1、启杰教育第 1 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师启杰教育三角函数专题一、三角函数的概念(1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与 终边相同的角,连同 在内,可构成集合或0|36,kkZ|2,kZ(2) 象限角：第一象限角的集合 |x第二象限角的集合 | ,2kk第三象限角的集合 |xZ第四象限角的集合 |,kk(3) 角度、弧度的换算关系：（1） , ,3602rad180r 180ad（4）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为 ,圆心角为 ,半径为 ,则 ,扇形的面积l()rl2Slr(5)、三角
2、函数定义： 若 是角 终边上任意异于 的一点, 为坐标原点, ,则,PxyOOPrsin,cos,tan,cotyxrr(6)、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦 ,三正切,四余弦.（ ）sincostancot二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系： ，tanct1se， siotano（2）商的关系： （3）平方关系：sincsta,ot.ci221cs2、诱导公式+ +启杰教育第 2 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师函数xsinxcosx
3、tanxcotx2coincottansincosanco3itt2sicstact例 1已知 _cot051coin） ， 则，（，解： ） ，（，s两边同时平方，有 联 立 ，与 51csin25csi 求出 ， 3o54sin43ot例 2若 ，则 =（ ）16icsA B C D9733197解： =23cos)2(cos= =1+2 = .故选 A.)(6in97例 3已知 .51cos,0xx（1）求 sinxcos x 的值；（2）求 的值.xcottan22isi32解法一：（1）由 ,251cossini,51si xx平 方 得即 .4921)co(n.24cs x又 故
4、,0si,0s,sin,02 xx .7csix启杰教育第 3 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师（2） xxx sincoi12cottans2sii32 12508)(251)sinsix解法二：（1）联立方程 .cosin,2x由得 将其代入，整理得,51sinx ,012cos52x故 .54cs,3in,02.4cos3c xx或 .57cosinx（2） xxcottans2isi2xsici1212508)342(5)3(sinoin三、两角和与差的三角函数1、两角和与差的三角函数公式：
5、, , 。sin()sicosinco()scoinstanta()12,二倍角公式；2tai2i1；222 21tancossincossi2tant1注意：熟悉以下公式变形（1） （2）tata1tan22coscossi;启杰教育第 4 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师（3） （4）221cos,1cosin21sinicos例 1 在ABC 中，2sinA+cosB=2 ，sinB+2cosA= ，则C 的大小应为( )3A B C 或 D 或636532解：A例 2 ABC 中，已知 co
6、sA= ，sinB= ，则 cosC 的值为（ ）153A. B. C. 或 D.651665651解：A例 3 已知 是第三象限的角，若 等于（ ）sincossin4492， 则A. B. C. D. 232333解：选 A.解析： sincos44()sinco222159sin283242403kkkZ（ ）sin四、三角函数的图象及性质函数 sinyxcosyxtanyx启杰教育第 5 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师图象 o32yoo23定义域 R R|,2xkZ值域 1,1,R奇偶性
7、奇函数 偶函数 奇函数有界性 sinxcosx无界函数最小正周期 22,()32,2()kZk增 区 间减 区 间 ,()2,kZk增 区 间减 区 间 ,2()kZ增 区 间对称轴 ()xkZ()xZ无对称轴对称中心 ,0,02kk,02kmaxin21;kZy时 ，时 ， maxin1;2Zyk时 ， 时 ，(0,)A函数 sinyxcosyAxtanyAxyx2x3x无最值最值单调区间启杰教育第 6 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师定义域 R R2| ,kxkZ值域 ,A,AR奇偶性时是奇函数
8、,kZ时是偶2函数。时是2kZ奇函数, 时是偶函数。 时是奇函数kZ有界性 sinAxAcosxA无界函数最小正周期224,()23,()kZkZ增 区 间 减 区 间 ,2,kkZ增 区 间 减 区 间 22,()k增 区 间对称轴 ()2kx()kx无对称轴对称中心,0kZ 2,0kZ2,0kkZmaxin42;2yAkkZ时 ，时 ， maxin;(2)kyAkZ时 ，时 ，注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求 上的取值范围。sin,0,42（2）注意求单调区间时的整体意识。如：求 的单调增区间,在 上的单调增区间。sin2yx,无最值最值单调区间启杰教育第 7 页
