1、中档大题 6 导数应用1.已知函数 f(x)e x(x2bxc)，且曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x1.(1)求 f(x)的解析式；(2)讨论 f(x)的单调区间 .2.(2015苏州模拟)已知函数 f(x) x22aln x (aR ).12(1)讨论函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 g(x) f( x)在区间1,4 上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围.2x3.设函数 f(x)x 2bln( x1)，其中 b0.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)证明：当 b1 时，对于任意的 x1，x 21，) ，且 x1x 2，都有 .fx1 fx2x1 x2 5
2、24.已知函数 f(x)x 2 (x0，aR ).ax(1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数 f(x)在 2，)上为增函数，求 a 的取值范围.5.已知函数 f(x) x2ax ln x.12(1)求函数 f(x)的极值点；(2)若函数 f(x)在区间 2,6内有极值，求 a 的取值范围.6.已知函数 f(x)ln x ， aR .32 ax(1)当 a1 时，求函数 f(x)在4 ，)上的最小值；(2)令 g(x)f(x) .32 ax若方程 e2g(x)ln xf(x)在 上有解，求实数 a 的取值范围；12，2若 G(k)g(k)g(k 1)，k2，kN *，证明：当
3、 n2，nN *时，总有 G(2)G(3)G(n) .43答案精析中档大题 6 导数应用1.解 (1)因为 f(x)e x(x2bxc)，所以 f(x) e xx2(2b)x bc.因为 yf(x) 在点(0 ，f(0) 处的切线方程为 y4x1，又 f(0)4，所以 bc 4.又 f(0)c1，所以 b3.所以 f(x)e x(x23x1).(2)由(1)得 f(x)e x(x23x 1)，所以 f(x) e x(x25x4).令 f(x )0，即 x25x40，解得 x1；令 f(x )0，故 f(x)的单调递增区间为(0，).当 a 时，f (x)在(1，)上单调递增.12当 g(x)0
4、 在(1，)上有两个不等实根，即 2x22 xb0 在(1，)上有两个不等实根，则Error!即 0 .fx1 fx2x1 x2 524.解 (1)当 a0 时，f (x)x 2，对任意 x(，0)(0，)，f(x)( x) 2x 2f (x)，f(x)为偶函数.当 a0 时，f(x )x 2 (a0，x0)，ax令 x1，得 f(1)1a.令 x1，得 f(1)1a.f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1).函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)若函数 f(x)在 2，)上为增函数，则 f(x )0 在2，)上恒成立，即 2x 0 在2，)上
5、恒成立，ax2即 a2x 3在2 ，)上恒成立，只需 a(2x 3)min，x 2 ， )，a16，a 的取值范围是(，16.5.解 (1)因为 f(x) x2axln x，12所以 f(x)的定义域为(0，) ，f(x)xa .1x x2 ax 1x令 f(x )0，即 x2ax 1 0，则 a 24.若 a240，即2a2 时，f(x)0，所以当2a2 时，f(x )在(0，) 上单调递增，无极值点.若 a240，即 a2 时，方程 x2ax10 的解为 x .a a2 42()当 a2 时，02 时，f( x)的极大值点为 ，f(x)的极小值点为 .a a2 42 a a2 42(2)因
6、为函数 f(x)在区间2,6内有极值，所以 f(x) 0 在区间2,6内有解，所以 x2ax10 在区间2,6内有解，所以 ax 在区间2,6内有解.1x设 h(x)x ，1x对 x2,6，h(x )1 0，1x2 x2 1x2所以 h(x)在2,6内单调递增.所以 h(x) .52，376故 a 的取值范围为 .52，3766.解 (1)当 a1 时，f (x)ln x ，32 1x当 x4 ，)时，f(x) 0，1x 1x2 x 1x2所以函数 f(x)在4，)上单调递增，当 x4 时，f (x)取得最小值 f(4)ln 4 .54(2)g(x)f(x) ln x.32 ax因为原方程即
7、e2ln x 在 上有解，所以 x2 在 上有解，所以 ax 332 ax 12，2 32 ax 12，2x，x .令 yx 3 x，x ，则 y3x 2 ，x ，由 y0，得 x32 12，2 32 12，2 32 12，2(舍去 )，则 x 时，y0，函数 yx 3 x 在 上递增，x 时，22 22 12，22) 32 12，22) ( 22，2y0，即 ln x 对 x4，)恒成立，而32 1x 54 32 1xk(k 1)4，k 2，k N *，所以 G(k)ln k(k1) ，k2，kN *恒成立，32 1kk 1所以 G(2)G(3)G(n) (n1) (n1)32 ( 123 134 1nn 1) 32( )12 13 13 14 1n 1n 1 2 ，n2，nN *恒成立.3n 12 12 1n 1 3n2 1n 1 3n 12 1n 1 72又 在2， )上递增，且 n2 时， ，3n 12 1n 1 72 3n 12 1n 1 72 92 13 72 43所以当 n2，nN *时，总有 G(2)G(3)G( n) .43
