1、第一章 线性规划与单纯形方法,1-0 线性规划（概论） 线性规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing）,线性规划（概论） 线性规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1951年提出单纯形算法（Simpler）,线性规划（概论） 线性规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1951年提出单纯形算法（Simpler） 1963年Dantzing写成“Linear Programming and Extens
2、ion”,线性规划（概论） 线性规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1951年提出单纯形算法（Simpler） 1963年Dantzing写成“Linear Programming and Extension” 1979年苏联的Khachian提出“椭球法”,线性规划（概论） 线性规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1951年提出单纯形算法（Simpler） 1963年Dantzing写成“Linear Programming and Extension”
3、 1979年苏联的Khachian提出“椭球法” 1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”,线性规划（概论） 线性规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1951年提出单纯形算法（Simpler） 1963年Dantzing写成“Linear Programming and Extension” 1979年苏联的Khachian提出“椭球法” 1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”线性规划是研究线性不等式组的理论，或者说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线性代数的应用和发展。,线性规划（概论） 线性
4、规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1951年提出单纯形算法（Simpler） 1963年Dantzing写成“Linear Programming and Extension” 1979年苏联的Khachian提出“椭球法” 1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”线性规划是研究线性不等式组的理论，或者说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线性代数的应用和发展。,1-1 线性规划基本概念生产计划问题 如何合理使用有限的人力，物力和资金，使得收到最好的经济效益。 如何合理使用有限的人力，物力和资金，以达到最经济
5、的方式，完成生产计划的要求。,例1.1 生产计划问题（资源利用问题）胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？,解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤：,解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤： 1确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量,解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤： 1
6、确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 2确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2,解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤： 1确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 2确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2 3确定约束条件：4x1+3x2 120（木工工时限制）2x1+x2 50 （油漆工工时限制）,解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤： 1确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 2确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2 3确
7、定约束条件：4x1+3x2 120（木工工时限制）2x1+x2 50 （油漆工工时限制） 4变量取值限制：一般情况，决策变量只取正值（非负值）x1 0, x2 0,解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤： 1确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 2确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2 3确定约束条件：4x1+3x2120（木工工时限制）2x1+x2 50 （油漆工工时限制） 4变量取值限制：一般情况，决策变量只取正值（非负值）x1 0, x2 0,数学模型max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 1202x1+ x
