1、小波分析在光学信息处理中的应用 *马晶 谭立英 冉启文用小波变换分析惠更斯-菲涅耳原理，为小波光学理论描述理论基础.运用该理论，对光学系统的空域滤波、空频域滤波现象进行分析，其中小波在空域滤波以空间可变处理为例，小波在空频域滤波以匹配滤波为例，波前滤波则以夫琅和费单缝、圆孔等为例，分析了小波变换在光学领域处理问题的可行性，初步建立了小波光学的理论框架.PACC：4200；4230APPLICATION OF WAVELET ANALYSIS TO OPTICAL INFORMATION PROCESSING*MA JING TAN LI-YING(State Key Laboratory of
2、 Tunable Laser Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001)RAN QI-WEN(Department of Mathematics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001)ABSTRACT In this paper,the Huygens-Fresnel principle is restudied by means of wavelet analysis firstly,this builds the basis of the theory for wave
3、let optics.Then the theory of wavelet analysis is used to analyze the filtering in spatial domain and spatial frequency domain.For example,it gives the space variable processing for the filtering with wavelet in spatial domain,the match filtering for the filtering with wavelet in spatial frequency d
4、omain and a single slit and a round aperture for the wave-front filtering.The feasibility for treating the problems in optical field with wavelet transform is discussed,and the theoretical frame of wavelet optics is built.PACC：4200;42301 引言小波变换是一种新的有效的分析手段.它能有效地从光学图像(信号)中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对光学图像进行多尺度的
5、细化(multiscale analysis) 1 .近年来，人们尝试用光学系统实现小波变换.Szu 等人提出了利用二维相关器实现一维小波变换的方案 2，3 .Mendlovic等人提出了一个利用 Dammann光栅的多通道系统 4 ，其中一个通道实现一个尺度的小波变换.Wang 等人采用体全息技术，利用角度复用实现了光学 Harr小波变换，并用于图像特征提取 5 .Bloch等人讨论了利用计算全息方法实现光学小波变换的方案 6 .此外还有利用干涉计量仪实现光学小波变换的方案 7 .以上这些工作的目的都是用光学系统实现小波变换，而本文则侧重用小波分析方法和理论来建立新的光学理论小波光学.传统的