9、共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师而 求单调增区间时 ,先化成 的形式,再求 的单调递减sin26yxsin26yxsin26yx区间。（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时 在对称轴处取最值。sicosy、五、图象变换：函数 的图象可由 的图象做如下变换得到sin0,yAxinx1、先相位变换 周期变换 振幅变换：把 图象上所有的点向左（ ） 或向右（ ）sinyxisinyx00平移 个单位。：把 图象上各点的横坐标伸长（ ）或缩sinyxsiyx1短（ ）到原来的 倍,纵坐标不变。11：把
10、图象上各点的纵坐标伸长（ ）或缩短siyAxsinyxA（ ）到原来的 A 倍,横坐标不变。0A2、先周期变换 相位变换 振幅变换：把 图象上各点的横坐标伸长（ ）或缩短（sinyxsinyxsiyx01）到原来的 倍,纵坐标不变。1：把 图象上所有的点向左（ ）或向右（ ）平移siyxsiyx0个单位. ：把 图象上各点的纵坐标伸长（ ）或缩短（sinyAxsinyx1A）到原来的 A 倍,横坐标不变。01A3、 注意：（1）要会画 在一个周期的图象：（用 “五点法”作i )sin(xy图时，将 看作整体，取 ， 来求相应的 值及对应的 值，再描)0,(Ax2,3x点作图).例 1 为了得到
11、函数 的图像，可以将函数 的图像（ ）62siny y2cosA 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移6363启杰教育第 8 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师解：B例 2函数 为增函数的区间是 ( ),0)(26sinxyA. B. C. D. 3,017, 65,3,解： C例 3函数 的最大值为_.fxx()sincos42解： xin()252当 时 ， 取 最 大 值si()()11xfx例 4 函数 的部分图像是（ ）ycos y y y y O O x O x x O x
12、A B C D 解：选 D.提示：显然 Axy、为 奇 函 数 ， 故 排 除cosBDyx 选， 故 弃时 ， 纵 坐 标且即 当 横 坐 标 ， 判 断 出 相 应 的且令 000例 5 当 23x时 ， 函 数 的 （ ）sincosA. 最大值为 1，最小值为 -1 B. 最大值为 1，最小值为 12C. 最大值为 2，最小值为 D. 最大值为 2，最小值为2解：选 D解析： ，而yxxsincosin()33x6512， ， 故 ，iymaxin21，高考试卷数学三角试题汇集启杰教育第 9 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电
13、话 15914365683 王老师选择题1.（北京卷）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 （A）sin(+)sin+sin （B）sin(+)cos+cos（C）cos(+)sinsin （D）cos(+)coscos2.（北京卷）函数 f(x)= 1cos2x（A）在 上递增，在 上递减0,),23,)(,2（B）在 上递增，在 上递减3（C）在 上递增，在 上递减(,0,),2（D）在 上递增，在 上递减)2(3.（全国卷）当 时，函数 的最小值为 0xxxf2sin8co1)(（A）2 （B） （C）4 （D ）32344.（全国卷）在 中，已知 ，给出以下四个论断： BAsitan
14、 1cottan 2si01cossin22BA其中正确的是CBA222sicos（A） （B） （C） （D）5.（全国卷）函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A) (B) （C） （D）2426.（全国卷）已知函数 y =tan 在（- ， ）内是减函数，则 x2（A）0 1 （B）-1 0 （C ） 1 （D） -17（全国卷）已知 为第三象限角，则 所在的象限是 （A）第一或第二象限（ B）第二或第三象限（C）第一或第三象限（D）第二或第四象限8.（全国卷）设 ,且 ,则 02x1sin2icosxx启杰教育第 10 页 共 15 页盘福路 102
15、号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师(A) (B) (C) (D) 0x74x54x32x9.（全国卷） 22sincos1(A) (B) (C) 1 (D)tatan1210.(浙江卷) 已知 k4，则函数 ycos2 xk(cosx1) 的最小值是( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k111(浙江卷) 函数 ysin(2x )的最小正周期是( )6(A) (B) (C) 2 (D)4212 （江西卷）已知 （ ）cos,3tan则A B C D54541545313.（江西卷）设函数 为 （ ）)(|,sin|
