1、1不等式题型分类解析(2016 版)一不等式的性质：1.应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：ab caba,(3)加法法则： ； (同向可加)cdcdb,(4)乘法法则： ； c0, c0,(同向同正可乘) (5)倒数法则： bdadba,0 baba10,(6)乘方法则： )1*nNn且(7)开方法则： (0且2.应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3.应用不等式性质证明不等式例 1：对于实数 cba,中，给出下列命题： 2则若 ； bac则若 ,2； ,0b则若 ； 10则若 ； aba则若 ； 则若 ,； bcc则若
2、 ,； ab或，则 0,ab其中正确的命题是_ 例 2： a b 0, 下列不等式一定成立的是 ( )A a+ B C D1a2ba22例3：下列不等式一定成立的是（ ）A B)0(lg)4l(2xx ),(sin1ZkxxC D|1R )2R真题：【2012 湖南卷文】设 a b1， ，给出下列三个结论：0c ； ； ，cabclog()l()bacbc其中所有的正确结论的序号是_2例 4：已知 1xy， 13xy，则 xy的取值范围是_。例 5： ，已知函数满足 ， ，则 的取值范围2()(0)fxab1()2f(1)5f(3)f_二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配
3、方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3分析法； 4平方法；5分子（或分母）有理化； 6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。例 6：设 、 都是正实数，比较 与 的大小ab1122abab例 7：设 、 都是正实数，且 ，比较 与 的大小abababa例 8：设 ，则 与 的大小关系为5a34a5a例 9：设 a， b 是不相等的正数， ， ， ， ，试比较2baAaGbH22baQA、 G、 H、 Q 的大小真题：【2012 上海卷文】设 ， ， ，则（ ）12log3a0.2b13cA B C Dbcca
4、abac【2012 四川卷文】设 P= ，Q= ，R= ，则（ ）l2l3)2(log3ARQP BPRQ CQRP DRPQ3三.不等式的解法题型 1：一元二次不等式解法及相关问题一元二次不等式 的解集：0022 acbxacbxa或设相应的一元二次方程 的两根为 ， 则不等式2121xx且、 acb42的解的各种情况如下表：0 0 0二次函数 cbxay2（ ）的图象0cbxay2 cbxay2 cbxay2一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(221或 R的 解 集)0(2acbx21x 例 10：一元二次不等式 ax 2b
5、x2 0 的解集是( , )，则 ab 的值是_213例 11：关于 x 的不等式 对所有实数 xR 都成立，则 a 的取值范围logaxy_例 12：若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是 32x真题：【2012 江苏】已知函数 的值域为 ,若关于 x 的不等式 的2()()fabR， 0)， ()fxc解集为 ,则实数 c 的值为_.(6)m，【2015上海理 17】记方程： ，方程： ，方程：210x2xa，其中 ， ， 是正实数当 ， ， 成等比数列时，下列选项中，能推出2340xa1a231a234方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实根 B方程有实根，且无实根C方
6、程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根【2015 高考四川，理 9】如果函数 在区间21810fxmxnmn，上单调递减，则 mn 的最大值为（ ）12，A16 B.18 C.25 D. 2题型 2：高次不等式的解法标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；例 13：若 且 ，则不等式 的解集为 .ca0b0)(axbc例 14：不等式 的解集是_.)1(32x【2015 高考上海，文 16】 下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）.2382xA.
