1、2017 届湖南益阳市高三 9 月调研数学（理）试题一、选择题1若 为纯虚数，其中 ，则 等于（ ）2(1)(zaiaR21iaA B C1 D1 或iii【答案】B【解析】试题分析：由题意 ，解得 ，20a1a2i故选 B21()iii【考点】复数的概念，复数的运算2设 ， 是两个集合，则“ ”是“ ”的（ ）ABAABA充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】C【解析】试题分析：若 ，对任意 ，则 ，又 ，则ABxABA，所以 ，充分性得证，若 ，则对任意 ，有 ，从而xBx，反之若 ，则 ，因此 ，必要性得证，因此应选Ax充分必要条件故选 C【考点
2、】充分必要条件3设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）0.317a3log.2b50.cabcA B C Dcaa【答案】D【解析】试题分析：因为 ， ， ，所以 故0.3173log.250.21cb选 D【考点】指数函数与对数函数的性质4从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点，则这两点间的距离小于 1 的概率是（ ）A B C D173476【答案】A【解析】试题分析：这 7 个点中只有中心到三边中点的距离小于 1，因此所求概率为故选 A2731P【考点】古典概型5在等差数列 中，已知 ，则 （ ）na5102a793aA12 B18 C24
3、 D30【答案】C【解析】试题分析：公差为 ，则 ，d51011423dad79113(6)8aa故选 C142324d【考点】等差数列的通项公式6已知 的二项展开式中含 项的系数为 ，则 的值是（ ）6()ax3x52aA B C D21841【答案】C【解析】试题分析： ，含 的项为 ，因此6()ax6()ax336()Cax36， 故选 C3652a1【考点】二项式定理的应用7三角函数 的振幅和最小正周期分别是（ ）()sin2)cos6fxxA ， B ， C ， D ，2323【答案】D【解析】试题分析： ()sin)cos6fxxsinco2i2632inx，振幅为 ，周期为 故选
4、 D3i()xT【考点】三角函数 的性质(sin()fAx【名师点睛】简谐运动的图象对应的函数解析式： （()sin()fxAx为常数） 其中物理意义如下： 是振幅， 为相位，0,),0x为初相，周期 ，频率为 2T12fT8一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C4 D643【答案】B【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥 ，如图，则ABCDE故选 B1()22VDC EBA【考点】三视图，体积【名师点睛】本题考查三视图，棱锥的体积，解题的关键是由三视图还原出原来的几何体，在由三视图还原出原来的几何体的直观图时，由于许多的几何体可以看作是由正方体（或长方体）切
5、割形成的，因此我们可以先画一个正方体（或长方体） ，在正方体中取点，想图，连线得出直观图，这样画出直观图后，几何体中的线面关系、线段长度明确清晰，有助于快速解题9给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的 值相等，则这样的 值yx的个数是（ ）A5 B4 C3 D2【答案】B【解析】试题分析：本题程序框图实质上是一个分段函数 ，由2,356,xy题意若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，符合题意；若2x01或 x23x3x，则 ，其中只有 符合题意，因此满足题意的有 4 个故选 B3666【考点】程序框图10已知 ， 分别是椭圆的左、右焦点，现以 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中1F2 2F心
6、并且交椭圆于点 ， ，若过 的直线 是圆 的切线，则椭圆的离心率为（ MN11M）A B C D312323【答案】A【解析】试题分析：由题意 ， ，则 ，所以12FM2Fc12Mac，解得 故选 A22()(cac3cea【考点】椭圆的几何性质11设 ， ，其中 、 、 为实数，若2(,os)(,sin)2mbm，则 的取值范围是（ ）2abmA B.-6,1 C-1,6 D4,8(,1【答案】B【解析】试题分析：由 得 ，由得2ab2cos2sinm 22cosinm， ，把 代入in12(s)22m得 ，解得 ，所以 故2494m6,1选 B【考点】向量的平行【名师点睛】在变形过程中，由
7、于认识的不同，理解思路的不同，还可以有如下解法：由 得 ，由得2ab2cos2sinm 22cosinm， ，即sini1()2，又 ，如图，点 构成的图形是线段 ，其中222(,)AB， ，而 表示线段 上的点与原点连线斜率（与 轴交点斜率3(,)4A(,)BmABm不存在除外）的倒数，所以 6112定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有(0,)2()fxf成立.则有（ ）)tanfxfxAA B3()63()2cos1()6ffAAC D2)(4ff4【答案】A【解析】试题分析：由 且 ，则()tanfxfx(0,)2，设 ，则()cos()in0fxfcosgf，所以 在 上是增函数
8、，所以()cos()ingxfxfx0()gx0,2，即 ，即 故选 A36s(cos36f3()6ff【考点】导数与单调性【名师点睛】对于已知条件是既有 又有 的不等式，一般要构造一个新函数()fx()f，使得 可通过此条件判断正负，从而确定单调性，例如我们常常构造函数()gx()x， ， ， ，要根据不等式的形ef()xfge()gxf()fxg式要确定新函数，如本题 判断出新函数单调性后，可利用此单调cosf性得出不等关系，从而得出结论二、填空题13若过点（0,2）的直线 与圆 有公共点，则直线 的倾斜角的l22()()1xyl取值范围是_.【答案】 50,)6【解析】试题分析：设直线
