1、2016 年一模数学试题（文科）一、选择题1.已知集合 20,AxxR， 14,BxxZ，则 BA=（ ） A.(0,2) B., C. ,2 D. 01,22.设 i 是虚数单位，复数 （aR）的实部与虚部相等，则 a=（ ）A1 B0 C1 D23.若 ,xy满足241，则 2zyx的最大值为（ ）A-5 B1 C2 D3 4.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S9=54，则 a2+a4+a9=（ ）A.9 B.15 C.18 D.365.如图，ABCD 为矩形，C、D 两点在函数 1,0-2xf的图象上，点 A、B 在 x轴上，且 (1,0)B，若在矩形 ABCD 内随机取一点
2、， 则此点取自阴影部分的概率等于（ ）A 16 B 4 C 38 D 12 6.右图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 ,abi的值分别为 8，10， 0，则输出a和 i的值分别为（ ）A.2,4 B.2,5 C. ,4 D. ,57.已知 a=log35，b=log 3，c=5 0.5，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bacb Cbac D bca8.为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为 11.75，则 的最小值为（ ）A9 B
3、 92C3 D 739.函数 f（x）=sin（x+）（xR）（0，| ）的部分图象如图所示，如果，且 f（x 1）=f（x 2），则 f（x 1+x2）=（ ）A B C D110.将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示， AB， ， 分别是 GHI 三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）11.已知双曲线21xyab（a0，b0）的右焦点为 F（c，0） ，过 F 且垂直于 x 轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为 A，B，若 A 为 BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D312. 已知数列a n满足：a
4、 1=2， 11nna，记 bn= 1a，则数列b n的前 n 项和Sn=DA 12 B 2 C 2 D 2二、填空题13.已知向量 =（1，2）， =10，| + |= ，则| |= .图 1 图 2A B C D14.已知点 P 是抛物线 y2 8x 上一动点，设点 P 到此抛物线准线的距离为 1d，到直线x+y120 的距离为 2d，则 12的最小值是 . 15.已知矩形 ABCD的周长为 18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 . 16.函数 图象上关于坐标原点 O 对称的点有 n 对，则 n= . 三、解答题17.（本小题满分12分）在ABC 中，
5、角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 cos 2A3cos(BC)=1.(I)求角 A 的大小；(II)若AB=3，AC边上的中线BD的长为 13，求ABC的面积.18.（本小题满分12分）已知在四棱锥 ABCDP中， ABAD，ABCD，CD2AB2，平面 SAD平面 ABCD，0 是线段 AD 的中点，AD2 ，SEAD.3(1)证明：平面 SBE平面 SEC；(2)若 OP=1，求三棱锥 P-OCD 的高19.（本小题满分12分）某市公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如下表 （不考虑公交卡折扣情况）乘坐公共电汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐
6、5公里（含）.乘坐地铁方案6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.ABCDO已知在地铁一号线上，任意一站到市中心站的票价不超过5元，现从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（I）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（II）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中分层抽样所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求
7、这2人的票价和恰好为8元的概率；（）小李乘坐地铁从A地到市中心站的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围(只需写出结论)20 （本小题满分12分）已知椭圆 12byax (ab0)的一个焦点与抛物线 243yx的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形（）求椭圆 C的方程；（）若过点 A作圆 22:ryxM10的两条切线分别与椭圆 C相交于点 ,BD(不同于点 ).当 r变化时,试问直线 BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=
