1、 数学试卷（理科）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，集合 中至少有 3 个元素，则（ ）21logAxNkAA B C D8k81616k2.若 ，则 等于（ ）1zizA1 B C D32223.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）A5 B6 C4 D3 4
2、.已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）2:10xyabb， 52CA B C. D14y3x1yxyx5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A4 B9 C.7 D56.已知函数 的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）cos0fxAxA函数 的最小正周期为 fx23B函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到 fcosgxAx12C.函数 的图象关于直线 对称 fx12D函数 在区间 上单调递增 4，7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数 有以下四个命题：1 0xf， 为 有 理 数， 为 无 理 数 fx ；f
3、函数 是偶函数；fx任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立；TfxfxR存在三个点 ，使得 为等边三角形. 123 AxfBCf， ， ， ， ， ABC其中真命题的个数是（ ）A4 B3 C.2 D18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A10 B20 C.40 D609.已知 、 是椭圆 长轴的两个端点， 、 是椭圆上关于 轴对210xyabMNx称的两点，直线 、 的斜率分别为 ，若椭圆的离心率为 ，则AMN121 0k， 32的最小值为（ ）12kA1 B C. D232310.在棱长为 6 的正方体 中， 是 的中点，点 是面 所在的1ACDBMBCP1DC平面内的动
4、点，且满足 ，则三棱锥 的体积最大值是（ ）PPA36 B C. D1232418311.已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ 3ln0 xfx， ， fxaa）A B C. D203， 04， 01， 30 2，12.已知过抛物线 焦点 的直线 与抛物线 交于 、 两点（ 在2:GypxFlGMN轴上方） ，满足 ， ，则以 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准x3MFN163M方程为（ ）A B 2213163xy 221316xyC. D22 223第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若 、 满足约束条件 ，则 的最大
5、值为 xy104xy1yx14.在 中， ，若 为 外接圆的圆心（即满足 ） ，ABC 3 5AC， OABC OABC则 的值为 O15.已知数列 的各项均为正数， ，若数列 的前na11142 nnaa， 1na项和为 5，则 n16.过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线在第一象限的交点为 ，与抛物线20ypxFl A的准线的的交点为 ，点 在抛物线的准线上的射影为 ，若 ，BAC 48FBC，则抛物线的方程为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 ，已知 .ABC B
6、C abc， ， 4 6 2bcCB， ，（1）求 的值；cos（2）求 的面积.18. （本小题满分 12 分）如图所示，在三棱柱 中， 为正方形， 为菱形，1ABC1AB1BC，平面 平面 .160BCC（1）求证： ；11BCA（2）设点 、 分别是 ， 的中点，试判断直线 与平面 的位置关系，并说EF1 EFABC明理由；（3）求二面角 的余弦值.1BAC19. （本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知 是椭圆 上的一点，从原点xOy0 Rxy， 2:14xyC向圆 作两条切线，分别交椭圆于 ， .O2200: 8RxPQ（1）若 点在第一象限，且直线 ， 互相垂直，求
7、圆 的方程；ROPQR（2）若直线 ， 的斜率存在，并记为 ，求 的值；OPQ12 k， 12 k，（3）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.2220.（本小题满分 12 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，过 与 垂2:10xyCab1F2A2F直的直线交 轴负半轴于 点，且 .Q120FQ（1）求椭圆 的离心率；（2）若过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程；A2F3xyC（3）过 的直线 与（2）中椭圆交于不同的两点 、 ，则 的内切圆的面积是2l MN1F否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21.（本小
