1、2017 届广东海珠区高三上学期调研（一）数学理试题一、选择题1若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）z(1)2izA-1 B C D1【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，因此 的()2iz21iziiz虚部为 ，故选 A. 1【考点】1、复数的基本概念；2、复数的基本运算.2已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范2|16Ax|BxmABm围是（ ）A B C D4,)4,)(,4(,4【答案】B 【解析】试题分析：因为 ，所以 ，又AAB， ，因此 ，即实数 的取值2|16|4xx|xm4m范围是 ，故选 B. 4,)【考点】1、集合的表示；2、集合的基本运算.3设偶函数 的定义域为 ，
2、当 时， 是增函数，则()fxR0,)x()fx的大小关系是（ ）(),3fA B2()ff()2(3)fffC Df 3【答案】C 【解析】试题分析：因为 时， 是增函数，所以 ，0,)x()fx(2)3()ff又因为 是偶函数，所以 ， ，所以()fx(3f2(f，故选 C. 23()f【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.4双曲线 的中心在原点，离心率等于 2，若它的一个顶点恰好是抛物线 的E 28yx焦点，则双曲线 的虚轴长等于（ ）A4 B C D3243【答案】D 【解析】试题分析：因为 的焦点坐标是 ，所以双曲线 的一个顶点为28yx2,0E，即 ，又因为离心率 ，因此 ，
3、虚2,0a4cea16423b轴长等于 ，故选 D. 43b【考点】1、双曲线的离心率；2、双曲线与抛物线的性质.5某食品长为了促销，制作了 3 种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获得，现购买该食品 4 袋，能获奖的概率为（ ）A B C D478298【答案】C 【解析】试题分析：因为 种不同的精美卡片随机放进 袋食品袋中，根据分步计数34乘法原理可知共有 种不同放法， 袋食品袋中 种不同的卡片都有的放法共有48143种，根据古典概型概率公式得能获奖的概率为 ，故选 C. 2436A 68149【考点】1、分步计数乘法原理及排列组合的应用；2、古典概型概率公式.
4、6在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，BC,abc2a，则 为（ ）1sinisin2baAiBA B C D743713【答案】A 【解析】试题分析：因为 ,所以由正弦定理可得:sinisin2bBaAC，又 利用余弦定理可得:21bac2 21,43,cbac由于 ,解得:223cos,BaA0,故选 A. 297in1cs164【考点】1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数之间的关系.7公差不为 0 的等差数列 的部分项 构成等比数列 ，且 ，na123,kka nka1， ，则 为（ ）2k364kA20 B22 C24 D28【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列 的公差为 成等
5、比数列, ,即 ，na126,da216aA2115adadA,所以等比数列 的公比 ，1213,4da123,.kk4q,又 ,431146kaqaA4141413kdakaAA, ,故选 B. 103262【考点】1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式及性质.8已知函数 ，则 的图象大致为（ ）()ln|fx()fx【答案】A 【解析】试题分析：因为 时 ， 在 上递增，0x()lnfx()fx0,)时， ，可得 在 上递减，在 上递0x1()ln,ff,1(1,增，所以只有选项 A 合题意，故选 A. 【考点】1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性.9若 满足 ，则
6、的最大值为（ ）,xy2042|zyxA-8 B-4 C1 D2【答案】D 【解析】试题分析：作出 所对应的可行域（如图 ）,当 时,04xyABC0x可行域四边形 ,目标函数可化为 即 ,平移直线 可知OBC2zyxz2y当直线经过点 时,直线截距最大, 取最大值 ,当 时,可行域为三角形02D0,目标函数可化为 即 ,平移直线 可知当直线经过Azyxzyx点 时,直线截距最大, 取最大值 ,综合可得 的最大值为 ，故选222D. 【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”
7、：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A-1 B1 C-2 D2【答案】D 【解析】试题分析：因为输入 后，经过第一次循环得，0,12iSA；经过第二次循环得， ；经过第三次循环得，1,2iS,1i；经过第四次循环得， ；经过第五次循环得，3,A42；经过第六次循环得， ；所以 的知呈周期性5,1i 6,iSAS变换，其周期为 , 结束循环， ，因为 时 ，6207i201731i2所以
8、输出 ，故选 D. S【考点】1、程序框图；2、循环机构. 11过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线 与抛物线在第一、四2()ypxF6l象限分别交于 两点，则 的值等于（ ）,AB|A5 B4 C3 D2【答案】C 【解析】试题分析：因为抛物线 , 所以它的焦点坐标为 ，因20ypx,02p为直线 的倾斜角为 所以直线 的方程为: ,即l60,l3yx,设直线与拋物线的交点为32pxy， ,联立方程组 ,消12,AxyB12,ppAFxBx23ypx去 并整理,得,解得203p，1212, ,623ppxAFxBFx的值为 ,故选 C. :3:,AFB3【考点】1、抛物线的性质；2、抛物线的
9、定义及直线的方程.【方法点睛】本题主要考查抛物线的性质、抛物线的定义及直线的方程，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决本题解答过程中就是把 、 转化为到焦点距离后求解的AFB12已知函数 ，给出下列四个说法：()|cos|infxx函数 的周期为 ；若 ，则 ；12|()|fxf12,xkZ 在区间 上单调递增；,4 的图象关于点 中心对称.()fx(,0)2其中正确说法的个数是（ ）A3 个