8、2 50x1,x2 0线性规划数学模型三要素：决策变量、约束条件、目标函数,1-2 线性规划问题的数学模型例1 .2 营养配餐问题假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？,各种食物的营养成分表,解：设xj为第j种食品每天的购入量，则配餐问题的线性规划模型为：min S=14x1+6x2 +3x3+2x4 s.t. 1000x1+800x2 +900x3+200x4 300050x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4
9、 55400x1+200x2 +300x3+500x4 800x1，x2 ， x3 ， x4 0,例某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min S= x1+x2+x3+x4+x5 +x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60x1 + x2 70x2 + x3 60x3 + x4 50x4 + x5 20x5 + x6 30x1,
10、x2,x3,x4,x5,x6 0,例、 永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 - （每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。这样我们建立如下的数学
11、模型:Max S=0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123,s.t. 5x111 + 10x211 6000 （ 设备 A1 ）7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ）6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ）4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ）7x123 4000 （ 设备 B3 ）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （产品在A、B工序
12、加工的数量相等）x211+ x212- x221 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）x312 - x322 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,其他典型问题：合理下料问题,其他典型问题：合理下料问题 运输问题,其他典型问题：合理下料问题 运输问题 生产的组织与计划问题,其他典型问题：合理下料问题 运输问题 生产的组织与计划问题 投资证券组合问题,其他典型问题：合理下料问题 运输问题 生产的组织与计划问题 投资证券组合问题 分派问题,其他典型问题：合理下料问题 运输问题 生产的组织与计划问题 投资证券组合
13、问题 分派问题 生产工艺优化问题,用于成功决策的实例： 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些机组人员被安排于哪架飞机的决策,用于成功决策的实例： 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些机组人员被安排于哪架飞机的决策 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运送海湾战争所需要的人员和物资的决策,用于成功决策的实例： 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些机组人员被安排于哪架飞机的决策 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运送海湾战争所需要的人员和物资的决策Chessie道路系统关于购买和修理价值40亿美圆货运汽车决策,用于成功决策的实例： 魁北克水利部门关于用哪几个水库来满足每
14、天电力需求决策,用于成功决策的实例： 魁北克水利部门关于用哪几个水库来满足每天电力需求决策 农场信贷系统联邦土地银行关于如何支付到期债券和应发售多少新债券以获取资金（每年共计60亿美圆）来维持发展决策,用于成功决策的实例： 魁北克水利部门关于用哪几个水库来满足每天电力需求决策 农场信贷系统联邦土地银行关于如何支付到期债券和应发售多少新债券以获取资金（每年共计60亿美圆）来维持发展决策 北美长途运输公司关于每周如何调度数千辆货车的决策,用于成功决策的实例： 魁北克水利部门关于用哪几个水库来满足每天电力需求决策 农场信贷系统联邦土地银行关于如何支付到期债券和应发售多少新债券以获取资金（每年共计60
15、亿美圆）来维持发展决策 北美长途运输公司关于每周如何调度数千辆货车的决策 埃克森炼油厂关于调节冶炼能力去适应关于无铅燃料生产的法律更改的决策,用于成功决策的实例： 魁北克水利部门关于用哪几个水库来满足每天电力需求决策 农场信贷系统联邦土地银行关于如何支付到期债券和应发售多少新债券以获取资金（每年共计60亿美圆）来维持发展决策 北美长途运输公司关于每周如何调度数千辆货车的决策 埃克森炼油厂关于调节冶炼能力去适应关于无铅燃料生产的法律更改的决策,决策变量：每一个问题若用一组变量 来表示（ ） ，它们的每一组的可能取值为一种方案，这组变量为决策变量。目标函数：评判决策方案的好坏。 约束条件：由于资源
