科网1|22sinc
10、osin2AOBabS ab所以 的最小面积为 .【点评】 （1）写出椭圆参数方程 ，设切点为 ，可得切线方程，后面sinxyb(cos,in)Pab问题迎刃而解. （2）数学设点一般有两种方法，一是直角坐标设法 ，一是参数方程设法,利用曲(xy线的参数方程设点的坐标. 要注意灵活选择.（3）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质分析解答.【反馈检测 4】椭圆 的焦点为 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点 横坐标1492yx12,FP12FPP的取值范围是_.方法五 数形结合法解题方法 一般先找到“数”对应的“形” ，以形助数，再利用几何分析的方法解答.【例 5】给定点 ，已知 是椭圆 上
11、的动点， 是右焦点，当 取得最小(2,)AB2156xyF53ABF值时，试求 点的坐标.B，于是 为定值.|35| BFeBNeF 5|3ABFNAM其中，当且仅当 点 与椭圆的定点时等点成立，此时 为AM53(,2)所以，当 取得最小值时， 点坐标为53ABFB53(,2)【点评】数形结合的关键是找到“数”对应的“形” ，以形助数，再利用几何分析解答.【反馈检测 5】已知椭圆 和直 线 : ，在 上取一点 ，经过点 且以椭圆213xyl90xylM的焦点 为焦点作椭圆 ，求 在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 .12,FM【反馈检测 6】双曲线 的左焦点为 ， 是双曲线右支上的动点
12、， ，则214xyFP(1,4)A的最小值为 .|PFA高中数学热点难点突破技巧第 12 讲：圆锥曲线中的最值和范围问题的解法参考答案【反馈检测 1 答案】 （） ; （） 或 ;（）详见解析2143xy231k23k【反馈检测 1 详细解析】 （）由题意得：所以 c2ab又因为点 在椭圆 上，所以 ，可解得 , 所以椭圆标准方程为 3(,)2PC2914ab24,32143xy所以 ，所以 1212()0xkx2112()()40kxx所以 416433k即 ，所以 所以 ，解得 或 260k223k312k3k（）由题意： 设点 ， ， ,1:C2314xy1(,)Pxy2(,)Mxy3(
13、)Nxy因为 不在坐标轴上，所以 ,MN2PMOk直线 的方程为 , 化简得： P2()xy243xy同理可得直线 的方程为 N34y把 点的坐标代入、得P2134xy所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，令 得 ，MN143xy0y143mx0143ny所以 ， 又点 在椭圆 上，143xm1ynP1C所以 ， 即 为定值 22()()234mn（）联立直线 AP 与 BQ 的方程 解得点 Q 的横坐标是 .来源:学科网10,2493,kxy 243(k1)Qx因为|PA|= = ( )21()kx21)k1122kxk|PQ|= = ，所以 |PA| |PQ|= .21Q2(A3()令 f(k
14、)= ，因为 f(k)= ，所以 f(k)在区间（-1， ）上单调递增，3()1k2(4)112（ ，1 ）上单调递减，因此当 k= 时，|PA| |PQ| 取得最大值 .学￥科&网22A76【反馈检测 3 答案】 （1） ；（2） ；（3）8.184xy8,2【反馈检测 3 详细解析】 （1）因为椭圆 : （ 过 （2， ） ，E21xyab0aM24b故可求得 2 ， 2 椭圆 的方程为ba84（2）设 ，当直线 斜率存在时设方程为 ，12(,),)(,)PxyABxyLykxm解方程组 得 ，即 ，284km22()8k22(1)480kx则 ，222164()8)(4)0kmkkm要使
15、 ，需使 ，即 ，OABur120xy22801mk所以 ， 即 2380mk23k将它代入（*）式可得 2,)到 的距离为PL2|1dk22121121| | ()42mSABxxxk将 及韦达定理代入可得83km 2483S当 时0242111kSk由 故24,)k288(,334Sk当 时， 0k当 的斜率不存在时， ，综上 S . AB83S8,23（3）点 P（ ）在直线 : 和 ： 上，0,yx1l1yx2l282yx，280101yx 28020yx由 和 得 （4， ）2800yxxH02yx故 16 OG H203y又 （ ）在椭圆 ： ,所以有 故 .P0,yxE148x1
16、4820yx202083yx 16 8 OG H20)3(y【反馈检测 4 答案】 （ ）学#科%网5,【反馈检测 4 详细解析】由椭圆 的知焦点为 （ ,0）, （ ,0）.1492yx1F52F5设椭圆上的点可设为 . 为钝角(3cos,in)P21P 1252(53cos,in)PF（= 29cos4sics0解得： 点 横坐标的取值范围是（ ）.55P53,【反馈检测 5 答案】 ， .(,4)M2136xy【反馈检测 5 详细解析】由椭圆方程 ，得 ， 设 是 关于 对称点 ， 212(3,0)(,F1Fl可求出 坐标为(-9,6) ， 过 的直线方程: 与 联立，得交点 ， 1F 12F230xy90xy(5,4)M即过 的椭圆长轴最短.M由 ,得 ， 所求椭圆方程为 . 12|a652245,9,36acb214536xy【反馈检测 6 答案】9
