1、 数学（文科）试题第 I卷一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则集合 中所含元素的个数是（ 1,234P|,QxyP）A16 B9 C7 D52. 在复平面内， 两点对应的复数分别为 ，则 （ ）MN、 132i、 MNA B C D551023. 已知向量 满足 ，则 （ ）ab、 3ab、 aAA1 B2 C-1 D-24. 已知等差数列 满足 ，则 （ ）n1235,72016A2016 B2017 C2018 D20195.若 ，则（ ）0.30.6log,baA B C D11a1baba6. 在平面直角
2、坐标系中，直线 与圆 的位置关系:60lxy2:40xy是（ ）A相离 B相切 C直线与圆相交但不经过圆心 D直线经过圆心7.已知 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）ab、 ab2bA充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件8一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为（ ）A B C D94218369.设函数 的最小正周期为 ，且sincos0,2fxx，则（ ）ffA 在 单调递减 B 在 单调递减fx0,2fx3,4C 在 单调递增 D 在 单调递增f, f,10.若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）xy、 1532yxzxyA4
3、B6 C8 D1011. 已知双曲线 两渐近线的夹角 满足 ，焦点到渐近线的距离 ，21xyab4sin51d则该双曲线的焦距为（ ）A B 或 C 或 D以上都不是552212. 对于函数 ，有如下三个命题：1,0xff（1） 的单调递减区间为fx *23,nnN（2） 的值域为0,（3）若 ，则方程 在区间 内有 3个不相等的实根afxa2,0其中，真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13题 - 第 21题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题- 第 23题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13. 已知命题
4、的个位数字等于 3则命题 _20:,pxZ:p14. 经过点 的抛物线 的切线方程为 _3,6P1yx15.如图， 是棱长均为 1 的正四棱锥，顶点 在平面 内的正投影为点ABCDPABCD，点 在平面 内的正投影为点 ，则 _EFtanE16.已知 是偶函数则：（1） _；（2）3xxfaa的解集为_10fx三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）在数列 中 .na*112,431,nanN（1）设 ，求证：数列 是等比数列；bb（2）求数列 的前 项和.n18. （本小题满分 12分）如图，在 中，内角 所对的边分别是 .ABCBC、 、 ,
5、23abcBa、 、（1）若 ，求 ；4Ac（2）若 的面积为 ，求 .BC32b19.（本小题满分 12分）如图，在三棱柱 中， 三条棱两两互相垂直，且1A1ABC、 、，分别是 的中点.12,ABCEF、 1BC、（1）求证： 平面 ；1CEAF（2）求 到平面 的距离.F120.（本小题满分 12分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，椭圆xOy2:10xyEab12的顶点四边形面积为 .E43（1）求椭圆 的方程；E（2）过椭圆 内一点 的直线 与椭圆交于 两点，若 ，求直线 的1,PlMN、 PNl方程.21.（本小题满分 12分）已知函数 （其中， 为自然对数的底数，
6、）.1ln3fxfexe0x（1）求 ；（2）求函数 的极值；fx（3）是否存在整数 ，使得对任意的 恒成立 （*）k0,1xfkx若存在，写出一个整数 ，并证明（*） ；若不存在，说明理由.请考生在 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10分）某人在静水中游泳的速度为 千米/时，他现在水流速度为 4 千米/时的河中游泳.43（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？23.（本小题满分 10分）如图，某农场要修建 3个形状、大小相同且平行排
7、列的矩形养鱼塘，每个面积为 10000平方米 .鱼塘前面要留 4米宽的运料通道，其余各边为 2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B B A C D B A A C C二、填空题13. 的个位数字不等于 3 14. 15. 16. （1）-1；（2）2,xZ3yx1,三、解答题17.解：（1） 1 分10ba 5 分4314nn na为以 1为首项，以 4为公比的等比数列 6 分nb（2） 8 分1,nnnab 9 分0142nS 10 分1nn 12 分144232n由正弦定理 4
8、分，siniacAC得 5 分264解得 6 分13c（2）由已知 7 分3sin22SacB即 8 分1i解答 9 分3c由余弦定理得， 10 分22cosbaB 11 分1437解得 12 分19.解：（1）连接 ，由可知可得1FCA、2112,6,2,3,BEACEFC分 4分222111,FCAC ， 5 分E,E又 面 ， 6 分、 ,FE故 平面 7 分1CA（2）方法 1：由已知得 ，5 ， 8 分2FEFAE由（1）知 平面 ，则 为三棱锥 的高，1C1C1AEF设求 到平面 的距离为 ，由等体积法 9 分Ad1BCV 10 分1 13232E 11 分11636d ，即 到平
9、面 的距离为 12 分3dF1AEC方法 2： 8 分1 16,2,5,3,CEAFEFC ， ， 9223FAE分 ， ， 222 21 163ECCF110 分又 面 ，1A、 1,EFAE 面 ， 即为点 到面 的距离， 11 分EF1 1，即 到平面 的距离为 12 分31C320.解：（1） ， 1 分22,ceabc ，2,acb ， ， 243S顶 点 四 边 形 23c2 分 ， 3 分1,3,cba即椭圆 的标准方程是 4 分E2143xy（2）设 ，由 可知 为 的中12,MxyNMPN点 5 分当直线 的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知交线段的中点在 轴上，与 矛l x1
10、,P盾 6 分故直线 的斜率存在设为 lk方法一：（点差法）把 代入椭圆的标准方程是 得：12,MxyN2143xy， 7 分221,43xyx两式相减得 ， 8 分12121212043xyy 的中点为 ， ， 9 分MN1,P1212,xy代入得 ， 10 分21203yx ， 11 分124ykx即直线 的方程为 ，即 l31x470y经检验 1代入 消元后的方程的 ，符合题意，故直线的方程C0为 12 分3470xy方法二：设直线 的方程为 ，联立方程得l1ykx， 7 分2143ykx消去 得 8 分y2 281410kxkx 中点为 ， ， 9 分MN,P2 在椭圆内部，故 ，由韦
11、达定理可得：1, 0 10 分，122834kx解得 ， 11 分即直线 的方程为 ，即 12 分l14yx3470y21.解：（1） ， 1 分ln13ffe 2 分,3fe（2）由（1）知 ， 3 分l,0,lnfxxfx令 ，即 ，即 ， 4 分ln0fx 221e令 ，即 ，即 递增，2lflx2,fx 5 分令 ，即 ，即 递减，2ln0fxl2x210,fxe 6 分 ，无极大值 7 分22211fxfee极 小（3）当 时，命题成立 8 分k证明如下：对任意的 ， 即 恒成立，0xln1fxxln10x令 ，ln1g，令 ，即 ，即 ， 9 分xl0gx lxe令 ，即 ，即 递增， 10 分1ln0gl1,ge令 ，即 ，即 递减， 11 分lxlx0,x 12 分min11ggee极 小当 时，命题成立 8 分2k证明如下：对任意的 ， ，即 恒成立，0xln21fxxln20x令 ，令 ，即 ，ln2,ggg1 9 分令 ，即 递增， 10 分l0x1,xx令 ，即 递减， 11 分ngg 12 分mi 02x极 小当 时，命题成立 8 分，证明如下：3k对任意的 即 恒成立，0,ln31fxxln230x
