1、2017 届山西大学附中高三二模测试数学试题一、选择题1已知集合 ，则 （ ）2|10,|03,AxxRBxxRABA B |3,x|C D|,xx【答案】C【解析】试题分析： ，所以 .1,A|13,ABxR【考点】一元二次不等式，集合交集【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点
2、的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2已知 的终边过点 ，则 等于（ ）2,37tan4A B 1515C-5 D5【答案】B【解析】试题分析：“ 的终边过点 ”，所以 ，所以2,33tan2.7tan1tantan445【考点】三角恒等变换3某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在 内的人数分别为（ ）90,1A20，2 B24，4 C25，2 D25，4【答案】C【解析】试题分析：由频率分布直方图可知， 的频率和 的频率相同，901506所以 的人数为 ，总人数为 人.9012250.8【考点】茎叶图，频
3、率分布直方图4已知 是虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则实数i aiZ的值可以是（ ）aA-2 B1 C2 D3【答案】A【解析】试题分析： ，对应点在第四象限，24(2)5aii ai故 ，A 选项正确.402a【考点】复数运算5阅读如图所示的程序如图，运行相应的程序，若输出的 为 ，则判断框中填写S12的内容可以是（ ）A B 6n6nC D8【答案】C【解析】试题分析： ，判断是， ，判断是，0,2S1,42Sn，判断是， ，判断否，输出 ，故填13,624Sn 846S.6n【考点】算法与程序框图6 ，则（ ）421353,abcA B abcC D【答案】A【解析】试
4、题分析： ，由于 为增函数，所以 .应为223534,c4xyab为增函数，所以 ，故 .23yxcabc【考点】比较大小7 （文科）要得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）2logx2logfxA向左平移 1个单位 B向右平移 1个单位 C向上平移 1个单位 D向下平移 1个单位【答案】C【解析】试题分析： ，故向上平移 个单2222logllog1lxx1位.【考点】图象平移8 （理科） 的展开式中， 的系数为（ ）62xy42xyA15 B-15C60 D-60【答案】C【解析】试题分析：依题意有 ，故系数为 .2244260Cxyx60【考点】二项式9已知某几何体的三视图的侧视图是一个
5、正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A B 123163C D02【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知这是一个三棱柱截去一个三棱锥所得，故体积为 22313464.250【考点】三视图10下列函数中，与函数 的奇偶性、单调性相同的是（ ）3xefA B 2ln1yx2yxC Dta e【答案】A【解析】试题分析： 所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，Cfxf定义域与 不相同，D 为非奇非偶函数，故选 A.fx【考点】函数的单调性与奇偶性11已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，在区间 内任取一个实数nanS120a3,5作为数列 的公差，则 的最小值仅为 的概率为（ ）n
6、6A B 15C D3413【答案】D【解析】试题分析： ，解得6171520,620adad，所以概率为 .1043d43【考点】等差数列12双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线与双曲210,xyab12F、线的右支交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ AB、 1FA2e）A B1242C D53【答案】C【解析】试题分析：设 ，则1AFm，因为 ，所以122,BFmaBa2ABFm，解得 ，所以 ，在直角三角形a421中，由勾股定理得 ，因为 ，所以12AF225cm4a，所以 .22548ca25e【考点】直线与圆锥曲线位置关系【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置
7、关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方程，从而求出离心率的平方.13设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得21xfeax1at，则 的取值范围是（ ）0ftaA B 3,12e3,24eC D,4,1【答案】D【解析】试题分析：令 .由题意知存在唯一整数 ，2,xgehxat使得 在直线 的下方. ，当 时，函数单调递减，gth 12当 ，函数单调递增，当 时，函数取得最小值为 .
