1、广东省梅州市 2017届高三下学期一检（3 月）数学（理）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 210Ax， 0Bx，则集合 RCUB（ ）A 0,1 B , C ,1, D ,10,2.设 i是虚数单位，如果复数 2ai的实部与虚部是互为相反数，那么实数 a的值为（ ）A 3 B 13 C3 D 33.已知 ,是两个不同的平面， ,mn是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A若 /,mn，则 / B若 ,mn，则 / C若 ,， ，则 n D若 ,n，则 m4.已知命题 p:
2、 1,2xR，命题 q: 0,2x，使 1sico2x，则下列命题中为真命题的是（ ）A q B p C p D pq5.集装箱有标号为 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是 4的倍数，则获奖.若有 4人参与摸奖，恰好有 3人获奖的概率是（ ）A 1625 B 9625 C 625 D 6256.设椭圆 210,xymnn的右焦点与抛物线 8yx的焦点相同，离心率为 12，则椭圆的方程为（ ）A216xyB216xyC21486D21648xy7.我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟
3、大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6102,6ab时，输出的 a（ ）A6 B9 C12 D188.若向量 ,ab的夹角为 3，且 2,1ab.则 a与 2b的夹角为（ ）A 6 B C D 569.已知函数 cos2cos23fxx，其中 R，给出四个结论：函数 f是最小正周期为 的奇函数；函数 fx的图象的一条对称轴是 23x；函数 fx的图象的一个对称中心是 5,012；函数 fx的递增区间为 ,6kkZ.则正确结论的个数为（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个10.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A4 B8
4、 C 203 D 26311.已知双曲线 2:1,xyab的左、右焦点分别为 12,F， O为坐标原点. P是双曲线在第一象限上的点，直线 2,POF分别交双曲线 左、右支于另一点 ,MN.若 12PF，且 260MN，则双曲线 C的离心率为（ ）A 2 B 3 C 7 D 2312.设函数 yfx在区间 ,ab上的导函数为 fx， f在区间 ,ab上的导函数为 fx，若在区间,ab上 0f恒成立，则称函数 f在区间 ,ab上为“凸函数”.已知 432126fxm，若对任意的实数 m满足 2时，函数 fx在区间 ,上为“凸函数”，则 ba的最大值为（ ）A4 B3 C2 D1第卷（共 90分）
5、二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.设 ,xy满足约束条件013yx，则 2zxy的最小值为 14.在二项式832x的展开式中，第四项的系数为 15.已知 ABC中， ,C的对边分别为 ,abc，若 1,2cosCb，则 ABC的周长的取值范围是 16.函数 fx的定义域为实数集 R， 21,0log3xf，对于任意 xR都有 2fxf，若在区间 5,3内函数 gxfmx恰有三个不同的零点，则实数 m的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na中， 13，满足 122nna.（）求证：数
6、列 2为等差数列；（）求数列 na的前 项和 nS.18.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG所截后得到的，其中 45BAEGD,2,60ABDA.（）求证： BD平面 AG；（）求平面 EF与平面 BC所成锐二面角的余弦值.19.中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分儿口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用勘探初期数据资料见如表： （）16 号旧井位置线性分布，借助前 5组数据求得回归直
7、线方程为 6.5yxa，求 ，并估计 y的预报值； （）现准备勘探新井 71,25，若通过 1、3、5、7 号井计算出的 ,ba的值（ ,精确到 0.01）相比于（）中 ,ba的值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 61,y，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果： 4421 1212,9,945ni iii iiixybaybxxy ）（）设出油量与勘探深度的比值 k不低于 20的勘探并称为优质井，那么在原有 6口井中任意勘探 4口井，求勘探优质井数 X的分布列与数学期望20.已知动圆 C过点 1,0F，且与直线 1x相切.（）求动圆圆心 的轨迹方程，并求当圆
8、 C的面积最小时的圆 1C的方程；（）设动圆圆心 C的轨迹为曲线 E，直线 12yxb与圆 1C和曲线 E交于四个不同的点，从左到右依次为 ,ABD，且 ,是直线与曲线 的交点，若直线 ,BFD的倾斜角互补，求 ABCD的值.21.已知函数 ln2afxx(其中 a为常数， R).（）求函数 f的单调区间；（）当 0a时，是否存在实数 a，使得当 1,xe时，不等式 0fx恒成立？如果存在，求 a的取值范围；如果不存在，请说明理由(其中 e是自然对数的底数， 2.718 ).请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线
9、1C的参数方程是 2cosinxy( 为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程是 4si.（）求曲线 1与 交点的平面直角坐标；（） ,AB两点分别在曲线 1C与 2上，当 AB最大时，求 OAB的面积( 为坐标原点).23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 80fxxm.（）求证： f恒成立；（）求使得不等式 10f成立的实数 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DCCAB 6-10: BDABC 11、12：BC12.提示: 032mxxf)(在 ),(ba上恒成立, .,032bma对 2|恒成立,即.,032bma对 ,2恒成立,所 以 .