7、 B. 2)3)(82xx )3(2xC. D. 12 182x题型 3：分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()0() ()0()0;fxgfxfxfxgg 例 15：不等式 1 的解集是 _.213例 16：不等式 的解集是 _，不等式 的解集是_.0x 0412x题型 4：绝对值不等式解法如 ： xx12035例 17：不等式 的解集是 12x例 18：设函数 ，若 ，则 的取值范围是 3)(f 5)(xf例 19：
8、（选做）若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是_.x|1|3aa题型 5：指数不等式与对数不等式例 20：若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围。x024xx例 21：若不等式 x2log ax0 在(0, )内恒成立,则 a 的取值范围是 ( )1A x1 B a1 C0a D0a666116真题：【2013 年安徽】已知一元二次不等式 的解集为 ,则 的解 集为()2x或 (0)xf_题型 6：含参不等式的解法例 22：已知集合 与 ，若 ，求 的取045|2xA02|2axBABa值范围。例 23：解下列不等式：1. 2.01)(2xa 0)2(ax例 24：关于 的不等式 的
9、解集为 ，求 的解集。x0bax,102xba真题：【2014 浙江理 15】设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_.2(0)()xf()faa6【2014 安徽】设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_.()1fx()3fm四均值不等式相关题型结论：（1） 0,|,2aRa则若（2） )2|(2abbbb 或则、若 （当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么 .a（当仅当 a=b 时取等号）一正、二定、三相等. 3,bccR(4)若 、 、 则（当仅当 a=b=c 时取等号）（5） |, baaba 则、若常用不等式（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用)；2 21ba
10、（2） a、 b、 c R， （当且仅当 时，取等号） ；22ccabc（3）若 ，则 （糖水的浓度问题） 。0,mba题型 1：一正、二定、三相等的应用例 25：下列各函数中，最小值为 2 的是 ( )Ay=x By= sinx ,x (0, )x xsin12Cy= Dy=x232例 26：已知函数 ，求函数的最大值。0,4xy真题：下列函数中，最小值为 4 的是（ ）来源:学科网A B 4yx 4sinyx(0)xC Dex 3loglx题型 2：直接应用形式7例 27：若 ，则 的最小值是_21xy4xy【2015 高考重庆，文 14】设 ,则 的最大值为_.,05ab+=1+3ab【
11、2014福建】若 ，则 x+y 的取值范围是 yx题型 3：配凑项与系数例 28：已知 ，则函数 的最大值 54425x例 29：当 时，则 的最大值 (8)y例 30：已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2例 31：已知 ，则 2a+4b+1的最小值题型 4：已知 求 的最小值问题,cybxaeydx例 32：函数 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 上，其中)1,0()3(logaa 01nymx，则 的最小值为 0mn1n2例 33：设 x、yR + 且 =2,则 2x+3y 的最小值为_yx9真题：【15 年福建文科】若直线 1(0,)xyab
12、过点 (1,)，则 ab的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【2013 年江西 】若正数 x，y 满足 ，则 的最小值是_xy53y43【12 年浙江文科】直线 ax+by+c1=0（b、c0）经过圆 x2+y22y5=0 的圆心，则 的最小值是8【2014 开封模拟】设 ， ，若直线 与圆 相切，则mnR(1)+(2=0mxny22(1)+y=x的取值范围是_ +mn题型 5：双勾函数及其变形例 34：函数 的最小值为_452xy例 35：函数 的最小值为_710()题型 6：利用换元法可以化为一元二次函数型例 36：函数 y2 的值域是_x例 37：函数 则函数的最小值为_,341题型
13、 7：参数方程方法求最值问题（型如 的形式）cbxa2例 38：如果 ,则 的最大值是_2yxyx例 39：已知 ，则 的取值范围_， 的取值范围_22yx题型 8：型如 ，求 取值范围问题（整体思想的运用）abnm例 40：已知 a，b 为正实数， ，求函数 的范围_1043abab例 41：已知 x0，y0，且 4xyx2y=4，则 的最小值为_xy例 42：若 x2+xy+y2=1 且 x、yR，则 n=x2+y2的取值范围是_例 43：若 x，y(0，)，x2yxy30.(1)求 的取值范围；(2)求 x2y 的取值范围例 44：若正实数 x，y 满足 ，则 x+y 的最大值是 【20
14、11 浙江】设 x,y 为实数，若 4x2+9y2+xy=1,则 2x+3y 的最大值为_【2012 重庆】已知 x,y0,x+2y+xy=8,则 x+2y 的最小值为_【2014 上海】若实数 x,y 满足 xy=1,则 + 的最小值为_.2xy【2015 高考湖南，文 7】若实数 满足 ，则 的最小值为( ),ab1ab9A、 B、2 C、 2 D、42题型 9：同时平方法例 44：已知 x，y 为实数， ，则函数 的最值为_103yxyxw3例 45：函数 的最值_25,512x题型 10：对偶式（所有字母互换之后式子不会变化，当字母全部相等时取最值）例 46：若实数满足 ，则 的最小值
15、是 .baba3例 47：若 ，则 的最小值是 .44logl2xy1xy例 48：已知 a、b、c ，且 ，则 的最小值为 .Rabc11cba例 49:若实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2=8，则 a+b+c 的最大值为真题：【2011 北京卷文】设 ，则 的最小值为 . 的1,0bab1ba1最小值为 . 的最小值为 .221a五证明不等式的方法比较法、分析法、综合法、反证法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有： 211()()nnn1 111k kkk例 50：已知 cba，求证： 2
16、22cabacba 例 51：求证： 22113n10例 52：已知 ，证明132na23.21naa例 53：已知 ，证明nna2323.21naa六：不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1.恒成立问题若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上AxfDDminfxA若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上B aB例 54：设实数 满足 ，当 时， 的取值范围是_,xy22(1)y0xyc例 55：设函数 在 及 时取得极值baxf 83)(312（1）求 、
