1、2017 届湖南益阳市高三 9 月调研数学（文）试题一、选择题1已知集合 ，集合 ，则 （ ）1,34A2,45BABA B C D2,45,511,2345【答案】D【解析】试题分析：由题意 故选 D,2345【考点】集合的并集运算2函数 的最小正周期是（ ）cos(2)3yxA B C D412【答案】C【解析】试题分析： 故选 CT【考点】三角函数的周期3设 ， “ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）,abR0abiA充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】试题分析： 时，复数 为纯虚数，因此“ ”是“复数0且ababi0a为纯虚数”的必
2、要而不充分条件故选 Babi【考点】充分必要条件4某公司 20102015 年的年利润 （单位：百万元）与年广告支出 （单位：百万xy元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则A利润中位数是 16， 与 有正线性相关关系xyB利润中位数是 17， 与 有正线性相关关系C利润中位数是 17， 与 有负线性相关关系D利润中位数是 18， 与 有负线性相关关系【答案】B【解析】试题分析：6 个数中间两个为 16,18，平均数为 17，即为中位数，又 增加x时， 也跟着增加，因此是正相关故选 By【考点】样本的数字特征，线性相关关系5执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 2，则可输入的实数 值的个数
3、为（ ）A3 B2 C1 D0【答案】A【解析】试题分析：由题意 时， ， ；当 时， ，2x2logx42x21，共有三个故选 A3x【考点】程序框图6若 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ） ab|1|=2b()ababA B C D356【答案】C【解析】试题分析：由题意 ，2()12cos,0ababab， 故选 C1cos,2ab,3【考点】向量的夹角7若 ， ， ，则（ ）0.54log2l0.cA B C Dabcaabca【答案】A【解析】试题分析： 故选 A0.5421,log31,l.0b【考点】对数函数与指数函数的性质8在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如下图
4、所示，则该几何体相应的侧视图可以为（ ）【答案】D【解析】试题分析：该几何体是半个圆锥与三棱锥的组合体，侧视图应该是 D故选D【考点】三视图9已知 ， .若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）0ab3ab1abA8 B4 C1 D2【答案】B【解析】试题分析：由题意 ，所以 ，则2()ab1（当且仅当 时等号成立） ，1()2ab4abab即最小值为 4故选 B【考点】基本不等式【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把 变为 展开后，凑出了1ab1()ab基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等
5、式时一定要注意10函数 在一个周期内的图象如下，此函sin()0,)yAx数的解析式为（ ）A B2sin()3yx2sin()3yxC D【答案】A【解析】试题分析：， ， ， 故选 A522()1T2()123【考点】三角函数 的图象和性质sinfxAx11已知双曲线 ， 与抛物线 有一个公共的焦点 ，21(0yab)b28yxF且两曲线的一个交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）P|5FA2 B C D2612【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点为 ，设 ，则 ，(,0)0(,)Pxy025Fx， ，所以 ，又 ，所以 ，03x2084yx2941ab224cab1,3ab所以 故
6、选 A1cea【考点】双曲线的几何性质【名师点睛】在抛物线 中已知抛物线上的点 ，它到焦点的距离2ypx0(,)Pxy（称为焦半径）为 ，这是抛物线的定义得出的结论，在解决与焦半径有0PF关问题时要善于利用，本题利用此结论易求得双曲线民抛物线的公共点 的坐标，从P而再代入双曲线方程再结合 就易求得 2c1a12设函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如,()1)0xffxx， ， .若直线 与函数 的图象恰1.2.(0)yk()yfx有三个不同的交点，则 的取值范围是（ ）kA B C D1(,431(0,41,31,)43【答案】D【解析】试题分析：如图，作出函数 的图象和直线 ，直线()f
7、xykx过定点 ，由题意 ，解得 故选 Dykx(1,0)213k143【考点】函数与方程【名师点睛】本题考查函数与方程思想，考查方程解的个数问题，解决这类问题大多数是把它转化为函数图象交点个数问题，利用数形结合思想求解，本题中，作出函数与直线 ，特别是直线过定点 ，由此易知它们要有三个交点，()yfxykx(1,0)直线的位置变化规律，易得出结论二、填空题13体积为 27 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为_.【答案】 32【解析】试题分析：正方体棱长为 ，则 ， ， 故答a327a32r案为 32【考点】正方体与外接球14若过点（0,2）的直线 与圆 有公共点，则直线 的斜率的
8、取l22()()1xyl值范围是_.【答案】 3,【解析】试题分析：设直线 方程为 ，由l2ykx得 21k3k【考点】直线与圆的位置关系15已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是xy5021xy2zxy_.【答案】9【解析】试题分析：作出可行域，如图 内部（含边界） ，作直线 ，ABC:20lxy平移直线 ，当它过点 时， 取得最大值 9故答案为 9l(1,4)A2zxy【考点】简单的线性规划【名师点睛】图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键在于平移直线时，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域或最后离开可行域，axbyz则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取
