1、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题三 压轴解答题第六关 以数列与不等式相结合的综合问题【名师综述】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳n与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定
2、会出现数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题类型一 求数列中的最值问题典例 1【湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测】已知数列 的首项 ， ，且对任意的，都有 ，数列 满足 ， .（）求数列 ， 的通项公式；（）求使 成立的最小正整数 的值.【解析】 （）令 得， ，解得 .又由 知 ，故数列 是首项 ，公差 的等差数列，于是 ， .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2（）由（）知， .于是 .来源: 学
3、科网令 ，易知 是关于 的单调递增函数，又 ， ，故使 成立的最小正整数 的值是 10.【名师指点】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首 先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3) 利用等差数列或等差数列的特征来求【举一反三】 【山东省恒台第一中学 2019 届高三上学期诊断性考试】在数列 中，前 n 项和为（1 ）求数列 的通项公式；学_科网（2 ） 项和 ，若 恒成立，求 k 的最小值.【解析】 （1） 因为所以相减得：所以 ，所以 是首项为 1，公差为 1 的等差数列所以（2）所以原创精
4、品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3因为 恒成立，所以 ，即 .类型二 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题典例 2 【河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷】已知等差数列 的公差 ，其中是方程 的两根，数列 的前 项和为 ，且满足 .（1）求数列 ， 的通项公式；（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，若不等式 对任意 都成立，求整数 的最小值.【解析】 （1）易得方程 的两根为-1 和 7，因为 ，所以 ， .所以 ，所以 .当 时，由 ，得 ；当 时，可得 ，两式相减得 ，即 .所以 .（2）由（1）得， ，所以 ，两式相减得， ，所以 .原创精品资源学科网独家享
5、有版权，侵权必究！4当 时， ；当 时， ；当 时，因为 ，所以 .所以 的最大值为 ，从而 ，得 ，所以整数 的最小值为-4.【名师指点】求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1) 若函数 在定义域fx为 ，则当 时，有 恒成立 ； 恒成立 ；(2)DxfxMminfxMfxmaM利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得【举 一反三】 【福建省福州市 2019 届高三第一学期质量抽测】在数列 中， ， ，设 ， （）求证数列 是等差数列，并求通项公式 ；（）设 ，且数列 的前 项和 ，若 ，求使 恒成立的 的取值范围.【解析】证法一：解：（）由条件
6、知， ，所以， ，所以 ，又 ，所以，数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列 的通项公式为： .证法 二：由条件，得 又 ，所以，数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列 的通项公式为： .（）由（）知， ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5则 ，由-得， ， 恒成立，等价于 对任意 恒成立. ， .类型三 数列参与的不等式的证明问题典例 3山东省济宁市 2019 届高三上学期期末考试已知数列 的前 项和为 ，向量，且 和 共线(I)求数列 的通项公式；()设 ， 且数列 的前 项和为 ，求证： 【解析】 (I) 和 共线， 当 时， ，得 ， 当 时， ，即数
7、列 是公比为 2，首项为 2 的等比数列. ()由(I)知原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6，所以所以【名师指点】此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法； (2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合 法分析；(3) 放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的【举一反三】四川省广元市高三 2019 届第一 次高考适应性统考设 为数列 的前 项和，已知 ，对任意 ，都有 .（1）求 数列 的通项公式；（2）若数列 的前 项和为 ，证明： 【解析】 （1）因为 ，当 时，两式相减得： 即 ，所以当 时， .所以 ，即 .（2）因为 ， ， ，
8、所以 .所以 ，因为 ，所以 . 又因为 在 上是单调递减函数，所以 在 上是单调递增函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7所以当 时， 取最小值 ， 所以 .【精选名校模拟】1福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查设 为各项均是正数的数列 的前 项和，满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求 .来源:学.科.网 Z.X.X.K【解析】 （1）当 时， ， ；时， -得： ， ，满足上式，.（2）由（1） 知数列 是公比 为的等比数列，由 ，得 ，即 ， ，所以 .2福建省宁德市 2018-2019 学年度第一学期期末高三质量检测已知数列 的前 项和为 ，