16、受限，决策变量应满足的等式或不等式约束。,什么是线性规划？目标函数与约束条件都是线性的优化问题。,线性规划问题的一般形式： Max(Min)S=c1x1+c2x2+cnxn s.t. a11x1+a12x2+.+a1nxn (=, )b1a21x1+a22x2+.+a2nxn (=, )b2.am1x1+am2x2+.+amnxn (=, )bmx1,x2.xn 0,线性规划问题隐含的假定： 比例性假定：决策变量变化引起的目标函数的改变量和决策变量的改变量成比例，同样，每个决策变量的变化引起约束方程左端值的改变量和该变量的改变量成比例。,线性规划问题隐含的假定： 比例性假定：决策变量变化引起的
17、目标函数的改变量和决策变量的改变量成比例，同样，每个决策变量的变化引起约束方程左端值的改变量和该变量的改变量成比例。 可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和。,线性规划问题隐含的假定： 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应取连续值。,线性规划问题隐含的假定： 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都是确定的参数。线性规划问题不包含随机因素。,线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定,线性规划问题的标准形式(1)： Max S=c1x1+c
18、2x2+cnxn s.t. a11x1+a12x2+.+a1nxn=b1a21x1+a22x2+.+a2nxn=b2.am1x1+am2x2+.+amnxn=bmx1,x2.xn 0 其中：bi 0(i=1,2,.m),线性规划问题的标准形式(2)：nMax S = cjxjj=1ns.t. aijxj = bi (i=1,2,.n)j=1xj 0 (j=1,2,.m),线性规划标准型的矩阵形式(3)： Max S = CXs.t. AX=bX 0,a11 a12 . a1n b1 A= a21 a22 . a2n b = b2 .am1 am2 . amn bn,c1 x1 0c2 x2 0
19、 C= X= 0 = cn xn 0,如何将一般问题化为标准型： 若目标函数是求最小值 Min S = CX 令 S= - S, 则 Max S= - CX,如何将一般问题化为标准型： 若目标函数是求最小值 Min S = CX 令 S= - S, 则 Max S= - CX 若约束条件是不等式,如何将一般问题化为标准型： 若目标函数是求最小值 Min S = CX 令 S= - S, 则 Max S= - CX 若约束条件是不等式 若约束条件是“”不等式n aijxj + yi = bij=1yi 0是非负的松驰变量,如何将一般问题化为标准型： 若约束条件是“”不等式n aijxj - zi
20、 = bij=1zi 0是非负的松驰变量,如何将一般问题化为标准型： 若约束条件右面的某一常数项 bi0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。,如何将一般问题化为标准型： 若约束条件右面的某一常数项 bi0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘上-1。 若变量 xj无非负限制 引进两个非负变量xj xj” 0 令xj= xj- xj”（可正可负）,如何将一般问题化为标准型： 若约束条件右面的某一常数项 bi=0 令xj= xj- xj”（可正可负） 任何形式的线性规划总可以化成标准型,例1.3 将下列问题化成标准型: Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3
21、 7x1-x2+x3 2-3x1+x2+2x3 = 5x1,x2 0 x3 无非负限制,Max S = x1-2x2+3x3-3x3” s.t. x1+x2+x3-x3”+x4 =7x1-x2+ x3-x3”-x5=2-3x1+x2+2x3-2x3” =5x1, x2,x3,x3”, x4,x5 0,1-3 线性规划问题 解的概念,（二维）线性规划问题图解法：（1）满足约束条件的变量的值，称 为可行解。,（二维）线性规划问题图解法：（1）满足约束条件的变量的值，称为可行解。 （2）使目标函数取得最优值的可行解，称为最优解。,（二维）线性规划问题图解法：（1）满足约束条件的变量的值，称为可行解。
22、 （2）使目标函数取得最优值的可行解，称为最优解。例1.1的数学模型max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 1202x1+x2 50x1,x2 0,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,4x1+3x2 120,由 4x1+3x2 120x1 0 x2 0 围成的区域,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,2x1+x2 50,由 2x1+x2 50x1 0 x2 0 围成的区域,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,2x1+x2 50,4x1+3x2 120,可行域,同时满足： 2x1+x2 5
23、0 4x1+3x2 120 x1 0 x2 0 的区域可行域,x2,50,40,30,20,10,10,20,40,x1,可行域,O（0，0）,Q1（25，0）,Q2（15，20）,Q3（0，40）,可行域是由约束条件围成的区域，该区域内的每一点都是可行解，它的全体组成问题的解集合。 该问题的可行域是由O，Q1，Q2，Q3作为顶点的凸多边形,30,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,可行域,目标函数是以S作为参数的一组平行线 x2 = S/30-（5/3）x1,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,可行域,当S值不断增加时，该直线 x2
