1、2017 届海南省海口市高三 4 月调研测试数学（理）试题一、选择题1 若集合 ， ，则 等于（ ）|14Mx 2|70Nx MNA. B. C. D. |4x | |4x |04x【答案】C【解析】 ， .选 C.|07Nx |02 复数 满足 （ 是虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于z31ii z（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ，则它在复平面内对应的点为112iiz ii，位于第二象限. 选 B.12，3 “ ”是“ ”的（ ）x2logxA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条条
2、【答案】A【解析】若 ，则 ，从而 ;2x242logx若 ，则 ，解得 或 .2log所以，前者是后者的充分分不必要条件. 选 A.4 在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）5x3xA. B. C. D. 208016【答案】D【解析】 ，令 ，得含 的项的系数为 选514rrTcx23x254160,C.5 执行如图所示的程序框图，输出 值为（ ）SA. B. C. D. 3157319【答案】D【解析】 ， ； ， ； ， . 选 .is2i7S3i91SD6 设函数 ，在区间 随机取一个实数 ，则,01xeflne 0e， x的值不小于常数 的概率是（ ）fxA. B. C. D. 1
3、ee11e【答案】B【解析】当 时， ，当 时， ，即0x1xf xeln0x，所以 的值不小于常数 的概率是 . 选 .fefe1B7 已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线M340xy3410xy上，则圆 的方程为（ ）4yxA. B. C. 2231y22xy2231xyD. x【答案】C【解析】到两直线 及 的距离都相等的直线方程为340xy3410xy，联立方程组 ，解得 .两平行线之间的距3450xy531xy离为 ，所以，半径为 ，从而圆 的方程为 . 选 .21M22C8 在各项均为正数的等比数列 中，若 ,数列na21maN的前 项积为 ，且 ，则 的值为（ ）namT218
4、A. B. C. D. 3456【答案】D【解析】因为 ，所以 ，即 .21mma21ma1=2ma又 ，由 ，得 . 选 .121T 83D9 已知函数 的周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移2sin0fx 2x个单位 ，所得图象关于原点对称，则实数 的最小值为（ ）a0 aA. B. C. D. 4328【答案】D【解析】 ， ，解得 ，从而1cos1cos2xfxx=2.42f函数 向右平移 个单位后，得到新函数为 .xa1cos4gxxa， ， ，当 时， 的最小傎为 . 选 .cos0a+kZ0ka8D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题
5、目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而x言. 函数 是奇函数 ；函数sinyAxRkZ是偶函数 ；函数sinyAxR+2kZ是奇函数 ；函数co是偶函数 .syxk10 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 16324803263【答案】C【解析】该几何体的直观图如图所示，它是一底面是菱形的直四棱柱，在左上角切去一个三棱锥后形成的几何体.所以. 选 .21138034342VC11 体积为 的球有一个内接正三棱锥 ， 是球的直径， 32PABCPQ,则三棱锥 的体积为（ ）60APQPABCA. B. C. D. 349
6、34273【答案】B【解析】由题意可得球 的半径为 ，如图，因为 是球的直径，所以OPQ， 可得 , 所在小圆圆心为 ,可由射影90PAQ60P2ABCO定理 ,所以 ， ,因为 为 的中心，所以213AB可求出 的边长为 ，面积为 ，因此，三棱锥 的体积为BCA394P. 选 .1934点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且,PABC,PABC，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体
7、，利用,PAaBbCc求解224R12 设正数 ， 满足程 ，若不等式xy13logl1,xym有解，则实数 的取值范围是（ ）2223183ayaxaA. B. C. D. 59， 1， ， 529，【答案】C【解析】由 ，得 ，又13logl1,xym1,3yx，整理得 ， 22238axyax22min6ya，令 ， 222161633yxyx13tx，所以 ，易知函数21tf263tft在 上递增，在 上递减.因为 ， 263tf， 1， 312f， ，所以 .1529f1 32a选 .C点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等
8、式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.二、填空题13 已知单位向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角为ab123abab_【答案】 （或 ） 603【解析】由题可得 ， ，故向量 与 的夹角为11,cos,22abab ab（或写成 ）.60314 设不等式 ，表示的平面区域为 ,若直线 上存1029xyM2ykx在 内的点，则实数 的最大值是_Mk【答案】 【解析】可行域为如图所示的五边形 及其内部，联立方程组ABCDE，解