6、光学信息处理理论，在数学手段上借助 Fourier变换，且认为光学系统中光信号的传递是平稳过程.而实际上由于外界条件干扰，图像在光学系统中的传递是非平稳的，因此用小波变换分析更符合实际的光学系统.本文用小波变换分析惠更斯-菲涅耳原理，提出了小波波前滤波思想，为小波光学理论描述了理论基础.同时运用该理论，对光学系统的空域滤波、空频域滤波现象进行分析，其中小波在空域滤波以空间可变处理为例，小波在空频域滤波以匹配滤波为例，波前滤波则以夫琅和费单缝、圆孔等为例，分析了小波变换在光学领域处理问题的可行性，初步建立了小波光学的理论框架.2 光波传播过程的小波波前滤波惠更斯-菲涅耳原理是光的衍射理论的基础，
7、但也可以从另一角度研究光的衍射现象，即认为光波在传播过程中其波阵面受到限制，衍射孔径对波前进行滤波(波前滤波)，滤波后的传播情况可以看成受限孔径处光波在各点的权重重新分配，这里引入权重函数 ha,b;c,d(x,y)，并选其为母小波(1)其中 a,c是尺度因子，b,d 是平移因子.此时受限衍射孔径处(x,y)点的光场分布为该光波各点权重的叠加结果，即(2)其中 U(x,y)为衍射孔径上点(x,y)处未加权时的光场分布函数，U a,b;c,d(x,y)可看成 U(x,y)与ha,b;c,d(x,y)的卷积(3)则在空频域中(4)其中 分别是 Ua,b;c,d(x,y),U(x,y),h a,b;
8、c,d(x,y)的 Fourier变换，亦即屏上的光场分布是受限孔径处光场分布与受限孔径处权重因子(母小波)的 Fourier变换的乘积，而母小波的选择应根据具体情况而定.因此，从广义滤波系统而言，衍射现象也可看作是衍射孔径对波前的一种滤波.下面以衍射现象为例，说明小波波前滤波思想的正确性.2.1 矩形孔径夫琅和费衍射考虑一矩形孔径，其振幅透射率为 8(5)其中 lx,ly分别是 x,y方向上的孔径宽度.用一单位振幅的单色平面波垂直照明，则孔径上的场分布即为U(x,y)=t(x,y). (6)由(4)式有 ，所以只要找到一种母小波，使其在有效屏上，其余部分为零，就与实际情况完全一致.2.2 圆
9、孔、正弦型位相光栅(夫琅和费衍射)此时仍用一单位振幅的单色平面波垂直照明，则孔径处的场分布 U(x,y)仍等于透射率函数 t(x,y)，只是 t(x,y)的表达式有所不同.对圆形孔径，有(7)而对正弦型位相光栅，则有(8)与前面对矩形孔径的分析一样，在这里仍需找到一种母小波，使其在有效屏上(p,q)=1，其余部分为零，就与实际情况完全一致.从上面的几种特殊情况可知，对夫琅和费衍射，只需找到一种母小波，使其 Fourier变换(p,q)(频率响应)在有效屏上使(p,q)=1，其余部分为零，由此要求选如下形式小波 9 ：(9)其在频域中(10)上面几个例子都是对称光学系统，而实际上(2)式并不要求
10、光学系统必须是对称的.从以上具体例子可以看出，小波波前滤波理论是正确的.由于惠更斯-菲涅耳原理是光学理论的基础，这样可以预计，光学系统的各种信号处理和滤波都可以用小波分析的方法来处理.因此可认为该理论奠定了小波光学理论基础.下面以此理论为基础，分别对光学系统的空域滤波、空频域滤波进行分析.3 空域小波滤波若在输入平面 P1放置一复透明滤波片 ha,b;c,d(x,y)作为空域滤波(如图 1)，于是在紧靠 P1平面的复光场为(11)其中用二维母小波 ha,b;c,d(x,y)描述透明滤波片，f(x,y)是输入光信号，k 是系数.图 1 空域滤波系统在光学系统中，若把输入处理信号 f(x,y)的空
11、间坐标反转过来，并在输入空间域横向平移至(x 0,y0)点，即由 f(x0-x,y0-y)代替 f(x,y)，则(12)这就是 f(x,y)和 ha,b;c,d(x,y)的卷积积分.在空频域中，有(13)其中 分别是 E(x,y),f(x,y),ha,b;c,d(x,y)的 Fourier变换.这样根据小波波前滤波理论，用小波变换实现了光学系统空域滤波，并可通过扫描机构实现各种尺度下的滤波.同时，由于小波变换的局域化特征，可根据需要对任一点的局部特征进行提取，而且在设计空域滤波器时，可在理论上根据需要对各个局部进行设计，并通过智能化控制使得空域滤波灵活方便，这是 Fourier变换所做不到的.
