1、 基于小波变换的 APF（用于三相不对称电路）基于瞬时无功功率理论的电流检测方法被广泛应用于电力有源滤波器。仅适合对称的三相三线电路，不适合三相不对称，三相四线和单相电路。小波理论分析1.连续小波变换小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零） ，且其均值为零。图是一个 Daubechies 小波(db10)与正弦波的比较。傅里叶变换与小波变换基元正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。由图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变化的基础。因此用小波能更好地刻画信号的局部特性。在数学上，傅里叶变换的公式为 ()()jwtFfed积分是从 到 。图给出
2、了傅里叶变换的示意图。由图看出，原始信号是由不同的频率成分构成的。信号 不同频率分量的组成信号傅里叶变换过程连续小波变换（Continue Wavelet Transform）的数学表示式为 ,(,)()f abRtbWffa,1()()abtt式中， 为小波；a 为尺度因子；b 为平移参数。图是小()t波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成的。信号 不同尺度和不同位置小波的组成信号小波变换示意图小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下的“拉伸”或者“压缩” 。图给出了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的位移参数，是简单地将波形沿时间轴平移
3、。()ft1a()2ftta()4ftt1a不同尺度下小波形状2.离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。这一离散化都是针对连续的尺度参数 a和连续平移参数 b 的，而不是针对时间变量 t 的。离散的目的是减少连续小波变换的信息冗余，同时又要保证反映出信号的特征信息。通常，把连续小波变换中尺度参数 a 和平移参数 b 的离散化公式分别取作 ， ， ，则相应的离散0ja0jbk,kZ小波函数为: 22,()0 000()()jj jjjkttatb相应的离散小波变换为: , ,(),jkjktjkCfdf其重构公式为 ,()()jktftC 是一个与信号无关的常
4、数。3. 二进制小波变换上面是对尺度参数 a 和平移参数 b 进行离散化的要求。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，需要改变 a 和 b 的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即， ，每个网格点对应的尺度为 ，而平移为 。02a01b 2j 2jk由此得到的小波 2,()()jjjkt tk,jZ二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数 ，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想2j进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减
5、小放大倍j数，即加大 值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微j镜。二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量仍保持连续变化，因此，二进小波变换不破坏信号咋时间域上的平移不变量，这是它较之离散小波变换所具有的连续的独特优点。时间域 频率域短时傅里叶变换 小波变换（1）小波变换示意图4 . MALLAT 算法滤波的基本原理Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。关于多分辨率分析的理解，以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图三层多分辨率分析树结构图从图可以明显看出，多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解
6、，而高频不予以考虑。分解具有关系：.这里只是以一个层分解进行说明，如果要321SAD进行进一步的分解，则可以把低频部分 分解成低频部分3A和高频部分 。以下再分解依次类推。4A4D4.1 康托尔（Cantor）间断集设 ,则 是一个长度等于 1 的闭区间，现在将01X0单位长度等分，去掉中间长度为 的开区间 ，剩下32(,)3的是左、右各 长度的闭区间，用 表示，则31X，接着再把 中两个长度各为 的区间三等120,1X1分，去掉中间的 部分，其长度为 的开区间，剩下的是23，则 ，它是由 个长222223678,12度等于 的闭区间所构成，如图所示。如此继续分割下去13就得到一个无穷嵌套序列
