1、2017 年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）已知集合 A=2，0，2，B=x|x 22x30，则 AB=（ ）A0 B2 C0，2 D 2，02 （5 分）已知复数 z 满足 zi=2i（i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）Ay=3 x By=x 2 Cy=lnx Dy=x |x|4 （5 分）已知 ， 表示两个不同的平面， m 为平面
2、 内的一条直线，则“m”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A B C D6 （5 分）一程序框图如图所示，如果输出的函数值在区间1，2内，那么输入实数 x 的取值范围是（ ）A （ ，0 ） B1，0 C1，+） D0，17 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，则 a2017=（ ）A2016 B2017 C4032 D40348 （5 分）函数 f（x ）=x a 满足 f（2）=4，那么函数 g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（ ）A B C D9 （
3、5 分）已知直线 将圆 C：x 2+y22x4y+4=0 平分，则直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）A8 B4 C2 D110 （5 分）已知 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（3，1） ，点 P（x ，y）的坐标满足不等式组，若 的最大值为 7，则实数 a 的值为（ ）A 7 B1 C1 D711 （5 分）已知双曲线 与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若|PF|=4 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）设函数的定义域为 D，若满足条件：存在a ，bD，使 f（x ）在a，b上的值域为 ，则称 f（x）为 “倍缩函数
4、”若函数 f（x ）=e x+t 为“ 倍缩函数”，则实数 t 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）平面向量 与 的夹角为 90， 则 = 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知，则 a= 15 （5 分）在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有 7 层每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有 盏灯16 （5 分）把正整数排列
5、成如图 1 所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图 2 所示的三角形数阵，设 aij 为图 2 所示三角形数阵中第 i 行第 j 个数，若amn=2017，则实数对（m，n）为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）将函数 y=f（x）的图象向下平移 个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的 4 倍（横坐标不变） ，得到函数 y=g（x ）的图象，求函数 y=g（x）在 上的最大值18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD
6、是平行四边形，ADC=45 ，AD=AC=2，O 为 AC 的中点， PO平面 ABCD 且 PO=6，M 为 BD 的中点（1）证明：AD 平面 PAC；（2）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值19 （12 分）根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米， PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度（单位：微克/ 立方米）的监测数据，数据统计如表组别 PM2.5 浓度（微克/立方米）频数（天） 频率第一组 （ 0
7、，25 3 0.15第二组 （25，50 12 0.6第三组 （50，75 3 0.15第四组 （75，100 2 0.1（1）从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/ 立方米的天数中，随机抽取 2 天，求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克 /立方米的概率；（2）将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图求图中 a 的值；求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由20 （12 分）已知椭圆 的两个焦点为 ，点A，B 在椭圆上，F 1 在线段
8、 AB 上，且ABF 2 的周长等于 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过圆 O：x 2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点 M，N，求PMN 面积的最大值21 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）在 x=e 处的切线方程；（2）若至少存在一个 x01，e使 f（x 0）g（x 0）成立，求实数 a 的取值范围；（3）设 kZ 且 f（x）（k3）xk+2 在 x1 时恒成立，求整数 k 的最大值请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑 选修 4-
9、4：参数方程与极坐标系22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 =6sin，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2）直线 l 与曲线 C 交于 B，D 两点，当|BD|取到最小值时，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|2xa|+a（1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n ）mf（n）成立，求实数 m 的取值范围2017 年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案
10、与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分） （2017岳阳一模）已知集合 A=2，0， 2，B=x |x22x30，则 AB=（ ）A0 B2 C0，2 D 2，0【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 AB 即可【解答】解：集合 A=2， 0，2，B=x|x22x30= x|1x 3，则 AB=0，2故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （5 分） （2017岳阳一模）已知复数 z 满足 zi=2i（i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象
11、限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】由 zi=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由 zi=2i，得 = ，则 ，则 在复平面内对应的点的坐标为：（1，2） ，位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分） （2017岳阳一模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）Ay=3 x By=x 2 Cy=lnx Dy=x |x|【分析】利用函数的奇偶性的定义、单调性的定义，即可得出结论【解答】解：对于 A，B，C，不是奇函数；对于 D 是，
12、f（x）= x|x|=f（x）是奇函数，f （x） = ，是增函数，故选 D【点评】本题考查函数的奇偶性的定义、单调性的定义，比较基础4 （5 分） （2017岳阳一模）已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“m”是“” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直和面面垂直的性质进行判断即可【解答】解：根据面面垂直的判定定理得若 m 则 成立，即充分性成立，若 则 m 不一定成立，即必要性不成立，故 m 是 的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和
13、平面的垂直的位置关系是解决本题的关键5 （5 分） （2017岳阳一模）一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A B C D【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积 S= = ，高 h=1，故半圆锥的体积 V= = ，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状6 （5 分） （2017岳阳一模）一程序框图如图所示，如果输出的函数值在区间1，2内，那么输入实数 x 的取值范围是（ ）A （ ，0 ） B1，
14、0 C1，+） D0，1【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来【解答】解：根据题意，得当 x2，2 时，f（x）=2 x，12 x2 ，0x1；当 x2，2时，f（x）=3，不符合，x 的取值范围是0，1故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了分段函数的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便正确解答问题，是基础题7 （5 分） （2017岳阳一模）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，则a2017=（ ）A2016 B2017 C4032 D4034【分析】 ，n2 时，a n=SnSn1，化为： ，即可得出【解答】解： ，n2
15、时，a n=SnSn1= ，化为： ， = =1，a n=n则 a2017=2017故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分） （2017岳阳一模）函数 f（x）=x a 满足 f（2）=4，那么函数 g（x）= |loga（x+1）|的图象大致为（ ）A B C D【分析】利用 f（3）=9，可得 3a=9，解得 a=2于是 g（x ）=|log 2（x+1）|=，分类讨论：当 x0 时，当1x0 时，函数 g（x）单调性质，及g（ 0）=0 即可得出【解答】解：f（2）=4 ，2 a=4，解得 a=2g （x）= |log2（x
16、+1）|=当 x0 时，函数 g（x）单调递增，且 g（0）=0；当1x0 时，函数 g（x）单调递减故选 C【点评】本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法9 （5 分） （2017岳阳一模）已知直线 将圆 C：x 2+y22x4y+4=0 平分，则直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）A8 B4 C2 D1【分析】先确定 + =1，再利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：圆 C：x 2+y22x4y+4=0 的圆心坐标为（1，2） ，则 + =12 ，ab8，直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S= 4，直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是 4，故选 B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题10 （5 分） （2017岳阳一模）已知 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（3，1） ，点 P（x，y）的坐标满足不等式组 ，若 的最大值为 7，则实数 a 的值为（ ）A 7 B1 C1 D7【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可【解答】解：不等式组 ，它的可行域如图：O 为坐标原点，点 A 的坐标为（3，1） ，点 P（x，y） ，=3xy， 的最大值为 7，
