1、5/16/2019 11:50 PM,微积分讲义,设计制作,王新心,5/16/2019 11:50 PM,4.8 变化率及相对变化率,（一）函数变化率边际函数,（二）成本,在经济中的应用,（三）收益,（四）函数的相对变化率函数的弹性,（五）需求函数与供给函数,（六）需求弹性与供给弹性,（七）用需求弹性分析总收益的变化,5/16/2019 11:50 PM,（一）函数变化率边际函数,第四章 中值定理与导数的应用,设函数 可导，,导函数 也称为,边际函数。,称为 在 内的平均变化率，,它表,示 在 内的平均变化速度。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,际函数值，,
2、相应改变的真值应为 。,在点 处，,从 改变一个单位，,在 处的导数 称为 在点,处的变化率，,也称为 在点 处的边,它表示 在点 处的变化速度。,单位很小时，,但当 改变的,或 的“一个单位”与 值相对来说,很小时，,则有,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,的改变时，,当 产生一个单位,这说明 在 处，,在应用问题中解释边际函数值的具体意义,近似改变 个单位。,时一般略去“近似”二字。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例1 函数,在点 处,边际函数值为,它表示当 时，,改变一个单位，,（近似）改变 个单位。,例2 设某产品
3、成本函数 （ 为,总成本， 为产量），,其变化率 称为,边际成本。,本。,称为当产量为 时的边际成,西方经济学家的解释是：,生产 前最后一个单位产品所增添的成本。,当产量达到 时，,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（二）成本,某产品的总成本是指生产一定数量的产品,所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设,备等）的价格或费用总额。,它由固定资本与可,变资本组成。,平均成本是生产一定量的产品，,平均每单,位产品的成本。,边际成本是总成本的变化率。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,在生产技术水平和生产要素的价格固定不,变的条件下
4、，,产品的总成本、平均成本、边际,成本都是产量的函数。,设 为总成本，,为固定成本，,为可变,成本，,为平均成本，,为边际成本，,为产量,则有,总成本函数,平均成本函数,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例3 已知某商品的成本函数为,边际成本函数,本。,解 由,求：当 时的总成本、平均成本及边际成,有,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,平均成本最小？,平均成本,解 由,总成本,当 时，,边际成本,例4 例3中的商品当产量 为多少时，,令,得,又,所以 时，平均成本最小。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与
5、导数的应用,（三）收益,收益是生产者出售一定量产品时所得到的,全部收入。,平均收益是生产者出售一定量的产品，,平,均每出售单位产品所得到的收入，,边际收益是总收益的变化率。,即单位产品,的售价。,总收益、平均收益、边际收益均为产量的,函数。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,设 为商品价格，,为商品数量，,益，,为平均收益，,为边际收益，,为总收,则有,需求（价格）函数,总收益函数,平均收益函数,边际收益函数,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,需求与收益的关系,总收益与平均收益的关系,5/16/2019 11:50 PM,第四
6、章 中值定理与导数的应用,总收益与边际收益的关系,（参见第六章）,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例5 设某产品的价格与销售量的关系为,收益。,求销售量为 时的总收益、平均收益的与边际,解,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,下面讨论最大利润原则：,取得最大值的必有条件为,即,取得最大利润的必有条件：,设总利润为,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,取得最大值的充分条件为,即,取得最大利润的充分条件：,边际收益的变化率 边际成本的变化率,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导
7、数的应用,例6 已知某产品的需求函数为,成本函数为,求产量为多少时总利润,解 由,并验证是否符合最大利润原则。,最大？,有,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,令 ，,得,所以当 时，,总利润 最大。,此时,有,有,所以符合最大利润原则。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例7 某工厂生产某种产品，,每生产一单位产品，,元，,问每年生产多少产品时，,元，,总利润最大？,固定成本,成本增加,已知总收益 是年产量 的函数,此时总,利润是多少？,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,得总利润函数为,总成本
8、函数为,解 由题意知，,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,令 ，,得,所以 时 最大。,此时,即当年产量为 个单位时，,总利润最大，,此时总利润为 元。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（四）函数的相对变化率函数的弹性,前面谈到的函数的改变量与函数的变化率,是绝对改变量与绝对变化率，,到，,仅仅研究函数的绝对改变量和变化率是不,够的。,商品乙每单位价格1000元，,例如，,商品甲每单位价格10元，,品的绝对改变量都是1元，,从实践中我们体会,涨价1元；,也涨价1元。,两种商,但各与其原价相比，,两者涨价的百分比却有很大不同，