7、 ,其中 是由 个0123XX k2k长度为 的闭区间所组成，这些集的交集用 D 表示，则k，这就是康托尔间断集。因为 是01230kDX kX由 个长度等于 的闭区间所组成，它的总长度等于 。2k k 23所以 D 若是有长度的话，其长度等于如下极限：2()03limlikkk与闭区间同时存在的是开区间，记为 , , .不难看出，1W2康托尔间断集中任意两个不同的开区间即交集是空集 ，说明它们是相互正交的，即 12310NkW为了方便，称下标 为康托尔间断集的尺度。k4.2 康托尔间断集与希尔伯特空间的对应关系由图易将康托尔间断集与希尔伯特空间 H 联系起来，建立二者之间的对应关系。为此用
8、H 空间的子空间 表示康0V托尔间断集中的 。每次去掉的部分用子空间 表示，而0XkW每次剩余的部分用子空间 表示。显然，任意两个不同的开kV区间与 的交集是 ，意味着它们彼此正交。同时 与 的交iWj iVj集并不是 ，因此 与 并不正交，在尺度为 1 时， 分解iVj 0为 与 的直和，即 ， 就是 在 中的正交补空间，1V01W110改变尺度继续分割下去就有 ,可见，021VW就是对 空间结构的细节补充。同时 就是在尺度 下对iW0 i i的基本特征的表现。0V0V0X1V 1V1()W122 222()W1()()X3V3V3V3V2()1()W2()W33)3()3()康托尔间断集与
9、希尔伯特空间的关系4.3 康托尔间断集的性质由图可以直观地看出，康托尔间断集有如下性质：1. ：即分辨率高的空间 包含了分辨率低的空间 1mX1mX mX全部信息。2. ， ，即 。00mX0mXli0mX3.如果 ，则 。()ft1(2)ft4.若 ，则 ，即康托尔间断集对于函数mmK的平移是不变的。()ft4.4 多分辨率分析多分辨率分析的实质是满足一定条件 中的一系列子空间，2()LR其定义如下：在 空间中的多分辨率分析是指满足下列条件的一空间序2()LR列 :,jVZ(1) 单调性： ， ;1jjVZ(2) 渐进完全性： ， ；2()jjLR0jjV(3) 伸缩性：对任意 ， ，则 ；
10、jfx1(2)jfx(4) 平移不变性： ，则 ， ;()jfxV(jjkZ(5) 里兹（Riesz）基存在性：存在函数 ，使得0()gxV构成 的里兹基，即对任意的 ，存(),gxkZ0 0()在唯一的序列 ,使得 。2kaI()()kxagx4.4.1 空间的标准正交基（尺度函数的引入）()jVZ由里兹基得存在性，设 ，则0()xV(1)()kxag其傅里叶变换为(2) ()()jkwkZwGaeM式中 ()jkwkZMe在多分辨分析中，称 为尺度函数。由多分辨率分()x析的性质（3） ，可以得出 空间的标准正交基为 ，jV2()jjxn。尺度函数 与小波 在小波变换中起着重要作用，nZ(
11、)x()x尺度函数时构造小波的重要途径。4.4.2 的正交补空间 的标准正交基jVjW若 ，则 可构成 空间的标准正交基，0()x(),xnZ0W而由多分辨率分析的伸缩性， 空间的标准正交基为j， 。2()jjxnZ4.4.3 尺度函数 的两尺度方程和 的性质()x()Hw尺度函数 ，2()jjxn,jZ当 和 时有0j10, 0()nxV1,012但 ，所以可以用 展开 ，即10V0,n1,0(3)1()()2nxhx其中 1,0,()n nRhkd式(3)成为尺度函数的两尺度差分方程。将式(2.3)两边取傅里叶变换，（4）(2)()wH其中 称为序列 的傅里叶变换。序列 或1()inHhe
12、nhnh者与之等价的 完全决定了多分辨率分析。()4.4 信号 的多分辨率分析)ft将 空间与 空间结合起来，就相当于希尔伯特空间jVjWH 的正交分解，即 0121321VW实际测量的信号 ，只能得到有限的分辨率，假设对()fx于尺度 ，该尺度就对应着 ，然后在 空间不断变换尺度0m0k进行越来越细的分解，用公式表示如下： 01213211NkVWVWVW 1kfdfdfdfd4.5 滤波器脉冲系列 和khky设 为 的多分辨率逼近，由多分辨率理论有jZV2()LR（5）1jjjjjWV1jjV为尺度函数，令 ，则()x()2()jjjxx（6）2,jjjnnZ是 的规范正交基。将 代入式（
13、6） ， 的规范jV()()jjjxx jV正交基也可表示为（7）2,()jjjnxnZ为小波函数，令 ，则()x(2()jjj x（8）2,()jjjnxnZ是 的规范正交基。将 代入式(8)， 的规范jW(2()jjjxxjW正交基也可表示为（9） 2,()jjjnxnZ且 （10）2 1()jjjjjjjjxV根据式（10） ，可以用 空间的规范正交基表示 空间1j jV的基函数，即 1112222()(),()()j j j jj j j jj jkxnxnxkxk令 ，则由内积变成1j（11）120(),()xnk这正是式(3)中定义的 ，不过现在是 。nh2knh对任意 ，上式均成
14、立。所以有j（12）112 2()()j jj jknjxhxk将 代入上式，就得到等价表示式()()jjj（13）1(1)2 2j jj jknxhxk （14）1(1)222(),j jj jknh完全相似地可以得到小波函数的如下关系：（15）112 2()()j jj jknjxgxk（16）1(1)2 2()j jj jknxgxk （17）1(1)222(),j jj jkng脉冲系列 和 是马拉算法的基础。khky4.6 二进正交小波分解的物理意义由于 为规范的正交基，对不同的 ， 是正交,()jnxj,()jnx的。所以由不同的 所确定的频带是相互独立的。随着 的j j变化，这些