12、4 空域小波滤波与空间可变处理现在通过举例说明小波空域滤波理论的正确性.例如对空域的空间可变处理，由(11)式，输入-输出关系可由下式描述：(14)其中空间脉冲响应用小波母函数 ha,b;c,d(x,y)表示，f(x,y)是输入函数，g(x,y)是输出函数.(15)其中空间可变处理反映在小波函数的 a,c伸缩因子和 b,d平移因子上.我们可制作一光栅，它的光栅频率是空间坐标的函数，换言之，对一给定的物点(x,y)，光栅某一局部的角空间频率(p x,qy)将会使该物点变换到频谱面上的点(，)，且(16)其中 是光源的波长，f 是透镜的焦距.5 空频域小波滤波在空频域内(图 2P2平面)也可以合成
13、一个所需要的线性滤波运算，其空间滤波器是由置于相干光学系统空频域的透明滤波片组成.如图 2，若待处理信号 f(x,y)置于空域 P1，则输入信号的 Fourier变换分布在空频域 P2平面上.若有一透明滤波片 ha,b;c,d(p,q)置于 P2，于是紧靠 P2的背后复光场分布为(17)在输出平面 P3上的光场分布为(18)即(19)这里用小波母函数表示透明滤波片，空频域小波滤波器可由任意形状的孔径和狭缝组成低通、高通、带通小波滤波器.并可根据小波的特性，对输入信息的局部进行提取、识别，还可根据其空频域局部的变换情况，找出输入信号奇异点的变化情况，而通过调整和移动空频滤波器，可实现各种尺度下的
14、空频域小波滤波.尤其当输入光信号是非平稳信号时，只有用小波变换才有可能进行滤波处理.图 2 空频域滤波系统6 空频域小波滤波与匹配滤波器 下面基于空频域小波滤波思想，以空频域匹配滤波说明光学系统空频域小波滤波理论的正确性.将用母小波表示的匹配滤波器放在空频域 P2平面上，假定输入待处理信号混杂一些相加性的高斯噪声，同时还假定该小波匹配滤波器单独对信号 S(x,y)的响应为 S0(x,y)，而对随机噪声 n(x,y)的响应为 n0(x,y)，有f(x,y)=S(x,y)+n(x,y). (20)滤波器在 x=y=0时的输出信噪比为(21)其中 2是输出噪声的均方值.由(14)式(22)(23)由
15、母小波表示的匹配滤波器，目的是要确定一个滤波函数，使其信噪比为最大，而由母小波函数的局域性及紧支撑性，可实现此目的.7 结论通过上面的分析可得到如下结论：1.小波波前滤波思想是正确的，它与传统理论并不矛盾，由此也奠定了小波光学信息处理的基础.2.小波空域滤波可实现光学系统中的各种空域滤波，并由此分析了空域可变空间处理，而用小波变换实现空间可变处理将比 Fourier变换更具灵活性.3.小波空频域滤波在光学系统中可进行各种空频域滤波，据此讨论了空频域小波匹配滤波器，由小波的局部特性实现匹配滤波.从上面的讨论初步看出，小波变换适合于光学信息处理系统，并将给光学信息处理技术带来新的活力，也会为光学理
16、论提供新的分析手段.初步建立了小波光学理论框架.*哈尔滨工业大学基金(批准号：961190-133)资助的课题.*Project supported by the Foundation of Harbin Institute of Technology (Grant No.961190-133),China.作者单位：马晶 谭立英：哈尔滨工业大学可调谐激光技术国家重点实验室，哈尔滨 150001冉启文：哈尔滨工业大学数学系，哈尔滨 1500011C.K.Chui,An Introduction to Wavelets(Academic Press,Inc.,New York,1992),pp.
17、1622.2H.Szu,Yun-long Shen,Jing Chen,Appl.Opt.,31(1992),3267.3H.Szu,B.Telfer,A.Lohmann,Opt.Eng.,31(1992),1825.4D.Mendlovic et al.,Appl.Opt.,34(1995),8213.5Wen-lu Wang,Guo-fan Jin,Yin-bai Yan et al.,Opt.Eng.,34(1995),1238.6P.G.Block,S.K.Rogers,D.W.Ruck,Appl.Opt.,33(1994),5275.7Y.Zhang,E.Kanterakis et al.,Appl.Opt.,33(1994),5279.8J.W.顾德门，傅里叶光学导论(科学出版社，北京，1979)，第7078页 J.W.Goodman,Introduction to Fourier Optics(Science Press,Beijing,1979),pp.7078(in Chinese).9Y.Meyer,In Ondelettes et Operatears(Hermann,Paris,1990),pp.3036,106110.