9、,商品甲涨了,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,10%，,因此我们有必要,研究函数的相对改变量和变化率。,此时自变量与因变量的绝对改,例如，,而商品乙只涨了0.1%。,100改变到144，,而,当 由10改变到12时，,由,变量分别为,这表明当 改变到 时，,的改变量，,产生了,产生了 的改变。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,这就是相对改变量。,函数 的平均相对变化率。,这表明在 内，,从 ，,改变 时，,平均改变 ，,称它为从 到 ，,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,函数的相对改变量,
10、【定义4.5】设函数 在点,称为,与自变量的相对改变量 之比 ，,处可导，,函数 从 到 两点间的相对,变化率，,或称为两点间的弹性。,当 时，,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,即,的极限称为 在 处的相对变化,率（或弹性），,记作,或,当 为定值时，,为定值。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,则,对一般的 ，,若 可导，,称为 的弹性函数。,的变化反应的强烈程度或灵敏度。,是 的函数，,函数 在点 的弹性 反映了随,着 的变化 变化的幅度的大小，,即 对,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用
11、,的改变时，,在应用问题中解释弹性的具体意义时，,“相对性”是相对初始值而言的。,表示在点 处，,说明 两点间的弹性是有方向的，,因为,当 产生1%,近似地改变 。,经常略去“近似”二字。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,解,例8 求函数 在 处的弹性,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,解,例9 求函数 的弹性函数及函数,在点 的弹性,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,解,函数,例10 求幂函数 （ 为常数）的弹性,说明 幂函数的弹性函数为常数，,即在任,意点处弹性不变，,称其为不变弹性函数
12、。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（五）需求函数与供给函数,（1）需求函数,“需求”是指在一定价格条件下，,消费者愿,意购买并且有支付能力购买的商品量。,现在不考虑价格以外的因素，,只研究需求,与价格的关系。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,设 表示商品价格，,则有,称为需求函数。,（ 为自变量， 为因变量）,表示需求量，,一般而言，,商品价格低，需求大；,格高，需求小。,商品价,因此，,一般需求函数,是单调减少函数。,求函数。,其反函数 也称为需,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,经济
13、学中用 表示需求曲线，,如图所示,常用下列一些初等函数来拟合需求函数，,建立经验曲线：,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,线性函数,反比函数,幂函数,指数函数,称为边际需求。,需求函数 的边际函数,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例如 若已知需求函数为,则边际函数,当 时，,称为 时的边际需求,它表示：,当 时，,价格上涨（下跌）1个单位,需求将减少（增加）4个单位。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（2）供给函数,“供给”是指在一定价格条件下，,生产者愿意,出售并且有可供出售的商品量。,
14、现在不考虑价格以外的因素，,只研究供给,与价格的关系。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,设 表示商品价格，,则有,称为供给函数。,（ 为自变量， 为因变量）,表示供给量，,一般而言，,商品价格低，供给少；,格高，供给多。,商品价,因此，,一般供给函数,是单调增加函数。,给函数。,其反函数 也称为供,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,经济学中用 表示供给曲线，,如图所示,需求曲线,供给曲线,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,线性函数,幂函数,指数函数,常用下列一些初等函数来拟合供给函数，,建立
15、经验曲线：,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（3）均衡价格,均衡价格是市场上需求量与供给量相等时,的价格，,如图所示,需求曲线,供给曲线,是在需求曲线 与供给,横坐标 。,曲线 相交的点 处的,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,当 时，,消费者希望购买的商品量为,，,市场上出现“供不应求”，,生产者愿意出售的商品量为 ，,商品短缺，,会形成抢,购、黑市等情况。,这种情况不会持久，,必然会导致价格上涨，,增大。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,当 时，,消费者希望购买的商品量为,，,市场上出