10、B2 个 C1 个 D0 个【答案】C 【解析】试题分析：因为 函数 的周期为 ,不正确；若,fxf()fx,即 ,则 时也成立,故不正确；12fxf12sinsi120,在区间 上 ,单调递增,正确； 函数,41cosinsi2fxxA函数是奇函数,所以 的图象关于点 成中心对称，点()cosinfxA()f0,不是函数的对称中心，故不正确,故选 C. 02【考点】1、三角函数的周期性及三角函数的单调性；2、三角函数的图象、正弦的二倍角公式及简单的三角方程.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的周期性及三角函数的单调性、三角函数的图象、正弦的二倍角公式及简单的三角方程及数学化
11、归思想，属于难题.该题型往往出现在选择、填空题最后两题，综合性较强，考查知识点较多，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输” ，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.二、填空题13二项式 的展开式中常数项为 .61(2)x【答案】 0【解析】试题分析：二项式 的展开式的通项公式为61(2)x,令 ，解得 ，所以该3666212()()rrrrrrTCxCxAA04r二项式展开式中常数项为 ，故答案为 . 464210【考点】二项展开式的通项公式.14已知 ，则 的值是 .cos()357sin()【答案】 4
12、【解析】试题分析：若 si()6，故答案为 . 4sin()incos6323545【考点】1、诱导公式的应用；2、 “拆角”技巧的应用.15如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 .【答案】 32【解析】试题分析：由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以 为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示，由底面边长4为 ,高为 ,故底面为等腰直角三角形,可得底面外接圆的半径为: ,由棱柱高为4 2r,可得球心距为 ,故外接球的半径为: ,故外接球的表面积22R,故答案为 . 3SR3【考点】1、几何体的三视图及空间想象能力；2、几何体
13、外接球的性质及求表面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图及空间想象能力、几何体外接球的性质及求表面积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.16已知 的外接圆的圆心为 ，若 ，且 ，则ABCO2ABCO|A与 的夹角为 .【答案】 56【解析】试题分析：因为 ，所以 是 的中点，又因为 是2ABCOBCO的外接圆的圆心，所以 ，又 ，可得 是正ABC|AAC三角形， ， ，因此 与3O6
14、B的夹角为 ，故答案为 . 5656【考点】1、向量的几何运算及外接圆的性质；2、向量的夹角.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答三、解答题17已知数列 的前 项和为 ， ， ， .nanS1a0n14nnaS（1）求 的通项公式；（2）证明： .12nSS【答案】 （1） ；（2）证明见解析.*()n
15、aN【解析】试题分析：（1）先证明 ，可得 是首项为 ，公差为 的4na21na4等差数列， 是首项为 ，公差为 的等差数列，进而得 的通项公式；（2）2n3先求得 ，再放缩 ，最后利用“裂项相2(1)nS21()1nn消法”求和即可.试题解析：（1）由题设， ， .14nnaS1214nnaS两式相减得： .12()n由于 ，所以 .10nan由题设， ， ，可得 .1214aS23a故可得 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， ，2n 21432(1)nn是首项为 3，公差为 4 的等差数列， .a 2n所以， .*()nN（2） ，21Sn当 时， .n21()2221213nSSn
16、1 .121nSS【考点】1、等差数列的定义及通项公式；2、等差数列的前 项和公式及“裂项相消n法”求和.18社区服务是综合实践活动课程的重要内容，某市教育部门在全市高中学生中随机抽取 200 位学生参加社区服务的数据，按时间段 ， ， ，75,80),5)8,90)， （单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示.90,5),10（1）求抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取 3 位学生，记 为 3 位学生中参加社X区服务时间不少于
17、90 小时的人数，试求随机变量 的分布列和数学期望 .E【答案】 （1） ；（2）分布列见解析，565【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可求出抽取的 位学生中，参加社区服20务时间不少于 小时的学生人数为 人，再根据古典概型概率公式可得结果；（2）9080随机变量 的可能取值为 分别求出对应的概率，再利用期望公式求解.X,13试题解析：（1）根据题意，参加社区服务在时间段 的学生人数为 人；90,5)20.650参加社区服务在时间段 的学生人数为 人；12抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人.从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不
18、少于 90 小时的概率为.8025P（2）由（1）可知，从全市高中学生中任意选取 1 人，其参加社区服务时间不少于 90小时的概率为 .由已知得，随机变量 的可能取值为 0,1,2,3，X则 ， ，03327()()51PC12354()()PXC， ，2136()()5PXC3028()()51PXC随机变量 的分布列为 .27543686()012125EX【考点】1、古典概型概率公式；2、随机变量的分布列和数学期望.19如图，四棱锥 中， ， ， ，SABCD/BCD2ABC，侧面 为等边三角形.CD（1）证明： ；ABSD（2）求二面角 的正弦值.C【答案】 （1）证明见解析；（2）
19、27【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质与正三角形的性质可证 ，BED，得 平面 ，进而 ；（2）分别以 的方向ABSESEDABS,CF为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，求出平面 的法向量 xyz DxyzS，而知 是平面 的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得二面13(,0)2DSS角的余弦，进而求得正弦值.试题解析：（1）取 的中点 ，连接 ，则四边形 为矩形，ABEBCE ，BE 为等边三角形，S .A ，D 平面 .平面 ， .SEBS（2）由（1）知， ，过 作 平面 ，则 两两垂CDFABCD,EF直，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系,DFxyz