8、（x 36x2+3x+t）e x，t R（）当t=1时，求函数f （x）在点（0，f （0） ）处的切线方程；（）若函数y=f（x）只有一个极值点，求t的取值范围；（）若存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式f（x） x恒成立，求正整数m的最大值22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1cosinxrCy： （ 为参数）,（0 4）.曲线 2C： 2cosiny （ 为参数） ，以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极O 票价(元)3 4 5104050人数302060yDBMOAx坐标系，射线 (0)2与曲线 1C交于 ,NO两点，与曲线 2C交于 ,PO
9、两点，且 |N最大值为 2.（）将曲线 1C与曲线 2化成极坐标方程，并求 r的值；（）射线 4与曲线 1交于 ,OQ两点，与曲线 2C交于 ,OM两点，求四边形 NPQ面积的最大值23. （本小题满分 10 分）设函数 f（x）=|xa|，a0（）若 -2 求不等式 2fxf 的解集；（）若不等式 f（x）+f（2x） 的解集非空，求 a 的取值范围2016 年一模数学试题答案（文科）一、选择题DBDCB BCCCA AD二、填空题13. 5 14. 72 15.9 16. 4三、解答题17.（本小题满分12分）解：(I)由 cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即
10、 (2cos A1)(cos A2) 0.解得 cos A 或 cos A 2(舍去)12因为 0A，所以 A 3(II)在 BD中， ， 1BD， 3A，利用余弦定理， 22cosBD，解得 4A，又D 是 AC的中点， 8，36sin21BSB 18.（本小题满分12分）（）证明： PA=PB， O为 AB的中点， ABPO.CD平面 P, 平面 PC， CD. 又 AB 与 CD 是相交直线， 底面 D.又 O平面 PAB， 平面 面 .（）19.（本小题满分12分）解：（）记事件A为“ 此人乘坐地铁的票价小于5元”， 1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为 6
11、0， 4， 2（人） 所以票价小于5元的有 6041（人） 2分故120人中票价小于5元的频率是526 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6PA 4分（）记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， 5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为 0:423:1，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人） 6分记票价为3元的同学为 ,abc，票价为4元的同学为 ,de，票价为5元的同学为 f，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),cab， (,),(,),(,),(,),(,),(,)defcfdefebbccd,ff
12、de. 8分其中事件 B的结果有4种，它们是： ,fffeac 9分所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15PB 10分（） (0,2s 12分 20 （本小题满分12分）解：（）由已知可得 3,12,cba所求椭圆的方程为214xy. （）21.（本小题满分12分）解：（）函数f（x）=（x 36x2+3x+t）e x，则f（x ）=（x 33x29x+3+t）e x，函数f（ x）在点（0，f （0） ）处的切线斜率为f（0）=3+t，由题意可得，t=1时， （0， f（0） ）处的切线方程为 4xy+1=0. （） f（x）=（x 33x29x+3+t）e x，令g（x）=x 33
13、x29x+3+t，g（x）=3x 26x9=3（x 22x3）=3（x+1 ） （x 3）令g（x）=0 得 x=1或3 g（x）在区间（，1） ， （3，+）递增，在区间（1，3）递减，函数y=f（x）只有一个极值点，问题等价于g(-1)0或g(3)0 ，解得t8或t24. （）不等式f（x）x，即（x 36x2+3x+t）e xx，即txe xx3+6x23x转化为存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式txe xx3+6x23x恒成立即不等式0xe xx3+6x23x在x1，m上恒成立即不等式0e xx2+6x3在x1，m上恒成立设（x ）=e xx2+6x3，则（x）=e x2x+
14、6设r（x ）= （x）= ex2x+6，则r （x）=e x2.因为1xm，有r （x）0，故r（x）在区间1，m上是减函数又r（1 ）=4e 10，r （2）=2e 20，r（3）= e3 0故存在x 0（2，3） ，使得r（x 0）=（x 0）=0当1xx 0时，有 （x） 0，当xx 0时，有（x）0从而y=（x）在区间1，x 0上递增，在区间x 0，+）上递减又（1 ）=e 1+40，（ 2）=e 2+50，（3）=e 3+60，（4）=e 4+50，（5） =e5+20，（6） =e630所以当1x5时，恒有（ x）0；当x6时，恒有 （x）0.故使命题成立的正整数m的最大值为52
15、2 （本小题满分 10 分）（） 1:42sin()C， 2:Crmax| |4PN= ， 2 ， 2:C4 分（） 11sinsin244OPQMNSSPOQMN四 边 形1 2242sin()4si()2当 8时，面积的最大值为 42 23.（本小题满分 10 分）解：（） 23x或 5 分（）解：f（x）+f（2x）=|xa|+|2xa|，a0当 xa 时，f（x）=ax+a2x=2a3x，则 f（x）a；当 ax 时，f（x）=xa+a2x=x，则 f（x）a；当 x 时，f（x）=xa+2xa=3x2a，则 f（x） 则 f（x）的值域为 ，+） ，不等式 f（x）+f（2x） 的解集非空，即为 ，解得，a1，由于 a0，则 a 的取值范围是（1，0） 10 分