16、现“供过于求”，,生产者愿意出售的商品量为 ，,商品滞销。,这种情况也不会持久，,必然会导致价格下跌，,减小。,市场上的商品价格将 围绕均衡价格波动,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例11 设某商品的需求函数和供给函数,解,分别为,求均衡价格,得均衡价格,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（六）需求弹性与供给弹性,函数，,为正数，,只讨论需求与供给对价格的弹性,性，,为了用正数表示需求弹,采用需求函数相对变化率的相反数（绝对,需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变,动的强弱。,由于需求函数 为单调减少,与 异号，,于是,及 皆
17、为负数。,值）来定义需求弹性。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,【定义4.6】某商品需求函数 在,记为,处可导，,两点间的需求弹性，,称为该商品在 与,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,记作,称为该商品在 处的需求弹性，,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例12 已知某商品的需求函数为,求（1）从 到 各点间的,需求弹性；,（2） 时的需求弹性,解（1）列表如下,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的
18、应用,举两个例子说明其经济意义,时，,在区间 内，,说明当商品价格 从 降至,从 每降低1%，,需求从,平均增加1.5%。,时，,在区间 内，,说明当商品价格 从 涨至,从 每上涨1%，,需求从,平均减少0.6%。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（2）,减少1%；,价格上涨1%，,这说明在 时，,需求则,价格下跌1%，,需求则增加1%。,此需求函数为幂函数，,是不变弹性函数，,即 为任何值时均有 。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例13 设某商品的需求函数为 ，,求（1）需求弹性函数；,（2） 时的需求弹性,解（1）,
19、（2）,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,说明当 时，,价格与需求变动的,的幅度相同；,说明当 时，,需求变动的幅度,小于价格变动的幅度，,价格上涨1%,即 时，,需求只减少0.6%；,说明当 时，,需求变动的幅度,大于价格变动的幅度，,价格上涨1%,即 时，,需求减少1.2%。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,【定义4.7】某商品供给函数 在,记为,处可导，,两点间的供给弹性，,称为该商品在 与,由于供给函数是单调增加的，,所以 与,同号，,给出下列供给弹性定义：,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导
20、数的应用,记作,称为该商品在 处的供给弹性，,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,（七）用需求弹性分析总收益（或市场,销售总额）的变化,即,需求变动的幅度小于价格变,总收益 是商品价格 与销售量 的乘积,（1）若 ，,动的幅度，,此时 ，,递增，,即价格上涨，,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,需求变动的幅度大于价格变,（2）若 ，,总收益增加；,此时 ，,递减，,即价格上涨，,价格下跌，,总收益减少。,动的幅度，,总收益减少；,价格下跌，,总收益增加。,需求变动的幅度等于价格变,（3）若 ，,此时 ，,取得最大值。,动的幅度，
21、,总之，,总收益的变化受需求,弹性的制约，,随商品价格的变化,而变化，,其关系如图所示,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例14 设某商品的需求函数为,（1）求需求弹性函数；,（2）求 时的需求弹性；,（3）在 时，,若价格上涨1%，,总收益增加还,是减少？,将变化百分之几？,（4） 为何值时，,总收益最大？,最大总收益,是多少？,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,解 （1）,（2）,（3）,所以价格上涨1%，,总收益将增,加。,下面求 增长的百分比即 的弹性,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用
22、,所以，,当 时，,价格上涨1%，,总收益约增加,0.67%。,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,所以，,当 时总收益最大，,（4）,令 ，,则,最大总收益为,5/16/2019 11:50 PM,内容小结,1.函数变化率边际函数,2.成本,3.收益,4.函数的相对变化率函数的弹性,5.需求函数与供给函数,第四章 中值定理与导数的应用,6.需求弹性与供给弹性,7.用需求弹性分析总收益的变化,作业 P199 37-47,5/16/2019 11:50 PM,备用题,第四章 中值定理与导数的应用,1.设某商品的需求函数 ，,其中价格,为需求量,（1）求 （需求量对价格的弹性函数）,（2）推导 （ 为收益），,并用弹,性 说明价格在何范围内变化时，,而收益增加。,降低价格反,（2004）,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,解 （1）,（2）,若降低价格收益增加，,则,即,解得,当价格在 范围内时，,而增加收益。,降低价格反,5/16/2019 11:50 PM,第四章 中值定理与导数的应用,解 （1）商品剩余量为,即,2.设某商品从时刻 到时刻 的销售量为,该商品销售完,欲在 时将数量为 的,试求（1） 时的商品剩余量，,并确定 的值；,（2）在时间段 上的平均剩余量。,（2）,（2003）,