24、 = S/30-（5/3）x1 沿着其法线方向向右上方移动。,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,可行域,当该直线移到Q2点时，S（目标函数）值达到最大： Max S=50*15+30*20=1350 此时最优解=（15，20）,Q2（15，20）,二个重要结论： 满足约束条件的可行域一般都构成凸多边形。这一事实可以推广到更多变量的场合。,二个重要结论： 满足约束条件的可行域一般都构成凸多边形。这一事实可以推广到更多变量的场合。 最优解必定能在凸多边形的某一个顶点上取得，这一事实也可以推广到更多变量的场合。,解的讨论： 最优解是唯一解；,解的讨论： 最优解是唯一解
25、； 无穷多组最优解： 例1.1的目标函数由max S=50x1+30x2 变成： max S=40x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 1202x1+x2 50x1,x2 0,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,可行域,目标函数是同约束条件：4x1+3x2 120平行的直线 x2 = S/30-（4/3）x1,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,可行域,当S的值增加时，目标函数同约束条件：4x1+3x2 120 重合，Q1与Q2之间都是最优解。,Q1（25，0）,Q2（15，20）,解的讨论： 无界解： 例：max S=x1+x2
26、 s.t. -2x1+x2 40x1-x2 20x1,x2 0,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,该可行域无界，目标函数值可增加到无穷大，称这种情况为无界解或无最优解。,解的讨论： 无可行解： 例：max S=2x1+3x2 s.t. x1+2x2 8x1 4x2 3-2x1+x2 4x1,x2 0,该问题可行域为空集，即无可行解，也不存在最优解。,解的情况： 有可行解 有唯一最优解 有无穷最优解 无最优解 无可行解,线性规划问题解的概念线性规划标准型的矩阵形式： Max S = CX （1-9）s.t. AX=b （1-10）X 0 （1-11）,a11 a1
27、2 . a1n b1 A= a21 a22 . a2n b = b2 am1 am2 . amn bn,c1 x1 0c2 x2 0 C= X= 0= cn xn 0,解、可行解、最优解 满足约束条件（1-10）的X，称为线性规划问题的解。,解、可行解、最优解 满足约束条件（1-10）的X，称为线性规划问题的解。 满足约束条件（1-10）与（1-11）的X，称为线性规划的问题可行解。,解、可行解、最优解 满足约束条件（1-10）的X，称为线性规划问题的解。 满足约束条件（1-10）与（1-11）的X，称为线性规划的问题可行 解。 满足目标函数（1-9）的可行解X，称为线性规划的问题最优解。,基
28、、基向量、基变量 设 r(A) = m,并且B是A的m 阶非奇异的子矩阵（det(B) 0),则称矩阵B为线性规划问题的一个基。,基、基向量、基变量 设r(A)=m,并且B是A的m 阶非奇异的子矩阵（det(B)0),则称矩阵B为线性规划问题的一个基。 矩阵 B =（P1，P2.Pm) ，其列向量Pj 称为对应基B的基向量。,基、基向量、基变量 设r(A)=m,并且B是A的m 阶非奇异的子矩阵（det(B)0),则称矩阵B为线性规划问题的一个基。 矩阵B=（P1，P2.Pm) ，其列向量Pj称为对应基B的基向量。 与基向量 Pj 相对应的变量xj就称为 基变量，其余的就称为非基变量。,基础解.
29、基础可行解.可行基 对于某一特定的基B，非基变量取0 值的解，称为基础解。,基础解.基础可行解.可行基 对于某一特定的基B，非基变量取0值的解，称为基础解。 满足非负约束条件的基础解，称为基础可行解。,基础解.基础可行解.可行基 对于某一特定的基B，非基变量取0值的解，称为基础解。 满足非负约束条件的基础解，称为基础可行解。 与基础可行解对应的基，称为可行基。,为了理解基础解.基础可行解.最优解的概念，用下列例子说明： 例1.4：max S = 2x1 + 3x2 （1-12）s.t. -2x1 + 3x2 6 （1-13-1）3x1 - 2x2 6 （1-13-2）x1 + x2 4 （1-
30、13-3）x1, x2 0 （1-14）,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2x1+3x2=6,3x1 -2 x2=6,x1 + x2 =4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2x1+3x2=6,3x1 -2 x2=6,x1 + x2 =4,A,B,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2x1+3x2=6,3x1 -2 x2=6,x1 + x2 =4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,满足约束条件（1-13）-2x
