1、2016 届辽宁省大连市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题 理科能力测试第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 的子集共有（ ）1,2A(,)|,BxyAxyABA 2 个 B 4 个 C 6 个 D8 个2.复数 在复平面对应的点在第一象限，且 ，则 的虚部为（ ）()zaiR |5zzA 2 B 4 C D2i4i3.对于直线 和平面 ，下列条件中能得出 的是（ ）,mn,A B /,mnC D,/4.执行下图的程序框图，如果输入 ，则输出 的值为（ ）1xtA 6
2、 B 8 C. 10 D125.已知 为等差数列， ，则 的前 9 项和 （ ）na4836ana9SA 9 B 17 C. 36 D816.已知函数 ，则函数 的图象为（ ）2()fx()yfx7.已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ，则由该观测数据算得的线性回归xy 3,.5xy方程可能是（ ）A B C. D0.42.32.4yx29.0.4yx8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A64 B C. 16 D6431639. 是 所在平面内一点， ，则 ， 是点 在DC(,)ABCR01D内部（不含边界）的（
3、）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要10.命题 ， 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）0:,4px00sin2cosxaaA B C. D1aa1211.过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，点 ，若 ，则直线 的2:CyxFlC,AB(1,)M0ABl斜率 （ ）kA -2 B -1 C. 1 D212.函数 存在零点，则实数 的取值范围是（ ）()ln(0)axfeaA B C. D102e1e21ae第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.将 3 本不同的数学书和 2 本不同的语文书在书架上排成一行，若
4、2 本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种 （用数字作答）14.设 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，点 ，若 ，12,FC21(0,)xyab(,)Mab1230F则双曲线 的离心率为 15.已知函数 ，若曲线 在点 （ ，其中232(),() 0xxfa ()yfx(,)iiPfx1,23互不相等）处的切线互相平行，则 的取值范围是 123,x a16.若数列 满足： ，且 ，数列 满足na120,3a1()()1nna*(,2)Nnnb，则数列 的最大项为第 项8()nnbb三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满
5、分 12 分）已知 分别为 三个内角 的对边， ,abcABC, 3cossinbaC（1）求 ；（2）若 ，求 的面积,4c18. （本小题满分 12 分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为 ，23乙胜的概率为 ，如果比赛采用 “五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束） 13（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望X19. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点， 是1ABCABC12AM1CP的中点，点 在线段 上，且 AMQ3Q（1）证明： 平面 ；/P
6、（2）若直线 与平面 成角的正弦值为 ，求 的大小1BAM215BAC20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且椭圆上一点 与椭圆左右两个焦点构成的C21(0)xyab2eM三角形周长为 4（1）求椭圆 的方程；C（2）如图，设点 为椭圆上任意一点，直线 和椭圆 交于 两点，且直线 与 轴分别DymC,AB,DABy交于 两点，试探究 和 之间的等量关系并加以证明,PQ12PF12Q21. （本小题满分 12 分）已知函数 ()ln()fxkR（1）当 时，求函数 的极值点；kfx（2）当 时，若 恒成立，试求 的最大值；0()0(,)ba1aeb（3）在（2）的条件下，当
7、 取最大值时，设 ，并设函数 有两个1e()()FmR()Fx零点 ，求证： 1,x21x请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知点 在圆 直径 的延长线上， 切圆 于 点， 分别交 于点 ，COBECAOCD,AEB,FD45ADF（1）求证： 为 的平分线；A（2）若 ，求 的值BC23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程xOyx C为 ，从极点作圆 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线
