1、2017 届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试（二模）理科数学注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 答题时，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上. 本试卷满分 150 分，答题时间 120 分钟.2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已
2、知集合 1Mx， 10Nx，则 MNA. B. 0C. xD. 1x2. 复数 21iZ的虚部是A. iB. iC. 1D. 13. 下列函数中满足在 ,0上单调递减的偶函数是A. 12xyB. 2logyxC. 23yxD. sinyx4. 某工厂生产某种产品的产量 （吨）与相应的生产成本 （万元）有如下几组样本数据： x3 4 5 6y2.5 3.1 3.9 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得到其回归直线的斜率为0.8，则当该产品的生产成本是 6.7 万元时，其相应的产量约是A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.55. 双曲线21xyab（ 0,
3、ab）的渐近线为等边三角形 OAB的边 、 所在直线，直线 AB过焦点，且 AB，则双曲线实轴长为A. 3B. 2C. 3D. 36. 如图， O 与 x轴的正半轴交点为 A，点 ,BC在 O 上，且 43,5B，点 C在第一象限， C， 1，则 5cos6A. 45B. 35C. 35D. 47. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是A. 25B. 42C. 6D. 38. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的 3,xn，输入的 a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开
4、始） ，直到结束为止，则输出的 sA. 9 B. 27 C. 32 D. 1039. 在封闭直三棱柱 1ABC内有一个体积为 V的球，若 ， 5， 8， 15A，则 的最大值是A. 92B. 26C. 32D. 3610. 设 ,，且 sini0，则下列不等式必成立的是A. B. C. D. 211. 已知椭圆21xyab（ 0a）的左顶点和上顶点分别为 ,AB，左、右焦点分别是 12,F，在线段 AB上有且仅有一个点 P满足 12F，则椭圆的离心率为A. 3B. 312C. 352D. 5112. 若对于一切正实数 ,xy，不等式 9cosin4yxay恒成立，则实数 a的取值范围是A. 4
5、,3B. 3,C. ,D. 3,yxCOAB入 s入k ns = x+ak1入 k =0, s入 x,n 第卷本卷包含必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案直接填在题中横线上.）13. 已知向量 0,23a， 1,3b，则向量 a在 b方向上的投影为 .14. 如图，在 ABC 中，已知点 D在 BC边上， AC， 25B，5sin3， ，则 的长为 . 15. 设随机向量 服从正态分布 21,N，若 10.2P，则函数 321fxx
6、没有极值点的概率是 .16. 天干地支纪年法，源于中国. 中国自古便有十天干与十二地支. 十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥. 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子” ，第二年为“乙丑” ，第三年“丙寅” ， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊” ， “乙亥” ，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” ，以此类推. 已知 1949 年为“己丑”年，那么到新中国成立 80 年时，即 2029 年为 年.三
7、、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）17. （本小题满分 12 分）已知数列 na的各项都是正数，它的前 n项和为 nS，满足 2nna，记21nnnab.（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 nb的前 2016 项的和.18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中， /B， CD，点 P在底面 ABCD上的射影为 A， 12BCDA， E为棱 的中点， M为棱 PA的中点.（1）求证： /M平面 ；（2）若 45P，求二面角 PC的余弦值. 19. （本小题满分 12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品. 生产 1
8、 吨 A产品需鲜牛奶 2 吨，DB CAEMADCB使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 B产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元. 要求每天 B产品的产量不超过 A产品产量的 2 倍，设备每天生产 ,AB两种产品时间之和不超过 12 小时. 假设每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W12 15 18P0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z（单位：元）也是一个随机变量.（1）求 Z的分布列及期望值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天
9、的最大获利超过10000 元的概率.20. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，动圆经过点 0,2Mt， 0,2Nt，2,0P.其中 tR.（1）求动圆圆心 E的轨迹方程；（2）过点 作直线 l交轨迹 于不同的两点 ,AB，直线 O与直线 B分别交直线x于两点 ,CD，记 A 与 CD 的面积分别为 12,S. 求 12S的最小值.21. （本小题满分 12 分）已知函数 2lnfxax（ 0a）（1）讨论函数 fx的单调性；（2 ）证明：当 10a时， 1fxfxa；（3）设函数 yfx的图像与 轴交于 ,AB两点，线段 AB的中点的横坐标为 0x，证明： 0f.请考生在第 22、2
