1、2011 中考冲刺数学专题 8新概念型问题【备考点睛】新概念型是近几年中考的热点问题，试题的特点在学生已学数学知识的基础上，对旧知识进行重新包装，给出一个“新概念” ，然后要求学生学习和运用这个“新概念”来解决相应的数学问题，这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用面对一个新概念，阅读时至关重要的是用自己的语言来理解它，并把它与熟悉的相关数学知识相挂靠，把一个全新的问题化为熟悉的问题去处理这类试题能很好地考查学生的数学阅读理解能力、数学抽象概括能力和对“新概念” 的实际应用能力。【经典例题】例题 1。 定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离
2、也相等的点叫凸四边形的准内点如图 1，PH=PJ，PI=PG，则点 P 就是四边形 ABCD 的准内点（1）如图 2， 与 的角平分线 相交于点 求证：点 是四边形AFDEC,FPEP的准内点ABCD（2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点 （作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点 （ ）任意凸四边形一定只有一个准内点 （ ）若 是任意凸四边形 的准内点，则 PA+PB=PC+PD 或 PA+PC=PB+PD( )PABCD解答：解析：在理解新新概念准内点的同时，结合已学角的平分线的性质与判定角平分
3、线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。当两组对边不平行时，如图 1 中的点 P 是直线 AD 与 BC 的夹角平分线、直线 AB 与 DC 的夹角平分线的交点，当两组对边平行时利用全等三角形等方法构造。详解：（1）如图 2，过点 作，AJCIBPHAG, 平分 ， ED图 2FEDCBAPGHJI图 1BJIHG DCAP图 3 图 4同理 PIG 是四边形 的准内点ABCD（2）平行四边形对角线 AC、BD 的交点 就是准内点，如图 3（ 1）.或者取平行四边形两对1P边中点连线的交点 就是准内点，如图 3（2） ；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交1P
4、点 就是准内点如图 4.2（3）真；真；假例题 2。 （2010 湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环” ，易知方形环四周的宽度相等.一条直线 l 与方形环的边线有四个交点 、 、 、 小明在探究线段MN与 的数量关系时，从点 、 向对边作垂线段 、 ，利用三角形MN EF全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题请你参考小明的思路解答下列问题：当直线 l 与方形环的对边相交时（如图 1） ，直线 l 分别交 、 、 、ADCB于 、 、 、 ，小明发现 与 相等，请你帮他说明理由；BC 当直线 l 与方形环的邻边相交时（如图 2） ， l 分别交 、
5、、 、 于、 、 、 ， l 与 的夹角为 ，你认为 与 还相等吗？若相等，说DCN明理由；若不相等，求出 的值（用含 的三角函数表示）.NM解答：解: 在方形环中， ADBCFNEM, NFMEN,90 解法一： FEF, N M E图3（1）图4图3（2）DCBAAB CDGDCBAFEE GHF 12CDBEMAFl(AFl12 （或 ）tanNFMcosi当 时，tan =1,则45NM当 时，则 （或 ） tancosi解法二：在方形环中， 90D又 CDFNAEM, E 在 与 中，RttNcos,sinNMEFita即 （或 ） tanMcosi当 时，45当 时，则 （或 ）
6、tanNcosi例题 3。 阅读材料：如图 1-1，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”( a)，中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高( h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积ahSABC21等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图 1-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA， PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求 CAB
7、的铅垂高 CD 及 ；CABS(3)是否存在一点 P，使 S PAB= S CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.89解答：解析：（1）材料中给出了一个基本图形和计算三角形面积的新方法，在解决问题中一定要运用新方法，切不可只用教材中的计算方法，否则问题就很难求解。 （2）理解材料是解决问题的关键，在运用公式时注意结合图形理解水平宽与铅垂高的含义，能指出CAB的铅垂高为 CD 与水平宽为 OA，PAB 的水平宽仍为 OA，铅垂高为点 P 的纵坐标与点 B 的纵坐标的差。详解：(1)设抛物线的解析式为： ，把 A（3,0）代入解析式求得4)1(2xay 1a所以 324)1(2
8、1xxy设直线 AB 的解析式为： bk由 求得 B 点的坐标为 321),0(把 ， 代入 中)0,(A,xy2解得： bk所以 2(2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y14，y22所以 CD4-22(平方单位)31CABS(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则由 SPAB= SCAB 得：xxyh 3)(221 89389)(3212x化简得： 解得 ，0914将 代入 中，32解得 P 点坐标为 。)5,(点评：在坐标系中求几何量，注意点的横、纵坐标与线段长度的关联。例题 4。 （2010 浙江台州）类比学习：一动点沿着数轴向右平移
9、 3 个单位，再向左平移2 个单位，相当于向右平移 1 个单位用实数加法表示为 3+（ ）=12若坐标平面上的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为 a（向右为正，向左为负，平移 个单位） ，沿 y 轴方向平移的数量为 b（向上为正，向下为负，平移 个a b单位） ，则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量” ； “平移量”a，b与“平移量”c，d 的加法运算法则为 dcadcba，4=1+3 9=3+6 16=6+10解决问题：（1）计算：3，1+1 ，2；1 ，2+3，1 （2）动点 P 从坐标原点 O 出发，先按照“平移量”3 ，1平移到 A，再按照“平移量”1，2 平移到 B；若先把
10、动点 P 按照“平移量”1，2 平移到 C，再按照“平移量”3，1 平移，最后的位置还是点 B 吗? 在图 1 中画出四边形 OABC.证明四边形 OABC 是平行四边形.（3）如图 2，一艘船从码头 O 出发，先航行到湖心岛码头 P（2，3） ，再从码头 P 航行到码头 Q（5，5） ，最后回到出发点 O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程解答：（1）3，1+1，2=4 ，3 1，2+3，1=4，3（2）画图分最后的位置仍是 B 证明：由知，A（3，1 ） ，B(4，3) ，C （1，2）OC=AB= = ，OA=BC= = ，2530四边形 OABC 是平行四边形（3）2，3+3，2