10、,03222b解得 ,11ba再求得a的最大值是 2.二、填空题13. 2 14. 7 15. ,(32 16. ),612三、解答题17 ()证明：由定义 1112nnn naaa. 故 12na是以 1为首项，1 为公差的等差数列. （）由(I)知 n , 21na. 令 nT为 2的前 项和，则 31n2412n -得 23!12nnnT, 1 . 故 2nnS. 18() 证明：在 BAD中， ,o602BAD由余弦定理可得 .3 ,AB22又在直平行六面体中， G平面 C， 平面 C， .BD 又 ,A 平面 ADG. ()以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzD. ,
11、245ADBGABEo则有 ).,()(),(),(),( 031010301 CE .2 设平面 AEF的法向量为 ),(zyxn，故有 .03zxGn令 1x，得 .,13y),(n而平面 ABCD的一个法向量为 ),(10G， .|,cos72nG故平面 EF与平面 所成锐二面角的余弦值为 217.（可作出截面与底面的交线，易求.其他解法比照给分）19解：()因为 .,50yx回归直线必过样本中心点 )(，则 5.17.650xbya， 故回归直线方程为 .17.6xy.当 1x时， 245，即 y的预报值为 24. ()因为 .,4y 112412 9459iiiiixx.,所以.83
12、649255424121 xybiiiii . 31865ya即 938,.6b， 57,ab.%5， a，均不超过 %10，因此使用位置最接近的已有旧井 )24,(6. () 由题意，1、3、5、6 这 4口井是优质井，2，4 这两口井是非优质井，勘察优质井数 X的可能取值为 2，3，4，246()5CP,12468()5CP,40261()5CPX.2 3 4581152813453EX. 20解：() 依题意圆心 C的轨迹是以 ),(01F为焦点,直线 1x为准线的抛物线,故其方程为 .xy42 当圆心 C在原点时,圆的面积最小,所以圆 1的方程为.12yx() (,0)F，设 1234
13、(,)(,)(,)(,)BxyDAxyC，由 24ybx，得 22(46)0b.由 0,得 所以 126xb， 214x. 因为直线 ,BFD的倾斜角互补，所以 0BFDk. 121122()()BFDyyxkx ， 2112()()0y，即 112()()(0bxb，,2121 xbx2464.解得 .由 219yx，得 ,0352x所以 3425x. 1324|()()4ABCD12345565()()2xx 21解：()由于 (ln+afx，其中 0x，2()1axfx. 当 0时， 0)(f恒成立，于是 )(xf的减区间为 ),(.当 a时，由 xf,得 24a(另一根舍去).列表得2
14、0,a224,a()fx 0 极大值 于是 )(xf的增区间为24(0)， a，减区间为24,a. 综上所述，当 时， )(xf减区间为 ),(0，当 0时， )(xf的增区间为24(0)， a，减区间为24,a. ()当 0时，若241a，即 102a ，此时 )(xf在 ,e1上单调递减， ,()(min 02333 eefxf0)(恒成立，不合题意，舍去. （或 max(1)0ff）若24，24ae,即 12ea时，此时 )(xf在 ),21上为增函数，在24,ae上为减函数，要使在 ,e恒有 0)(xf恒成立，则必有 .)(,01ef则 .,031ea所以 21.3，ae所以 122a. 若24， 即 12e时，)(xf在 ,e1为增函数，令 min()()10fxfa,得 12e综上所述，存在实数 ),(132ea使得 ()fx恒成立. (可以用分离参数法求解,比照给分)22.解: ()由 2cosinxy，得 2cosinxy，所以 2()4. 又由 si，得 2si，得 24xy. 把两式作差得， yx， 代入 24x得交点为 (0,),. ()如图，由平面几何知识可知，当 12,ACB依次排列且共线时，