10、3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号. 22. （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标中，点 P的坐标是 1,0，曲线 C的方程为 2cos4. 以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1的直线 l经过点 P.（1）写出直线 l的参数方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 C相交于两点 ,AB，求 2PB的值.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 12fxx，不等式 fxt对 R恒成立.（1 ）求 t的取值范围；（2 ）记 的最大值为 T，若正实数 ,ab满足 2T. 求证： 261a
11、b.2017 届高三二模考试试题参考答案及评分标准理科数学一、选择题（题本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分，在每题给出的四答案中，其中只有一项符合题目要求.）1-5： D C C B D 6-10： B C D B D 11-12：D D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分.把答案直接填在题中横线上.）13 -3 14. 3 15 0.7 16.己酉年三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ）17.解：（1） nnaS2 11.2 分 22n1n1n2(a)(a).3 分即 (a)0 n0 n1 1.4 分
12、令 n，则 211Sa 或 1a0 a0 5 分 数列 n是以 1 为首项，以为公差 1 的等差数列 ()dn， *N6 分（2）由（1）知： n2na1b()8 分数列 n的前 2016 项的和为122016Tbb 11()()()()()34205620711210 分0172612 分18.解：（1 ）证明：法一：取 PD 的中点 N，连接 MN，CN.在PAD 中， N、 M分别为棱 PD、 A的中点 1MAD21BCAD2 四边形 BCNM 是平行四边形 BMCNA M平面 P， N平面 PCD /平面 PD5 分（法二：连接 EM，BE.在PAD 中， E、 分别为棱 A、 的中点
13、 NA AD/BC， 1D2 四边形 BCDE 是平行四边形 BC EM， ， PD， BECA平面 EM/平面 P 平面 /平面 ）（2 ）以 A为原点，以 D， A的方向分别为 x轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz6 分则 )0,(， ),12(C， )0,(E.点 P在底面 B上的射影为 平面 45 ),( 201E， )0,1(， )2,0(AP.7 分设平面 AC的一个法向量 mabc，则 cab设 1，则 (,20).9 分设平面 PE的一个法向量为 ),(zyxn，则 02yxz，设 ，则 )1,2(n10 分 m5cos,.11 分由图知：二面角 APCE是锐二面角，
14、设其平面角为 ，则25cos,n12 分19.解：（1）设每天 ,AB两种产品的生产数量分别为 ,xy，相应的获利为 z，xyz则有21.5, 0, .xyW（1）目标函数为 102zxy .2 分12W时 ， 由 （ 1） 表 示 的 可 行 域 和 目 标 函 数 几 何 意 义 知当 .4, .8xy时，直线 l： 56120zx在 y轴上的截距最大，最大获利 max2.410.8Zz15时当 3, 6xy时，直线 l： 56120zyx在 y轴上的截距最大，最大获利 max310Zz18W时，当 6,4xy时，直线 l： 56120zyx在 y轴上的截距最大，最大获利 max61048
15、Zz.5 分故最大获利 的分布列为8160 10200 10800P0.3 0.5 0.2.7 分因此， ()8160.320.5180.2978.EZ8 分（）由（）知，一天最大获利超过 10000 元的概率 1(0).502.7pPZ.10 分所以 3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为331()0.97.p12 分20.解：（1）设动圆的圆心为 E(x,y)则 2MNPE()即： 224x y4x即：动圆圆心的轨迹 E 的方程为 2yx.4 分（2）当直线 AB 的斜率不存在时，ABx 轴，此时， A(2,)B(,2) ABCD42 12S8 12S6.5 分当直线
16、AB 的斜率存在时，设直线 AB 的斜率为 k，则 0，直线 AB 的方程是 yk(x)， 0.设 12A(x,)B(,)，联立方程 2yk(x)4，消去 y，得：2k4x0()， 即： 22(1)x4k0() 216()， 122kx， 12.7 分由 12A(x,y)B(,)知，直线 AC 的方程为 1yx，直线 AC 的方程为 2yx， 12yC(,)D(,)x 2112k()C 11S()2， 22S(x)D.9 分 31212214(x)C4()(k0令 2tk，则 t0，3212S(t),由于 函数3y4(t)在 ,上是增函数11 分 162 126综上所述， S1 12的最小值为
17、 12 分21.解：（1）函数 )(xf的定义域为 ）（ ,0由已知： ）， （ 0)12()21 xxaaf.2 分当 ax10时， 0)(xf所以，函数 )(xf在 10a，（ 上是增函数；当 时， 所以，函数 在 ，（ 上是减函数，综上所述：函数 )(xf的增区间是 )1a，（ ， 函数 )(xf的减区间是 )1，（ a.3 分（2）设 )()1()xfafg，则 xg2)ln()1l().5 分 231-1)( xaxx.6 分当 a0时， 02)(3g，又 0)(g )(x故当 x1时， ).1()(xaff8 分(3) 由(1)知：函数 )(f的最大值为 )(f， 且 0)1(af9 分不妨设 21210,B,(Axx，则 210x由(2)知： )(-()- fafaf .10 分从而， 12x所以， .210由(1)知： .)(0f12 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22.（本小题满分 10 分）解：（1）曲线 C 的方程为 2(cos)4 2:(cs)2sin曲线 C 的直角坐标方程为 2xy.2 分 直线 l 过点 P(1,0)， 且斜率为 k1