11、+-5，-5=0, 0例题 5。古 希 腊 著 名 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 把 1、 3、 6、 10 这 样 的 数 称 为 “三 角 形 数 ”而 把1、 4、 9、16 这样的数称为“正方形数” 从图 7 中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是（ ）yO 图 2Q（5, 5）P（2, 3）yO图 111xxyO 11xABCA13 = 3+10 B 25 = 9+16 C36 = 15+21 D49 = 18+31解答：解析：首先要通过图形理解“三角形数”和“正方形数”的概念，进而可以根据两个概念进行排除，像 A
12、 中的 13 就不是“正方形数” ，B、D 中的 9、16、18、31 都不是“三角形数” ，只有 C 符合条件。答案：C点评：对于找规律的题目主要是找出按照什么规律变化的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力和发散思维的能力.例题 6。 （2010 浙江绍兴）在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,一 次 函 数 的 图 象 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 ,叫 做 此 一 次 函 数 的 坐 标 三 角 形 .例 如 ， 图 中 的 一 次 函 数 的 图 象 与 x,y 轴 分 别 交 于 点 A,B,则 OAB 为 此 函 数 的 坐 标 三 角 形 .（1）求函数 y x3 的
13、坐标三角形的三条边长； 4（2）若函数 y xb（b 为常数）的坐标三角形周长为 16, 求此三角形面积.解答：(1) 直线 y x3 与 x 轴的交点坐标为（4, 0） ，与 y 轴交点坐标为（0,3） ， 函数 y x3 的坐标三角形的三条边长分别为 3,4,5. (2) 直线 y xb 与 x 轴的交点坐标为 （ ,0） ，与 y 轴交点坐标为（0,b） ， 4当 b0 时, ，得 b =4，此时,坐标三角形面积为 ； 1635 32当 b 0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 ； 2 当 m 时，y 随 x 的增大而减小；41 当 m 0 时，函数图象经过同一个点 .其中正确的
14、结论有A. B. C. D. 10 （2010 山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲） 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行11阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数 的图象为直
15、线 ，一次函11(0)ykxb1l数 的图象为直线 ，若 ，且 ，我们就称直线 与直线22(0)ykxb2l22互相平行. 解答下面的问题：l（1）求过点 且与已知直线 平行的直线 的函数表达式,并画出直线 的(1,4)P1yxl l图象；ADBADEBADCFEBADDQFEBAD图 1ADBADCFEBADDQFEBAD图 2（2）设直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，如果直线 ： 与直线lyxABm(0)ykxt平行且交 轴于点 ，求出 的面积 关于 的函数表达式.lxCSt12 （2010 江苏连云港） 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的
16、一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图 1，梯形 ABCD 中，ABDC，如果延长 DC 到 E，使 CEAB，连接 AE，那么有 S 梯形 ABCDS ABE 请你给出这个结论成立的理由，并过点 A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹） ；（3）如图，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，S ADC S ABC ，过点 A 能否作出四边形 ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由13.如图，四边形 A
17、BCD 中，AB=AD，CB=CD，但 AD CD，我们称这样的四边形为“半菱形” 。小明说“半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半” 。他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。xO246 2 4 622图二14 （2010 安徽蚌埠）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形 的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出 8ABCD个不同的向量: 、 、 、 、 、 、 、 （由于 和 是相ADBABDC等向量，因此只算一个）
18、。 作两个相邻的正方形(如图一 )。以其中的一个顶点为起点 ,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为 ，试求 的值；2(f(f 作 个相邻的正方形(如图二 )“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个n顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为 ，试求 的值；)(nf)(f共 n 个正方形 作 个相邻的正方形( 如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终32点作向量, 可以作出不同向量的个数记为 ，试求 的值；)32(f)32(f图三ABCDO图一 作 个相邻的正方形(如图四) 排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为nm终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为
19、，试求 的值。)(nmf)(nf答案：1.【答案】20002.【答案】100，50503.【答案】 （1）0 （2）04.【答案】 35.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】C8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】B 11 【答案】 （1）设直线 l 的函数表达式为 yk xb. 直线 l 与直线 y2x1 平行， k2. 直线 l 过点（1，4） ， 2b 4， b 6. 直线 l 的函数表达式为 y2x6. 直线 的图象如图 . (2) 直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，点 、 的坐标分别为（0，6） 、lyxAB（3，0）. ,直线 为 y 2x+t.lmyxO2462 4
20、 622l共m个正方形相连C 点的坐标为 .(,0)2t t0, .C 点在 x 轴的正半轴上.当 C 点在 B 点的左侧时， ;13(3)6922ttS当 C 点在 B 点的右侧时， . 的面积 关于 的函数表达式为ASt39(06),2.tSt12.【答案】13 【答案】正确。证明如下：方法一：设 AC，BD 交于 O，AB=AD，BC=DC，AC=AC，ABCADE，BAC=DAC，AB=AD，AOBD，SABD= BDAO，SBCD= BDCO，1212所以 S 四边形 ABCD= SABD+ SBCD= BDAO+ BDCO12= BD（AO+CO）= BDAC；方法二：AB=AD，点 A 在线段 BD 的中垂线上。又CB=CD，点 C 与在线段 BD 的中垂线上，AC 所在的直线是线段 BD 的中垂线，即 BDAC；下同方法一。14.【答案】 14)2(f 6)(nf =34 3 =2（ ）+4 （ ）)(mf mn