8、当 时，12x2x1e0x，当 时， ，直线 过定点 ，斜率为 ，(0)gx(1)0gehxa,a故 且 ，解得 .a3a3,12me【考点】函数导数与不等式【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令将函数变为两个函数 ，将题意中的“存在0fx1,xgehxa唯一整数 ，使得 在直线 的下方” ，转化为存在唯一的整数 ，使得 在tthtgt直线 的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得 的取值范围.hxa m二、填空题14与直线 垂直的直线的倾斜角为_310xy【答案】 【解析】试题分析：依题意可知所求直线的斜率为 ，故倾斜角为 .33【考点】直线方程与倾斜角
9、15 （理科）曲线 与直线 围成的封闭图形的面积为2sin0yx1y_【答案】 3【解析】试题分析：依题意有 ，所以 ，所以面积为12sin,i2x5,6x.55 662sin1co|3xd【考点】定积分16设 满足约束条件 ，则 的最大值是_ ,yx210yx3zy【答案】 73【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点 处取得12,3A最大值为 .73【考点】线性规划17已知 是函数 两个相邻的两个极值点，且1,3xsin0fx在 处的导数 ，则 _f202f13f【答案】 1【解析】试题分析：两个相邻的极值点的距离是半周期，即 ，4,2T， ，sin2fx cos2fx
10、x，满足 ，所以1co0,f 33cos02f， .sin2fx1sin362f【考点】三角函数图象与性质，函数导数与不等式【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和 ，再结合极值点的导数等于零，可求出 .在求 的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用 来验证.求出 表达式后，就可以求302ffx出 .13f18在直角梯形 分别为,DC/AB,1,B2,EFAB的中点，点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示）,CPD若 ，其中 ，则 的取值范围是_EDF,R
11、2【答案】 1,【解析】试题分析：以 为坐标原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，A,BAD,xy依题意得 ， ，310,1,(1,)2,0,DECF311,2EAF设 ，依题意 ，即cos,in,PAP， ，两式相减得31cos,in,23cos21in， ，2sicosi4,4.in1,4【考点】向量运算【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂
12、直问题转化为向量的数量积来解决三、解答题19在等比数列 中， na39,2S（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，且 为递增数列，若 ，求证：216lognnbanb1ncbA1234cc【答案】 （1） ；（2）证明见解析.16nnnaA或【解析】试题分析：（1）将 化为 ，联立方程组，求出 ，可39,aS1,aq1,aq得 ；（2）由于 为递增数列，所以取 ，1362nnnaA或 nb62nn化简得 ， ，其前 项和为nb114ncb.144试题解析：（1） ，39,S2a ，312113 1326qSaaaqA或 1622nnna或（2）由题意知 ，222216logllog1nn nn
13、baA ，14ncbA 123111123444nccnnn 【考点】数列与裂项求和法20我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨） 、一位居民的月用水量不x超过 的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过xx抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图0,.5,14,.5（1）求直方图中 的值；a（2）设该市有 30万居民，估计全市居民中月均用量不低于 3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使 85%的居民每月
14、的用水量不超过标准 （吨） ，估计 的值，并xx说明理由【答案】 （1） ；（2） 万；（3） .0.a.629【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图小长方形的面积和为 ，求得 ；10.3a（2）用水 的频率为 ，所以人数为 万；（3）计算得用水量101.6的频率为 ，用水量 的频率为 ，则.5.73.8吨8502.9.x试题解析：解析：（1） ， 0.58.1604.5210.842a1 .3a（2）由图可得月均用水量不低于 3吨的频率为：，0.5.,.6全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数约为 3.6万；（3）由图可得月均用水量不低于 2.5吨的频率为：；.8.160.4520.78
15、5%月均用水量低于 3吨的频率为：；0.5.3则 吨0857229.x【考点】频率分布直方图21在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3次，在 处每投进一球得 3分；A在 处每投进一球得 2分，如果前两次得分之和超过 3分就停止投篮；否则投第 3次，B某同学在 处的抽中率 ，在 处的抽中率为 ，该同学选择现在 处投第A10.5qB2q一球，以后都在 处投，且每次投篮都互不影响，用 表示该同学投篮训练结束后所X得的总分，其分布列为： X0 2 3 4 5P0.03 P（1）求 的值；2q（2）求随机变量 的数学期望 ；XEX（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过 3分与选择都在 处投篮得
16、分超过 3分B的概率的大小【答案】 （1） ；（2） ；（3）该同学选择上述方式投篮得分超过 分的0.8q.6概率大于选择都在 处投篮得分超过 分的概率.B【解析】试题分析：（1）根据 ，解得 ；2100.3PXq20.8q（2）根据相互独立事件概率计算公式，计算得，由此计算得期望为 ；（3）用 表示3450.,.1,.8,.24P .6C事件“该同学在 处投第一球，以后都在 处投，得分超过 分” ，用 表示事件ABD“该同学都在 处投，得分超过 分” ，计算得 ,B3()0.72,().89PC.DC试题解析：（1）由题意可知， 对应的事件为“三次投篮没有一次投中” ，0X ，210.3Pq