9、得最大值还是最小值如本例中平称直线 时，向下平移 减小，向上平移 增大，因此易知2xyzzz最大值点在何处取得16在 中， 为 边上一点， ， ， ，ABCD3BCD2A135DB若 ，则 _.2【答案】 5【解析】试题分析：设 ，,2ACbBcaxC在 中有： ，AD22 2os(18035)4Dx在 中有：B，又22 22cos135ccBx，代入得 ，解得 b24()x5【考点】余弦定理【名师点睛】在本题中，已知 被分成两个三角形 ，它们公共边ABC,ABDC长度已知，相邻的解 已知，还知道的是两个三角形中另外两对边的比例，ADD要解这个三角形，可用余弦定理把两个三角形联系起来，根据已知
10、角，用余弦定理分别求出 ，再由 的关系可求得 ，接着可求得 及各个,BC, , ,角如果已知两个角，还可以用正弦定理建立关系，以便求解三、解答题1720 名同学参加某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（）求频率分布直方图中 的值；a（）分别求出成绩落在 ， 中的学生人数；50,6),70)（）从成绩在 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 中的概率.,7 60,7)【答案】 （）0.005；（）落在 中的学生人数为 2，落在 中的学生,)人数,3；（） 310【解析】试题分析：（）由直方图中所有小矩形的面积之和为 1（频率和为 1）可求得 ；（）总人数为 20，而在 上的
11、频率为 ，在 上的a50,6)20.560,7)频率为 ，由此可得人数；（）共有 5 人，可把他们编号，用列举法写3.5出任取 2 人的所有可能，共 10 个，其中 2 人的成绩都在 中的有 3 个，由概率6,7)公式可计算出概率试题解析：（）据直方图知组距为 10，由，解得 .(367)10aa1052a（）成绩落在 中的学生人数为 ，5, .2成绩落在 中的学生人数为 .0)3.513（）记成绩落在 中的 2 人为 ， ，成绩落在 中的 3 人为 、,6A260,7)1B、 ，2B3则从成绩在 的学生中选 2 人的基本事件共有 10 个：50,7)， ， ， ， ， ， ，12(,)A1(
12、1(,)AB13(,)21(,)AB2(,)23(,)AB12(,)， ， .3B23,其中 2 人的成绩都在 中的基本事件有 3 个： ， ， .60,7)12(,)13(,)23(,)故所求概率为 .1P【考点】频率分布直方图，古典概型18在等差数列 中， ， .na273829a（）求数列 的通项公式；（）设数列 是首项为 1，公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 .nbcnbnS【答案】 （） ；（）当 时， ，当32na2(31)2nS时， .1c(1)nncS【解析】试题分析：（）已知数列 是等差数列，可把已知条件都用 和公差na1a表示并解出，然后则 和 写出通项公式；（）首先
13、由等比数列通项公式写出，d1ad由此可得 ，求数列 的前 项要分组求和，把它变成一个等差数32nnbcnb列的前 项和与一个等比数列的前 项和，对等比数列来讲还要分类 和 分别1c求和试题解析：（）设等差数列 的公差是 .nad依题意由 ，得 .27138239ad1所以数列 的通项公式为 .nna（）由数列 的首项为 1，公比为 的等比数列，nbc得 ，即 ，1nac32n所以 .nb从而 21147()(1)nnScc 21(31)()2nncc当 时， ；c23nS当 时， .1(1)2nnc【考点】等差数列的通项公式，分组求和，等差数列与等比数列的前 项和公式n【名师点睛】已知等差数列
14、中的两项和，设出首项和公差，把已知用首项和公差表示出来并求出，然后可写出通项公式和前 项和公式关于 之间的运算称n1,nnadS为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识对等比数列，求前 项和时要对公比 分类，分为 和 1 两类，也应该熟记，否则易出nqq错19如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ，PABCDAB60DAB， 底面 .2AB（）证明： ；PABD（）设 ，求点 到面 的距离.2PBC【答案】 （）证明见解析；（） .3【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，一般用到线面垂直的性质定理，即先要证线面垂直，首先由已知 底面 .知 ，因此要证 平面ADBD，从
15、而只要证 ，这在 中可证；（）要求点到平面的距离，PADBD可过点作平面的垂线，由（）的证明，可得 平面 ，从而有 平面PC，因此平面 平面 ，因此只要过 作 于 ，则 就是BPCEE的要作的垂线，线段 的长就是所要求的距离E试题解析：（）证明：因为 ， ，60A2BA由余弦定理得 .3D从而 ， ，22BABD又由 底面 ， 面 ，可得 .PCCPD所以 平面 .故 .P（）解：作 ，垂足为 .EE已知 底面 ，则 ，由（）知 ，又 ，所以 .D/AB故 平面 ， .BB则 平面 .PC由题设知， ，则 ， ，2PD3B4P根据 ，得 ，EAE即点 到面 的距离为 .C【考点】线面垂直的判定
16、与性质点到平面的距离20已知椭圆 的离心率 ，点 在椭圆上， 、21(0)xyab12e(0,3)PA分别为椭圆的左右顶点，过点 作 轴交 的延长线于点 ， 为椭圆的BBDxADF右焦点.（）求椭圆的方程及直线 被椭圆截得的弦长 ；PF|M（）求证：以 为直径的圆与直线 相切.D【答案】 （） ， ；（）证明见解析2143xy6|5【解析】试题分析：（）要求椭圆标准方程，要有两个独立的条件，本题中离心率是一个，又一个顶点说明 ，这样易求得 ，得椭圆方程，而求椭圆中12e3b,ab的弦长，首先写出直线 方程 ，代入椭圆方程得 的一元二次方程，PF(1)yxx可解得 ，由弦长公式 可得弦长 ；（）要证此结论，12,x2dkPM只要证 的中点到直线 的距离等线段 长的一半即可，为此求出 方程，求BDBDAP得 点坐标，得 中点坐标，及圆半径，求圆心到直线的距离试题解析：（）椭圆过点 ，(0,3)P ，又 ，即 ， .3b12eca22bc故 ，ac椭圆方程为 .2143xy则 ， ，直线 的方程为 ，(1,0)F(,)PF3(1)yx与椭圆方程联立有 .2143()xy消去 得到 ，解得 .y2580x12085x
