1、2017 届湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知集合 A=2，0，2，B= x|2x22x31，则 AB=（ ）A0 B2 C0，2 D 2，02已知复数 z 满足 zi=2i（i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知 ， 表示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线，则“m”是“” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4函数 f（x）=x a 满足 f（ 2
2、）=4，那么函数 g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（ ）A B C D5若变量 x，y 满足不等式组 ，且 z=3xy 的最大值为 7，则实数 a 的值为（ ）A1 B7 C1 D 76已知函数 f（x）=sin（2x ） （0）的最小正周期为 4，则（ ）A函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称B函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称C函数 f（x）的图象在（ ，）上单调递减D函数 f（x）的图象在（ ，）上单调递增7将参加数学竞赛决赛的 500 名同学编号为：001，002，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽的号码为 003，这 500 名学
3、生分别在三个考点考试，从 001 到 200 在第一考点，从 201 到 355 在第二考点，从 356 到 500 在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（ ）A14 B15 C16 D178某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）A12 B48 C4 D32 9某一算法框图如图，输出的 S 值为（ ）A B C D010已知圆 C：（x 3） 2+（y 4） 2=1 和两点 A（ m，0） ，B（m，0） （m0） 若圆上存在点 P 使得 ，则 m 的取值范围是（ ）A （ ，4 B （6，+ ）
4、 C （4，6） D4，611在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 O，A，B，若 OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为（ ）A B C D12定义：如果函数 f（x）在a，b 上存在 x1，x 2（a x 1x 2b）满足， 则称函数 f（x ）是a，b上的“ 中值函数”已知函数 是0，m上的“中值函数”，则实数 m 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，已知，则 a= 14若二项式 的展开式中只有第 4 项的系数最大，则展开式中常
5、数项为 15矩形 OABC 的四个顶点坐标依次为，线段 OA，OC 及的图象围成的区域为 ，若矩形 OABC 内任投一点 M，则点M 落在区域内 的概率为 16定义在0，+）上的函数 f（x ）满足：当 x1，2）时，；x0，+）都有 f（2x）=2f（x） 设关于 x 的函数F（x）=f（x ）a 的零点从小到大依次为 x1，x 2，x 3，x n，若 ，则 x1+x2+x2n= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （12 分）已知数列a n前 n 项和 Sn 满足：2S n+an=1（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，数列b
6、n的前 n 项和为 Tn，求证：T n218 （12 分）根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/ 立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 20 天 PM2.5 的24 小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：组别 PM2.5 浓度（微克/立方米）频数（天） 频率第一组 （ 0，25 3 0.15第二组 （25，50 12 0.6第三组 （50，75 3 0.15第四组 （75，100 2 0.1（1）将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制
7、成的样本频率分布直方图如图求图 4 中 a 的值；求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由（2）将频率视为概率，对于 2016 年的某 3 天，记这 3 天中该居民区 PM2.5 的24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 X 的分布列和数学期望19 （12 分）如图，已知长方形 ABCD 中，AB=2 ，AD= ，M 为 DC 的中点，将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM（）求证：AD BM（）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 EAMD 的余弦值为
8、 20 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点为 F1，F 2，离心率为 ，点 A，B 在椭圆上，F 1 在线段 AB 上，且ABF 2 的周长等于 4 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过圆 O：x 2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点 M， N，求PMN 面积的最大值21 （12 分）已知函数（1）当 a=1 时，求函数 f（x）在 x=e1 处的切线方程；（2）当 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（3）若 x0，求函数 的最大值请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，
9、请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑选修 4-4：参数方程与极坐标系22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 =6sin，以极点 O 为原点，极轴为 x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2）直线 l 与曲线 C 交于 B，D 两点，当|BD|取到最小值时，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|2xa|+a（1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n ）mf（n）成立，求实数 m 的取值范围2017
10、 届湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知集合 A=2，0，2，B= x|2x22x31，则 AB=（ ）A0 B2 C0，2 D 2，0【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此利用交集性质能求出 AB【解答】解：集合 A=2，0 ，2，B=x|2x22x31=x|1x3，AB=0，2故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2已知复数 z 满足 zi=2i（i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点所在的象限是
11、（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】由 zi=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由 zi=2i，得 = ，则 ，则 在复平面内对应的点的坐标为：（1，2） ，位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3已知 ， 表示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线，则“m”是“” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直和面面垂直的性质进行判断即可【解答】
12、解：根据面面垂直的判定定理得若 m 则 成立，即充分性成立，若 则 m 不一定成立，即必要性不成立，故 m 是 的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和平面的垂直的位置关系是解决本题的关键4函数 f（x）=x a 满足 f（ 2）=4，那么函数 g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（ ）A B C D【分析】利用 f（3）=9，可得 3a=9，解得 a=2于是 g（x ）=|log 2（x+1）|=，分类讨论：当 x0 时，当1x0 时，函数 g（x）单调性质，及 g（0）=0 即可得出【解答】解：f（2）=4 ，2 a=4，解得 a=2
13、g （x）= |log2（x+1）|=当 x0 时，函数 g（x）单调递增，且 g（0）=0；当1x0 时，函数g（ x）单调递减故选 C【点评】本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法5若变量 x，y 满足不等式组 ，且 z=3xy 的最大值为 7，则实数 a 的值为（ ）A1 B7 C1 D 7【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得 z 的最值，可得 a 的方程，解方程可得【解答】解：作出不等式组 所对应可行域，如图，变形目标函数 z=3xy 可得 y=3xz，平移直线 y=3x 可知：当直线经过点 A 时，直线截距最小值，z 取最大值，由 解得
14、A（a +2，2）代值可得 3a+62=7，解得 a=1，故选：A【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题6已知函数 f（x）=sin（2x ） （0）的最小正周期为 4，则（ ）A函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称B函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称C函数 f（x）的图象在（ ，）上单调递减D函数 f（x）的图象在（ ，）上单调递增【分析】根据三角函数的周期性求出 ，结合三角函数的图象和性质进行判断即可【解答】解：函数 f（x ）的最小正周期为 4，T= =4，即 = ，则函数 f（x ）=sin（2 x ）=sin（ x ） ，则 f（ ）=sin（ ）=sin（ ）0，且 f（ ）1，则函数 f（x ）的图象关于点（ ，0）不对称，且关于直线 x= 不对称，当 x 时， x ， x ，此时函数 f（x）为增函数，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的周期的应用，根据条件求出 是解决本题的关键结合三角函数的单调性和对称性进行求解是解决本题的关键
