1、含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例。若不等式| 4|+|3 |0 时，先求不等式| 4|+|3 |147272xxa 当 31xa 当 3 时，原不等式化为 4 +3 13773722ax a综合可知，当 1 时，原不等式有解，从而当 01 时，xxa| 4|+|3 | 4|+|3 | 4+3 |=1xxx当 1 时，| 4|+|3 | 恒成立，求 的取xxkk值范围。思维点拨：要使| +1| 2| 对任意实数 恒成立，只要|xkx+1| 2|的最小值大于 。因| +1|的几何意义为数轴上点 到x xx1 的距离，| 2|的几何意义为数轴上点 到 2 的距离，x| +1| 2|的几何
2、意义为数轴上点 到1 与 2 的距离的差，其x x最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察 的取值范围。k解法一 根据绝对值的几何意义，设数 ，1,2 在数轴上对应x的点分别为 P、A、B，则原不等式即求|PA|PB| 成立k|AB|=3，即| +1| 2|3x故当 恒成立，从图象中可以看出，只要ka 恒成立，求实数 a 的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2) 0, 即时取等号。故 a0,不
3、等式|x-4|+|x-3|1（二）如图，实数 x、3、4 在数轴上的对应点分别为 P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB| 1 恒有 y 1数按题意只须 a1 A B P0 3 4 x（三）令 y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由 f(x)1y3210 3 4 x（四）考虑|z-4|+|z-3|1 时，表示复平面上以 3、4 为焦点，长轴长为 a 的椭圆内部，当 z 为实数时， a1 原不等式有解 a1 即为所求（五） 可利用零点分段法讨论.将数轴可分为(-，3)， 3，4 ，(4，+)三个区间.当 x .72a有解条件为 172a当 3x4
4、时得(4-x)+(x-3)1当 x4 时，得(x-4)+(x-3)4 即 a172a以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为 a1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|a 对于一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|a 在 R 上恒成立，求 a 的取值范围评注：1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法设 0a ,若满足不等式 的 一切实数 x，亦满足不等式5bax求正实数 b 的取值范围。21ax简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合 A ，babax,|B=21,21| 2由题设知 A B，则： ab21于是得不等式组： 2ab又 ，最小值为 ；21a432163最小值为 ；,122 4 , 163b即 ：b 的取值范围是 163,0( )450