8、4sinC1C（1）求 的极坐标方程；1C（2）已知曲线 的参数方程为 （ ， 为参数，且 ） ， 与 交于点 ， 与lcosinxty0t0tlCAl交于点 ，且 ，求 的值1B|3Aa24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 均为正实数，且 ,abc2211bc（1）证明： ；3（2）求证： 22441cba试卷答案一选择题1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.D 9.B 10.D 11.C 12.A二填空题13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16. 6三解答题17.解：() cossinbaC3.2 分AABinsi.4 分CAsin
9、3cosinsico即 C3sin又 0CAsinco即 .6 分tanA3() Abcaos22.8 分b3)(c416)(2， 即又由题意知 ，.(当 时等式成立.).10 分4b2cb.12 分3sinABCS18.解：（）设比赛局数分别为 3,4,5 时,甲获胜分别为事件 ，123,A，则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：， , ，.3 分3128()7P2318()()7PAC 233416()()8PC（ ）所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为 .6 分1236=()+()=+21（）由题意可知， 的取值为 3,4,5，X则 ， ,329()()7P32310(
10、4)()()7PXC.9 分24185XC所以， 的分布列为3 4 5P1027的数学期望 .12 分X10817=3+=272EX（ ）19.证明：()取 ，记为点 ,连结中 点MCDQP,中 点为中 点 ，为 AP/D又 , ,1313BQ/又 P/平面 .4 分平 面 AC又 D平 面/平面 .6 分QB（） 两两互相垂直，1,A建立如图所示空间直角坐标系 ，Bxyz设 则各点的坐标分别为：,BCaAb，1(0)()(0,2)(,1)Ma.8 分1,2,0B设平面 的法向量为 ，则 , ，AB(,)nxyznA0byaxz取 ，则可得平面 的一组法向量 ，1xM(1,0)，.10 分12
11、25cos,4anBAb又因为 ， 或 （舍）.28a210,a6即 .12 分,2sin, BACBAC20.解： ，acec24211 FM.3 分，椭圆方程为 .4 分4yx（） ，.5 分902121QP证明如下：设 ，则 ,),(),(0yxDB， )(yxA直线 方程为 ，101令 ，则x1xy)0(10Q，同理 .7 分)0(10xyP，和 均为锐角，21F2Q)(tan101021 xcy)(t 1021xcyFQ )()()(tanta 21021010221 xcyxcyxcyP .10 分)()( 21021000xx与 互余,21FP2Q.12 分9121.解：（） 时
12、， ， 在 单调递增，在1k1()ln()01fxfxx()fx0,1单调递减，故函数 有唯一的极大值点 ，无极小值点.2 分 (1,)（） 时， ，设 ，0k()lbbfxaxa()ln,()bgxax则 .2()gx当 时，则 ，所以 在 单调递增，又 且 时， 与题意矛盾，b()x()gx0,)0x()gx舍.当 时，则 ，所以 在 单调递增， 单调递减，0()0gb(),)b(,)b所以 ，.5 分min()l1xba所以 ，11l1naae故 的最大值为 1.7 分aeb（）由（）知，当 取最大值 1 时，1aeb，1 lnln(),(0)aebFmb记 .9 分l(),0xFm方法
13、一： ，设 ，则 ，lx()lnhxx1()hmx若 ，则 恒成立，所以函数 在 单调递增，与题意不符，舍.0()hx 0,)若 ，则 ， 在 单调递增，在 单调递减，所以若函数m10m()x1(,)有两个零点，则只需 ，解得 .()Fx()e不妨设 ，则 ，1212x设 ，则1()(),0)Gxhxmm1()(),Gxhxm化简可得 ，所以函数 在 单调递增，321x0, 10()0Ghm时， ， ，又因为 ，0x1()()hx122()()hxhx12,+x）且函数 在 单调递减， ， ，即 ，(),m12m12m2lnx所以 成立.12 分21xe方法二：不妨设 ，由题意 ，12x12l
14、nx则 ， 22 112111lnln(),ln()xxmxxm欲证 ，只需证明： ，只需证明： ，即证： ，21e2l()12()x121()lnx即证 ，设 ，则只需证明： ，21lnx21xtln1t也就是证明： .10 分l0t记 ， ，1()ln2,()tut2214(1)()0)tutt在 单调递增，t,)，所以原不等式成立 .12 分()10u22.（）证明： 为圆 的切线， ，CAOCAEB又 为直径， .BE45,45DF又 ,BD,A为 的平分线.4 分C（）解： 又 ，, ,BCABCEQ+180BACEBAoQ，=30AEo所以 .10 分sin12B23.解：（）设 上任意一点的极坐标为C，则点 在圆 上，故 ， sin4所以 的极坐标方程为 .4 分1 )0(2（） 两点的极坐标分别为 ，BA, ),sin2(,siBA又因为 ，0acbcba1122又 acb2)(2）（3c由题中条件知 ，1122ba