31、1+3x2 6 （1-13-1）3x1 -2 x2 6 （1-13-2）x1 + x2 4 （1-13-3）与坐标系 x1, x2=0 （1-14） 的交点（O，A，B，Q1，Q2，Q3，Q4） 都是代表基础解。注意：点（4，0）（0，4）不满足（1-13）,满足约束条件（1-13）-2x1+3x2 6 （1-13-1）3x1 -2 x2 6 （1-13-2）x1 + x2 4 （1-13-3）且满足 x1, x2 0 （1-14） 的交点（O，Q1，Q2，Q3，Q4） 都是代表基础可行解。 注意：点A，B不满足x1, x2 0 点（O，Q1，Q2，Q3，Q4）刚好是可行域的顶点。,x2,4,
32、3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2x1+3x2 6,3x1 -2 x2 6,x1 + x2 4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,可行域,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,3x1 -2 x2 6,x1 + x2 4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,可行域,-2x1+3x2 6,本问题解的情况： 基础解：点（O，A，B，Q1，Q2，Q3，Q4） 可行解：由点（O，Q1，Q2，Q3，Q4）围成的区域。 基础可行解：点（O，Q1，Q2，Q3，Q4） 最优解： Q3,解的集合：,非可行解,可行解,解的集合：,基
33、础解,解的集合：,可行解,基础解,基础可行解,解的集合：,可行解,基础解,基础最优解,基础可行解,线性规划解的性质（几何意义） 凸集概念：设D是n维线性空间Rn的一个点集，若D中的任意两点x(1),x(2)的连线上的一切点x仍在D中，则称D为凸集。 即：若D中的任意两点x(1),x(2) D，存在01 使得 x= x(1)+(1- )x(2) D,则称D为凸集,例1 . 5,X1,X2,X(1),X(2),X,图（1-7）,例1 . 5,X1,X2,X(1),X(2),-X(2),X(1) -X(2),图（1-7）,X,例1 . 5,X1,X2,X(1),X(2),X,X(1) -X(2),y
34、= (X(1) -X(2) ) (0 1),X=X(2)+y = X(2)+ (X(1) -X(2) ) = X(1) +(1- )X(2),图（1-7）,例1 . 5,X1,X2,X(1),X(2),X,-X(2),X(1) -X(2),图（1-7）,X=X(2)+y = X(2)+ (X(1) -X(2) ) = X(1) +(1- )X(2),y= (X(1) -X(2) ) (0 1),例1. 6（凸集）,例1. 7（非凸集）,例1.8（凸集性质） 二个凸集的交还是凸集,二个凸集的并不一定是凸集,两个基本概念： 凸组合：设x(1),x(2) x(k)是n维线性空间Rn中的k个点，若存在
35、数u1,u2,.uk 且0 ui 1 (i=1,2,k), ui =1, 使得 x= u1 x(1)+ u2 x(2) + uk x(k) 成立，则称x为x(1),x(2) x(k)的凸组合。,两个基本概念： 顶点：设D是凸集, 若D中的点x 不能成为D中任何线段上的内点，则称x为凸集D的顶点。 即：若D中的任意两点x(1),x(2) ，不存在数 （0 1） 使得x= x(1)+(1- )x(2) 成立，则称x为凸集D的一个顶点。,例1.9： 多边形上的点是顶点,圆周上的点都是顶点,线性规划的基本定理,定理1-1 线性规划问题的可行解集是凸集。（即连接线性规划问题任意两个可行解的线段上的点仍然
36、是可行解。),线性规划的基本定理,定理1-2 线性规划问题的可行解x为基础可行解的充分必要条件是：x的非零分量所对应的系数矩阵A的列向量是线性无关。,线性规划的基本定理,定理1-3 线性规划问题的可行解集D中的点x是顶点的充分必要条件是：x是基础可行解。,线性规划的基本定理,定理1-3 线性规划问题的可行解集D中的点x是顶点的充分必要条件是：x是基础可行解。 推论：可行解集D中的顶点个数是有限的。,线性规划的基本定理,定理1-3 线性规划问题的可行解集D中的点x是顶点的充分必要条件是：x是基础可行解。 推论：可行解集D中的顶点个数是有限的。 推论：若可行解集D是有界的凸集，则D中任意一点x，都
37、可表示成D的顶点的凸组合。,例1-10：,x1,x2,X(1),X(2),X(3),x,x1,x2,X(1),X(2),X(3),x,X,X= X(1) +(1- )X(3)(0 1),x1,x2,X(1),X(2),X(3),X,X,X = X +(1- )X(2)(0 1),因为x是X(1) ，X(3)连线上的一点，故 x = X(1) +(1- )X(3) (0 1) 又因为x是X ，X(2)连线上的一点，故X = X +(1- )X(2) (0 1) X = （ X(1) +(1- )X(3)） +(1- )X(2)= X(1) +(1- )X(2) +(1- ) X(3)=u1X(1
38、) +u2X(2) +u3X(3) 其中 (0ui1)且u1 +u2 +u3 = +(1- )+(1- ) =1,x1,x2,X(1),X(2),X(3),X,X =u1X(1) +u2X(2) +u3X(3),线性规划的基本定理,定理1-4 若可行解集D有界，则线性规划问题的最优解，必定在D的顶点上达到。,线性规划的基本定理,定理1-4 若可行解集D有界，则线性规划问题的最优解，必定在D的顶点上达到。 说明1：若可行解集D无界，则线性规划问题可能有最优解，也可能无最优解。若有最优解，也必在顶点上达到。,线性规划的基本定理,定理1-4 若可行解集D有界，则线性规划问题的最优解，必定在D的顶点上达到。 说明1：若可行解集D无界，则线性规划问题可能有最优解，也可能无最优解。若有最优解，也必在顶点上达到。 说明2：有时目标函数也可能在多个顶点上达到最优值。这些顶点的凸组合也是最优值。（有无穷多最优解）,