9、得 ，即 ,当直线 过点 时，301xy12xy22ykx1,2B.m2axk点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15 过双曲线 的右焦点且垂于 轴的直线与双曲线交于210xyabb ， x, 两点，与双曲线的渐近线交于 , 两点，若 ,则双曲线离ABCD513ABCD心率的取值范围为_【答案】 132，【解析】易知 ，因为渐近线 ，所以 ，由2bABabyxc2bcCDa化简得 ，即 ，所以 ，从而25
10、13bca513bc225169bc225169ac，2694解得 .13ca点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于,b,abcb,ac的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.ac16 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则满足 的正nmS897S 10mS整数 的值为_n【答案】 16【解析】 ，得 ， ， ， .897S 890 970 9a 98a， .1602a 179Sa满足 的正整数 的值为 .1nS n6三、解答题17 在锐角 中,设角 ， , 所对边分别为 ，
11、, ， ABCBCabc.sinco4sinco0b（1）求证： ;tat（2）若 , ， ，求 的值.315bc【答案】 （1）详见解析（2） c【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系统一为角的关系： ，再根据同角三角函数商数关系将弦转化为切，即sincos4insoBCAB得 .（2）由两角和正切公式及 ，解出 ， tat tan4tBA3tan4，根据三角形内角范围及同角三角函数关系可得角 ， 为锐角，且正余3 B弦值，利用 ,解出角 C 的余弦值，再根据余弦定理求 的值.cosc试题解析：（1）证明： ， sincosino0b，in4insbCAB由正弦定理，得 即 ，co
12、4inscoAB4A，即 .scosBtat（2）解： , .tn3at31由（1）得 ， ，25tan34A4cos5A为锐角， , .At，即 ，或 .2205cc3由 ,知 为锐角，所以 舍去，从而 .tan4tB 5c18 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从 6 个招标问题中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个招标问题中，甲公司可正确回答其中的 4 道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独23立，互不影响的
13、（）求甲、乙两家公司共答对 2 道题目的概率；（）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【答案】 （1） （2）甲公司竞标成功的可能性更大.5【解析】试题分析：（1）分两种情况求概率：甲答对 道题、乙答对 道题；20甲答对 道题、乙答对 道题；其中甲答对 道题概率为 , 乙答对 道题1i436iCi概率为 ，最后根据概率乘法公式与加法公式求概率， （2）分别求23iiiC甲、乙公司正确完成面试的题数期望和方差，期望较大、方差较小的公司竞标成功的可能性更大.先确定随机变量可能取法，求出对应概率(甲答对 道题概i率为 , 乙答对 道题概率为 )，利用期望公式及方差公24
14、36iCi 231iiiC式求期望与方差.试题解析：（1）由题意可知，所求概率.1232 14 4336 6215PC(2)设甲公司正确完成面试的题数为 ,则 的取值分别为 ， ， .X23, ， .124365CX21436P046135CPX则 的分布列为： 12P5351513122EX.222131555DX设乙公司正确完成面试的题为 ,则 取值分别为 ， ， ， .Y023, ,027PY2139PC, 23493827Y则 的分布列为：Y013P1272949827.（或 ,4801327EY3YB）23.( 2224801379973D)=3Y由 , 可得，甲公司竞标成功的可能性
15、更大.EXXDY19 如图所示，在四棱锥 中，底要 为平行四边形， PABCABD，30DBA, , 底面 , 为 上一点，且 .2EPC12EC（1）证明： ;PBD（2）求二面角 余弦值.CE【答案】 （1）详见解析（2） 150【解析】试题分析：（1）由 底面 ,得 ，再利用余弦定理计PDABCDP算 AD，根据勾股定理得 ，利用线面垂直判定定理可得 ，最后BBAD面根据线面垂直性质定理得 ;（2）利用空间向量数量积求二面角的余弦值，先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定所求值.试题解析：（
16、1）证明：在 中, .ABC22cosDABDBA不妨设 ,则由已知 ,得 ,2AB33所以 ，所以 ,212D22所以 ，即 ,又 底面 ,所以90ABADPABCDP所以 .,PBDA面面面(2)解：由（1）知 , ,以 为原点，如图所示建立空间直角APD坐标系 ，设 ,xyz1于是 ， , , ,0,03B,30C1P因为 为 上一点，且 ,所以 ，所以EPC2E3,132,所以 , ，设平面 的法向量 ，,DE0,3DBDEB11,nxyz则 ，令 ，则11320xyz1z12,0n又 , ,设平面 的法向量BC3,BECBE22,nxyz，令 ，则 ，22013xyz21y20,13n设二面角 的大小为 ，由图可知 ，则CBED .123150ncos