8、题满分 12 分）已知 ，设函数 .0t3213tfxxt（1）存在 ，使得 是 在 上的最大值，求 的取值范围；0 2x， 0ff0 ， t（2） 对任意 恒成立时， 的最大值为 1，求 的取值范围.fem )x， mt请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线 （ 为参数）和定点 ， 、 是此圆锥曲线的左、2cos:3inxCy0 3A， 1F2右焦点，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.Ox（1）求直线 的直角坐标方程；2AF（2）经过点 且与直线 垂直的直线 交此圆锥曲
9、线于 、 两点，求 的12lMN12FN值.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设 .34fxx（1）解不等式 ；2f（2）若存在实数 满足 ，试求实数 的取值范围.x1faxa2016-2017 学年度高三上学期四调考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC二、填空题13.2 14.8 15.120 16. 24yx三、解答题17.【答案】 （1） ；（2） .341574试题解析：（1）在 中， ，因为 ，所以ABC sinibcC4 6 2bcCB， ，即46sini2B，又 ， .iicosi03cos4B（2）由
10、（1）知 ，从而 .34B7in因此 ， .所以sini2sic8C 21coscos8CB，7375iiininin46AB所以 的面积为 .B 1571462418.证明：（1）连接 ，在正方形 中， ，1C1A1B平面 ，因为 平面 ，所以 .1BC1A1C1AB11CA（2） 平面 ，理由如下：EF B取 的中点 ，连接 、 ，因为 是 的中点，所以 ，且 ，GEE1 1GEB 12B因为 是的中点，所以 .1A12AF在正方形 中， ，所以 ，且 .1B1 BA ， GEAF 四边形 为平行四边形，所以 .GEEF因为 ， ，FAC平 面 C平 面所以 .B 平 面（3）在平面 内过
11、点 作 ，1 1Bz由（1）可知： ，以点 为坐标原点，分别以 、 所在的直线为 、1ABC平 面 BBA1x轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 .y xyz2 0， ， 0 2， ，在菱形 中， ，所以 ， .1C1600 1 3， ， 1 3C， ，设平面 的一个法向量为 .A xyn， ，因为 即 ，10nC 12 300xy， ， ， ， ， ， ，所以 即 ，320xy 1n， ，由（1）可知： 是平面 的一个法向量.1CB1A所以 ，113 01 327cos 94nCB ， ， ， ，所以二面角 的余弦值为 .1A719.【答案】 （1） ；（2） ；（3）36.28x
12、y1试题解析：（1）由圆 的方程知圆 的半径 ，因为直线 ， 互相垂直，且RrOPQ和圆 相切，所以 ，即 R24Or2016xy又点 在椭圆 上，所以 C01xy联立，解得 ，所以，所求圆 的方程为 02yR228xy（2）因为直线 和 都与圆 相切，所以 ，1:OPkx2:Qykx102k，化简得 ，因为点 在椭圆 上，所以2021kxy0128x 0Rxy， C，即204，所以 22001yx2012418xk（3）方法一（1）当直线 、 不落在坐标轴上时，设 ， ，OPQ1 Pxy， 2 Qxy，由（2）知 ，所以 ，故 ，因为 ， ，120k12yx22114y1 ， 2 ，在椭圆
13、上，所以 ， ，C214x24即 ， ，所以 ，2211y2y222114xx整理得 ，所以 ，2x1 2y所以 .22211136OPQxxy方法（二） （1）当直线 ， 不落在坐标轴上时，设 ， ，OPQ1 Pxy， 2 Qxy，联立 ，解得 ，所以 .214ykx 22211144 kxyk， 21214kxy同理，得 ，由（2） ，得 .24xyk12012k所以 122221 24kOPQxyk.22 211 1214367kkk（2）当直线 、 落在坐标轴上时，显然有 .OPQ236OPQ综上： .23620.试题解析：（1）由题 ， 为 的中点.设 ，则0 Ab， 1F212 0
14、 Fcc， ， ，3 0Qc， ，由题 ，即 ， Ab， 2 Fcb， 2AQ230Acb 即 ， .2230ca24a1cea（2）由题 外接圆圆心为斜边 的中点 ，半径 ，2RtQA 2F1 0c， 2rc由题 外接圆与直线 相切， ，即 ，即tF 30xydr3，34c ， ， ，故所求的椭圆 的方程为 .12acbC2143xy（3）设 ， ，由题 异号，1 Mxy， 2 Nxy， 12 y，设 的内切圆的半径为 ，则 的周长为 ，F RFMN 8a，1 1142MNS因此要使 内切圆的面积最大，只需 最大，此时 也最大， 1FMNS，112212FMNSyy由题知，直线 的斜率不为零
15、，可设直线 的方程为 ，l l1xmy由 得 ，2143xmy24690ym由韦达定理得 ， ， （ ）123y12340mR，122211214FMNSy令 ，则 ， ，tmt123FMNtSt当 时， 有最大值 3，此时， ， ，1t14FMNSR 0max34R故 的内切圆的面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 .1 916l121.解析：（1） ，2313fxtxtxt当 时， 在 上单调递增，在 单调递减，在 单调递增，0tf0 t， 1t， 1 2， ，由 ，得 在 时无解，2ft2ft324t0t当 时，不合题意；1当 时， 在 单调递增，在 递减，在 单调递增，tfx0 1， 1 t， 2t， 即 ， ，12ft32t52t当 时， 在 单调递增，在 单调递减，满足条件，fx0 1， 1 ，综上所述： 时，存在 ，使得 是 在 上的最大值.5 )3t， 0 2x， 0fxf0 2，（2） 对任意 恒成立，321xxtem )，即 对任意 恒成322313x xtmet xt0 )x，立，令， ，根据题意，可以知道 的最大值为 1，则231xtgext0 )， m