9、且.（）求数列 的通项公式；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8（）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .（）由（）得， ， ， ， ， ， .3 【福建省厦门市 2019 届高三年级第一学期期末质检】已知 是首项为 1 的等差数列， 是公比为 2的等比数列，且 .（1）求 ， 的通项公式；（2）记 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，求满足 的最大正整数 的值【解析】 （1）设 的公差为 ， 的公比为 ，依题意得，即 ，解得所以 ， .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9（2）由（1）可知 ，由 可得 ，即因为 是递增数列，又 ， ，所以满足 的最大正整数 的值是 5.4. 【
10、福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检】数列 中， ， .（1）求证：数列 为等差数列，求数列 的通项公式；（2）若数列 的前 项和为 ，求证： .学_科网【解析】 （1）由 ， （即 ） ，可得 ，所以 ，所以数列 是以 为首项，以 2 为公差的等差数列，来源:Z,xx,k.Com所以 ，即 .（2） ，所以 ，因为 ，所以 .5 【皖江名校 2018 届高三 12 月份大联考】等差数列 和等比数列 的各项均为正整数，且nanb的前 项和为 ，数列 是公比为 16 的等比数列， .13,abnnSnb23S（1）求 ；n原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10（2）求证 .12
11、134nSS【解析】 （1）设 的公差为 ， 的公比为 ，则 都是正整数， ， nadnbqd， 31nadnbq依题意有 来源:学科网 ZXXK13126 62nndaqSb注意 为正整数，可得 ，所以dq， 4dq1321,4nnab（2） 3521nSn 12 13452n n .13452n 134n6. 【北京市西城区 2018 届高 三上学期期末考试】已知数列 是公比为 的等比数列，且 是 和a26a1的等差中 项3a(I)求 的通项公式；n()设数列 的前 项之积为 ，求 的最大值nT原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11（）令 ，即 ，得 ， 1na413n故正项数列
12、的前 项大于 1，第 项等于 1，以后各项均小于 1 n所以 当 ，或 时， 取得最大值， 4nT的最大值为 nT312379a7 【云南省昆明市 2019 届高三 1 月复习诊断 测试】已知数列 是等比数列，公比 ，前 项和为 ，若 ， .（1）求 的通项公式；（2）设 ，若 恒成立，求 的最小值.【解析】 （1）由 ， 得解得 ， 或 ， （舍）.所以 .（2）由（1）可知： .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12因为 ，所以 单调递增.所以， 恒成立时，又因为 ，故 的最小值为 8.8已知数列 的前 项和为 ,且 ,又数列 满足 nanS12nnbna()求数列 的通项公式；学
13、科_网()当 为何值时,数列 是等比数列？并求此时数列 的前 项和 的取值范围nbnbnT【解析】 （）由 ，12nnS当 时， ；当 时， ，1n1a11122nnnnnaS故数列 的通项公式为n 1,2nn9 【山东省聊城市第一中学 2019 届高三上学期期中 考试】已知数列 满足 ,其中为 的前 项和,数列 满足 （1）求数列 的通项公式及 ;（2）证明:【解析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13（1）由已知 时, 即: ,又 时, 所以当 时 ，故 , 又由 得 ，即: , .(2) ,故 .10 【2018 河南林州一中调研】已知数列a n是等比数列，首项 a1=1，公比
14、 q0，其前 n 项和为 Sn，且S1+a1，S 3+a3，S 2+a2 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）若数列b n满足 ，T n 为数列b n的前 n 项和，若 Tnm 恒成立，求 m 的最大值12nab【答案】 （） ；（） na【解析】试题分析：（）因为 ， ， 成等差数列，所以1Sa32Sa，所以 ，因为数 列 是等比数列，所以 ，又3122Sa314n 2314aq，所以 ，所以数列 的通项公式 ；0qna12na（）因为 恒成立，所以只需 即可，由（）知 ，又 ，所以nTmminT12na12nabn，利用错位相减法即可求得数列 的前 项和 ，通过 的正负确定 的单调性
15、，12nb nbnT1nTn原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14进而求得 的最小值，即可求得 的最大值nTm（）因为 恒成立，所以只需 即可，nTmminT由（）知 ，又 ，12na12abn所以 ，1nb，022131nnnT12所以 012122nnn 0121nnnnnnT故 n所以 来源:学科网 ZXXK112n所以 12120nnnT原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15所以 1nT所以 是递增数列所以 1min所以 所以 的最大值为11 【吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试】已知数列 的前 n 项和 满足，且（1）求数列的通项公式 ；（2）记 ，
16、 为 的前 项和，求使 成立的 的最小值.【解析】 （1）由已知有 ， 数列 为等差数列，且 ， ，即 ， 当 时， ，又 也满足上式， ；（2）由（1）知， 由 有 ，有 ，所以 ， 的最小值为 5.12 【辽宁省鞍山一中 2019 届高三（上)期中数学】等差数列 的前 n 项和为 ， ，且成等比数列， 学_科网 求数列 的通项公式； 令 ，数列 的前 n 项和为 ，若对于任意的 ，都有 成立，求实数的取值范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16【解析】 设等差数列 的公差为 d，由 ，得即 ，解得： ，或 ，当 ， 时， 没有意义， ，此时 由 可知 ，.，为满足题意，必须 ， 或13 【江西省莲塘一中、临川二中 2018 届高三上学期第一次联考】各项均为正数的数列 的前 项和为na，满足nS12nnS（1）求数列 的通项公式；na原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17（2）令 ，若数列 的前 项和为 ，求 的最小值.1nabSnanT1nN【解析】（1） ，所以 或 （舍去）21210nnn SS21nSn当 时， ， ，所以 .1nna1ana