15、相互独立的频带覆盖了整个频率轴。从频谱分析角度看，二进正交小波变换 是 把信号分解到一系列,jnDWT相互独立的频带上，分辨率 反映了频带的位置和带宽。j在多分辨率分析理论中， ， 是 空间的1jjjV,()jnxjV标准正交基， 是 的标准正交基。信号 在 空间的,()jnxj fj正交投影 ，称为 在分辨率为 时的细节部分。显然，jDf()fj， 为在分辨率 时的近似信号，1()()()jjjAfxffx1()jAfx 1j它是由分辨率为 时的近似部分与细节部分之和构成。综上所述，对二进正交小波分解可表示为如下：（1）当分辨率为 时， 空间的标准正交基为 ，jjW2()jjxn，则 nZ2
16、2()(),()()j jj jjnDfxfuunxn（18）,()jndx式中 （19）2(),()jj jndfuun是带通的，所以 是由 所确定的带通2,(jjjnx ()jDfxj频带对信号 的贡献，提供 在分辨率为 时的细节部)f分，而正交展开系数 称为离散细节。jnd(2) 当分辨率为 时， 空间的标准正交基为 ,jjV2()jjxn则nZ22()(),()()j jj jjnAfxfunxn（20）,jna式中 （21）2(),()jj jnfun它是相对 所确定带通频带的相邻低通频带对信号,jnx的贡献，称为信号 在分辨率为 时的近似部分，而()fx()fxj是正交展开系数 称
17、为离散近似。jna(3) （22）1()()()jjjAfxfDfx它是由 所确定的带通频带与比其低且相邻的低通频带之j和的一段低通频带队信号 的贡献，包含了信号的分辨率()fx为 时的近似和细节。j下图说明了（22）的频带关系：和 分别是分辨率为 时的近似部分和细节部分的频1jA1jD1j带；而 和 分别是分辨率为 时的近似和细节部分频带。jj是 中的高频部分， 是 中的低频部分。j1j jA1j式（2.22）的频带关系4.7 MALLAT 算法4.7.1 小波分解根据 ， ， ，有1jjjVW1jjV1jjV（() (1)(1) (1)2 222()(,j jj jj j j jkxnun
18、ukxk 23）与 (1) (1)(1) (1)2 222()(,j jj jj j j jkxnunukxk （24）将式（14）和式（17）定义的 和 代入式（23）和2knh2kng（24）有（25）(1)(1)2 2()jjj jknxhxk 与（26） (1)(1)2 2()jjj jknxgxk 因此，由式（25）有（27）(1)(1)2 22(),(),jjj jknfunhfuuk 即 （28）12j jnknaa由式（26）有（29）(1)(1)2 22(),(),jjj jknfuungfuuk 即 （30） 12j jnknda令 ，nhng则式（28）与式（30）（31
19、） 12j jnkknaha（32）12j jnkkndg上面两式就是小波分解的马拉算法。图表示小波分解的马拉算法， 表示 抽样，即从 到 和 ，样点数减少121jkajkjkd一半。小波分解的马拉算法4.7.2 小波重构根据 ， ，及 与 两个正交1jjjVW(1)(1)21j j jxnVjjW基之和就是 的正交基，有j(1)(1)2j jxn（33）(1)(1)(1)222(1)222(, (),j jj jjj j jkjj j jkukunxk 与小波分解马拉算法推导相同，引入系数 和 ，上式化简nhg为 (1)(1)2,jjfuun（34）2 22 2(),()(),()j jj
20、jnk nkk khf gfuuk 即（35） 122j j jnnknkkahagd上式即为小波重构的马拉算法。图为这种算法的示意图，表示内插，即有 和 到 ，样点数增加一倍。2jkajkd1jka小波重构的马拉算法示意如果从信号处理的观点来看，小波分解与重构算法，实质上是一种滤波处理过程。根据信号处理理论，如果一个线性系统的脉冲响应为，则该线性系统对信号 的响应可由卷积运算来表示()ht ()xt（36）()*()ythxthd式 （36）代表了系统对输入信号的滤波处理，由卷积定理得频域关系（37） ()()YwHX这种滤波处理将包括三种情形：低通滤波，即 ，()0Hw；高通滤波，即 ，
21、；带通滤波，即0()0w1， 及 。将其用于离散信号 处理()Hw012()nZxl有（38）*kkknZyhx式（38）与式（31） ， （32）进行比较可由看出，近似部分 分别与序列 和 作卷积运算，即作滤波处理，1jka2nh2ng不同的是它们的下标顺序与常规的顺序不同。在式（31） ，（32）中卷积的形式为 、 。卷积12jkknha 12jkknga是 对所有的 值作卷积运算，或者说对 而言是全滤knZhx波，而 、 则是 对 作卷积运算，缺少了12jkkna 12jkknga2n的奇数部分，换句话说，卷积运算或滤波处理之后它们的n序列仅为全滤波的一半，即 得奇数部分被抽去而剩下偶数部分，因而 、 作的事“半滤波”过程。12jkknha12jkknga滤波器 对应一低通滤波器，滤波器 对应一高通滤波()Hw()Gw器。仿真三相不对称电路没补偿前以 a 相为例检测出的谐波采样时间是 0.1，采样间隔为 0.000086，频率为 11630用 db10.分解 6 层波形分别为 a 相补偿前的电流，a6 为基波，d6,d5,d4,d3,d2,d1 依次为对应的高次谐波。最后为 a 相谐波APF 用的滞环控制
