1、福建省宁德市 2017 届高三第一次（3 月）质量检查数学文试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 2,01U，全集 2|0Ax，则 UA（ ）A ,1 B , C , D ,12.复数 i(为虚数单位）的虚部是 （ ）A B 1 C i D i3. 从某学校随机抽取的 5名女大学生的身高 x厘米）和体重 y（公斤）数据如下表：x6075170y826436根据上表可得回归直线方程为 .9yxa，则 （ ）A 96. B 6. C 10. D 10.44. 若在区间 0,e内随
2、机取一个数 ，则代表数 的点到区间两端点距离均大于 e3的概率为（ ）A 14 B 12 C. 3 D 55. 已知变量 ,xy满足约束条件2017xy，则 yx的取值范围是 （ ）A 9,65 B 9,6,5 C. ,3, D 3,6. 已知 21cos43，则 sin2（ ）A 13 B C. D 237. 执行如图所示的程序框图，若输入 t的值为 5，则输出 s的值为（ ）A 916 B 54 C. 216 D 188. 已知函数 sin2fx，则“函数 fx的图象关于直线 3x对称”是“ 6”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件9. 某几何体的三
3、视图如图所示，则刻几何体的体积为（ ）A 23 B 43 C.5 D 7310.已知圆 2:0Cxy关于直线 10xay对称，则圆 C中以 ,4a为中点的弦长为 （ ）A 1 B 2 C.3 D 411. 已知函数 fxxe ，则 yfx的图象大致为（ ）A B C. D12. 已知函数 2,01xkf，若方程 302fx在实数集范围内无解，则实数 k的取值范围是 （ ）A 1,2 B 1,23 C. 0, D 1,24第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 1,a，向量 1,2b，则 abA 14.已知正三棱柱 1ABC的顶点都在同
4、一个球面上，且该正三棱柱的体积为 32，三角形 ABC周长为 3，则这个球的体积为 15. 已知双曲线21yxm的左右焦点分别为 12,F，过点 2的直线交双曲线右支于 ,两点，若1ABF是以 为直角顶点的等腰三角形，则 12A的面积为 16.在平行四边形 CD中，若 ,60,45,120BCD，则 A 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na满足 112,na. （1）求数列 的通项公式；（2）设 nnbA，求数列 nb的前 项和 nS.18. 如图，在菱形 ABCD中， 2,60,ABCDAO，现将其沿菱形对角线 B
5、D折起得空间四边形 E，使 .（1）求证： O；（2）求点 到平面 的距离.19. 交警随机抽取了途经某服务站的 40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位： km/h）,现将其分成六组为 60,5,7,57,8,58,90后得到如图所示的频率分布直方图.（1）某小型轿车途经该路段，其速度在 km/h以上的概率是多少？（2）若对车速在 ,6,0两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在60,5内的概率.20. 已知椭圆 2:10xyCab的离心率为 32，右顶点为 A，下顶点为 B，点 3,04P满足PAB.（1）求椭圆 的方程；（2）不垂直于坐标的直线 l与椭圆 C交于 ,MN
6、两点，以 为直径所的圆过原点，且线段 MN的垂直平分线过点 P，求直线 的方程. 21. 已知函数 1ln(2fxaxR). （1）当 32a时，求函数 f的单调区间和极值；（2）若 1gxf有两个零点 12,x，且 12，求证： 12x.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程是 2cos，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线 l的参数方程的是32(1xtmy为参数).（1）求曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通方程；（2）设点 ,0P
7、m，若直线 l与曲线 C交于 ,AB两点，且 1PBA，求实数 的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 21fxx的最小值为 m.（1）求实数 的值；（2）若 ,abc均为正实数，且满足 abc，求证:223bca.福建省宁德市 2017 届高三第一次（3 月）质量检查数学文试题参考答案一、选择题1-5:AAACA 6-10:BDBBD 11-12：DC二、填空题13. 1 14. 327 15.42 16. 62三、解答题17. 解：(1) 112,nnnaa,若 10na，则 1na，又121,3,0n12,n数列 n为以 为首项， 2为公比的等比数列，1nnaA， 12na.(2)
8、 nb,由（1）可知， 11,2nnbA，又2123.+3.nnSbSA， A， 由 -，得23121. 12,12nnnnnnnS SAAA.18. 解：(1) 四边形 BCD为菱形， .,.BDCOEBD在菱形 AC中，2,60, 2,1AB， 2,1，2EO， EO为直角三角形， 90,E，又,CD平面 ,BC平面 BCD.又 平面 ,BCDEO.(2)设点 到平面 的距离为 h，由（1）可知 O平面 . OV ，1133OCDECDSSAA.又在 Rt中，13,90,22OCDSA.在 CDE中，72,EE， 217OCEDShA.即点 O到平面 DC的距离为 217.19. 解：(1
9、) 速度在 0km/h以上的概率约为 50.4.60.5.20.85. (2)40辆小型轿车车速在 6,5范围内有 2辆，在 ,7范围内有 4辆.用 ,AB表示 6,范围内2辆小型轿车，用 ,abcd表示车速在 65,70范围内有 4辆小型轿车，则所有基本事件为,ABB， ,abcdc，至少有一辆小型轿车车速在范围 60,5内事件有 ,AcB，所以所求概率 9315p.20. 解：(1) 依题意，得22234abc，又 0ab，所以解得 21ab， 椭圆 C的方程为214xy.（2）设直线 l的方程为 12,ykxtMyNx，据 24ykxt，得2214840kxt，21212121228 4
10、,44kttttkyykk A，又由 0，得 21kt. 因为以线段 MN为直径的圆过坐标原点， 0OMNA，2221240,54kxytkA， ，可得 32t或 t.设 的中点为 ,Dmn，则 22,1tn.又 据题设分析知直线 PD与直线 l垂直，134PDk， 24kt， 据 得214kt，或259kt，依式可知直线 l的方程为 15353,1,222yxxyxyx.21.（1）当 3a时， 211ln0,xf f.令 0fx，则 1x（舍） ， 21x.x10,31,3f0xA极小值 Af在 10,3上单调递减，在 1,3上单调递增， fx的极小值为 12ln3f无极大值.(2)根据题
11、意，得 ln02gxax. 12,是函数 lngxa的两个零点，211ln0,l2xa，两式相减可得 1212122ln,lxxA，12212,lnlxx.令 120tt，则 12lnlnttx.记1l01htt，则 2.0,0ththt恒成立，2lntt在 ,上单调递增，故当 ,1t时， 1t，即当 ,1t时，1l0t， 当 1时，2lnt，故 12x.22. 解：(1) 曲线 C的极坐标方程是 2cos，化为 2cos，所以曲线 C的直角坐标方程为21xy.直线 l的参数方程是3(12xtmy为参数） ，消去参数 t可得直线 l的普通方程30m.(2) 将 2(1xty为参数）代入方程 21xy，得2231tmt.即2230tmt.由 ，解得 .所以 21t. 21,1PABtm，解得 2,1m.又满足 0，所以 12m或1m或 .23. 解：（1）因为函数 2fxx，所以当 x时， 23,fx；当 12时，46x；当 x时， 12,fx，综上， fx的最小值 3m.（2）据(1)求解知 3m，所以 3abcm，又因为 0,abc，所以2 222222bca ac abccAA，即22abcabc，当且仅当 1ab时，取“=” 所以22c，即223.