9、方程为 ，由 得 ，l2ykx21k3k当 时， ，当 时， 所3tank,0)5,)6tan0,3k0,6以倾斜角范围是 ,6【考点】直线与圆的位置关系，直线的倾斜角14已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是xy5021xy2zxy_.【答案】9【解析】试题分析：作出可行域，如图 内部（含边界） ，作直线 ，ABC:20lxy平移直线 ，当它过点 时， 取得最大值 9故答案为 9l(1,4)A2zxy【考点】简单的线性规划15已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的nanS523na*Nna通项公式是 _.【答案】 153()6nA【解析】试题分析： ，当 时，523nnSa2n
10、，得 ， ，11()523nSa 15a165na，即 ，又 ， ，6na1()6nn 23S4，从而 是等比数列，所以 ，1313()6n即 15()6nn【考点】数列的通项公式【名师点睛】已知数列的和 与项 的关系 ，求数列的通项公式，一nSa(,)0nfSa般再写出一个等式：当 时， ，然后两式相减得21(,nf，利用 ，可以得到数列 的递推1(,)(,)0nnfSaf1(2)nna公式，再由递推公式变形求通项公式，比较简单的这个递推公式经过简单的变形就可求出通项（如本题） ，稍微复杂的可能要象刚才一样把递推式再写一次（用 代 ）1后相减，得出简单的关系，从而得出结论16已知三棱锥 的顶
11、点都在球 的球面上， 是边长为 2 的正三角形，SABCOABC为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为_.SCO4【答案】 423【解析】试题分析：由题意 是 的中点，设 是 的中心，则 平面SMOM， ， ，由于ABC32O22236()OC是 的中点，所以 到平面 的距离为 的 2 倍，即 ，OSCSABCOM463，所以 234ABC1463SABCV【考点】棱锥与外接球，棱锥的体积【名师点睛】在多面体的外接球中，关键问题是找出球心位置这里要用到一个结论，即球的截面的性质：球的截面圆的圆心与球心连线与截面圆垂直因此三棱锥的球心 一定在过 的外心且与平面 垂直的直线上，在计算时还SOABC
12、可用到公式：设球半径为 ，截面圆半径为 ，球心到截面圆所在平面的距离为 ，Rr d则 22Rrd三、解答题17已知 是半径为 2 的圆的内接三角形，内角 ， ， 的对边分别为 、ABCABCa、 ，且 .bc2oscosabC（）求 ；（）若 ，求 的面积.18AB【答案】 （） ；（）332【解析】试题分析：（）已知边角关系，要求角，可以利用正弦定理化“边”为“角” ，再由两角和的正弦公式变形即可求得 A 角；（）有了角 A，又有外接圆半径，同样由正弦定理可求得边 ，从而由余弦定理可得 的关系式，结合已知条件a,bc可得 ，最后由面积公式 得三角形面积218bcbc1sin2S试题解析：（）
13、由正弦定理得： ， ， ，4iAB4sinC ，ososaABC ，ininics ，2c() ， ，sisinA ，sinonA ， ，0i0 ，即 ，2c11cs2 ， .3（）由 得： ，1cos2Asin2由（）得 .4i3a ， ，22osabcA22186bca .13in6ABCS【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积18某班 50 位学生在 2016 年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： , , , , , .405)6)07)8)09)10（）求图中 的值；x（）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，这 2 人中成绩在 90 分以上（含
14、90分）的人数记为 ，求 的数学期望.【答案】 （） ；（）018x【解析】试题分析：（）由频率分布直方图所有频率之和为 1，即所有小矩形面积之和为 1 可求得 ；（）经计算知不低于 80 分的学生有 12 人，90 分（含 90 分）以上的学生有 3 人，随机变量 的可能取值有 0,1,2，分别计算 的概率，0,2由期望公式 可求得数学期望0()1()2()EPP试题解析：（）由 ，得 .60.0.541x18（）由题意知道：不低于 80 分的学生有 12 人，90 分（含 90 分）以上的学生有 3人，随机变量 的可能取值有 0,1,2； ； ，9216(0)CP9132()CP231()
15、CP 691021E【考点】频率分布直方图，随机变量的数学期望19如图，在直二面角 中，四边形 是矩形，EABCABEF， ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，点 是线段2AB3FP上的一点， .P（）证明： 面 ；BFPAC（）求二面角 的余弦值.【答案】 （）证明见解析；（） 7【解析】试题分析：（）要证线面垂直，一般要证两个线线垂直，观察直角三角形中，由已知三个线段长，可由射影定理（或相似三角形）由平面几何知识可证ABF（也可余弦定理求出 ，再勾股定理证得此结论 ） ，另外有面面垂直，用PAP，可得 与平面 垂直，从而有 ，有了这两个线线垂直，90CBFBFAC就可得线面垂直；（）要求二面角，图形中 两两垂直，以它们坐标轴,建立空间直角坐标系后，可写出各点坐标，从而可求得平面 和平面 的法向PB量，由法向量夹角与二面角相等（或互补）可求得二面角试题解析：（）证明：由题意知： ， ，4FB3coscs2PFA.2cos3PAFPA , .2391平面 平面 ，平面 平面 ，BECBEFACB， 平面 ， 平面 .AA 平面 ， .F ， 平面 .PP（）由（）知 、 、 两两互相垂直，以 为原点， 方向为 轴的BCFABx