16、i)(xfxf 则A周期函数，最小正周期为 B周期函数，最小正周期为323C周期函数，数小正周期为 D非周期函数14.（江西卷）在OAB 中，O 为坐标原点， ，则当OAB 的面积达最2,0(),1(sin),co,1(A大值时， （ ）A B C D64315、 （江苏卷）若 ，则 =（ ）31sin2cosA B C D97319716 （湖北卷）若 （ ）则),20(tancosinA B C D)6,0()4,64()2,3(17 （湖南卷）tan600的值是 （ ）A B C D333启杰教育第 11 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门
17、205联系电话 15914365683 王老师18 （重庆卷） （ ）)12sin)(co12sin(coA B C D23 319 （福建卷）函数的部分图象如图，)20,)(sinRxy则 （ ）A B4,26,3C D4520 （福建卷）函数 在下列哪个区间上是减函数（ ）xy2cosA B C D4,3,2,0,21.（山东卷）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ） )1cos()sin(xy（A）此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是 )0,12(（B）此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是 （C）此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是2),6(（D）此函数的最小
18、正周期为 ，其图象的一个对称中心是 022（山东卷）函数 ，若 ，则 的所有可能值为（ ）0,1)sin()(2xef 2)(1af（A）1 （B） （C） （D）2, 2,23.（天津卷）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的（ xycos )42sin(xy）(A)横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ,再向左平行移动 个单位长度218(B)横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度4(C)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度启杰教育第 12 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一
19、门 205联系电话 15914365683 王老师(D)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度824（天津卷）函数 ),2,0)(sinRxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）（A） （B）)48sin(xy )48sin(xy（C） （D） 填空题：1.（北京卷）已知 tan =2，则 tan 的值为 ，tan 的值为 234()2.（全国卷）设 a 为第四象限的角，若 ，则 tan 2a =_.51sina3.（上海卷）函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则2,0|i|sin)(xxf ky的取值范围是_。k4.（上海卷）函数 的最小正周期
20、 T=_ycosi2cos5.（上海卷）若 ， ，则 =_。71,036.（湖北卷）函数 的最小正周期与最大值的和为 .cos|in|xy7.（湖南卷）设函数 f (x)的图象与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a，b 上的面积，已知函数 ysinnx 在0， 上的面积为 （nN * ） ， （i）ysin3x 在0, 上的面积为 2 32；（ii）ysin（3x ）1 在 ， 上的面积为 . 348.（重庆卷）已知 、 均为锐角，且 = . tan),si()cos(则解答题：15 （广东卷）化简 并求函数),)(23sin)2316cos()2316c
21、os() ZkRxxkxkxf 的值域和最小正周期.(f16.（北京卷） 已知 =2，求 tan2启杰教育第 13 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师（I） 的值； （II） 的值.tan()46sinco32答案：选择题1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8. C 9.B 10.A 11.B 12.B 13.A 14.D 15.A 16.C 17.D 18.D 19.C 20 C 21.B 22.B 23.C 24.A 填空题：1.- 2. 3. 4. 5. 6.714313k1
22、4217. , 8.2解答题：15解： )23sin()23cos()23cos()( xxkxkxf )in)2xcs4所以函数 f(x)的值域为 ，最小正周期4,2T16.解：（I） tan =2, ;22tan4t13所以 = ；tantan4tan()41t1473（II）由(I ), tan= , 所以 = = .36sicon26tan2()6启杰教育第 14 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师三角恒等变换公式图启杰教育第 15 页 共 15 页盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205联系电话 15914365683 王老师