17、 的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 c 的取值范围ab3 ,02)(cxf例 56：设函数 ()xfe（1）证明： 的导数 ；（2）若对所有 都有 ，求 a 的取值范围()fx()fx例 57：当 x1 时，不等式 x+错误！未找到引用源。a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_2.能成立问题（存在性成立问题）若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；DxAxfDmaxfA若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .BinB七：二元一次不等式组与简单线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域：直线 l: ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个
18、部分：（1）直线 l 上的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c=0（2）直线 l 一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足 ax+by+c0（3）直线 l 另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c0)取 得 最 小 值 得 解503xy有 无 数 多 个 ， 则 a 的 值 为 _真题：12【2015 高考山东，理 6】已知 满足约束条件 ，若 的最大值为 4，则 （ ,xy02xyzaxya）A3 B. 2 C. -2 D. -3（2）约束条件含参数例 63：在平面直角坐标系中，不等式组 （a 是常数）所表示的区域的面积是 9，那么04xy实数 a 的值为（ ）A. B
19、. C. -5 D. 13232例 64：已知变量 满足的不等式组 表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则,xy021xyk实数 k=（ ）A. B. C. 0 D. 1202或【15 年福建文科】变量 ,xy满足约束条件 0xym，若 2zxy的最大值为 2，则实数m等于（ ） A 2 B 1 C 1 D题型 3：与直线的斜率有关的最值问题 0yzx表示定点 P（x 0,y0)与可行域内的动点 M(x,y)连线的斜率. 如若目标函数是 1yzx或21，你知道其几何意义吗？例 65：设实数 xy或满足2043y ， ， ，则 yzx的最大值是_13例 66：已知实数 满足 ，记 的最大值为
20、m，最小值为 n，则 m-,xy02yx1ytxn=_例 67：已知变量 满足约束条件 ，则 的取值范围_,xy1xyxyz【15 年新课标 1 理科】若 x,y 满足约束条件 则 yx的最大值为 .题型 4：与距离有关的最值问题 222220000()()()()zzxyzxyxyABC或 或（配方）的结构表示定点 Q （x 0,y0)到可行域内的动点 N(x,y)的距离的平方或距离例 68：已知 5， 1y求 2x的最大、最小值 _例 69：已知2045xy或 求 2025zxy的最小值_ 题 型 5： 求 可 行 域 的 面 积例 70： 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的
21、面 积 为 _2630xy例 71：不等式组 表示的平面区域的面积等于_ ,02xy例 72：在直角坐标平面上，满足不等式组 面积是_2460,3xyxy14【2015 高考重庆，文 10】若不等式组 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，20xym 43则 m 的值为_题 型 6： 求 可 行 域 中 整 点 个 数例 73：满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x， y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 _例 74：在直角坐标系中，由不等式组 所确定的平面区域内整点有_30,651,xy题 型 7： 特 殊 题 型例 75： 已 知 |2x y m| 3 表
22、示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0） 和 （ 1,1） ， 则 m 的取 值 范 围 是 _例 76：定义在 R 上的函数 是减函数，且对任意的 ，都有 。若 满()f aR()0faf,xy足不等式 ，则当 时， 的最大值为（ ）22()0fxy14x2yA. 1 B. 10 C. 5 D. 8例 77：已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）,xy3701xy|yxA. 3 B. 4 C. D. 322【2015 高考四川，文 9】设实数 x，y 满足 ，则 xy 的最大值为( )10246xy(A) (B) (C)12 (D)142542【15 年陕西，文科】某企业生产
23、甲乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业15每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原 料 限 额A(吨 ) 3 2 12B(吨 ) 1 2 8A12 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元八：不等式的实际应用例 78：某工厂要制造 A 种电子装置 45 台， B 电子装置 55 台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为 2 平方米，可作 A 的外壳 3 个和 B 的外壳 5 个；乙种薄钢板每张面积 3 平方米，可作 A 和 B
24、的外壳各 6 个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小? 例 79：某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米。（1）若设休闲区的长 米，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 的函数 的解析式；1ABxx)(S（2）要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？例 80：私人办学是教育发展的方向，某人准备投资 1200 万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行
25、调查，得出一组数据列表(以班级为单位)：市场调查表班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万元)A BCDA1 B1C1D110 米 10 米4 米4 米16初中 50 2.0 28 1.2高中 40 2.5 58 1.6根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年可收取 600 元，高中每生每年可收取 1500 元.因生源和环境等条件限制，办学规模以 20 至30 个班为宜，教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资?九：选修 4-5 知识点补充1.绝对值三角不
26、等式 .abab2.常用不等式： ， ，当且仅当 时取 号）.212,abR（ ab“（即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）变形： 22;ab22().3.幂平均不等式 222112.(.).nna4.二维形式的三角不等式： 22221 11()()xyxyxy12(,).xyR5.二维形式的柯西不等式：当且仅当 时，等号成立.222()()(,).abcdacbcdRadbc变形： 26.排序不等式：设 为两组实数. 是 的任一排1212.,nn12,.nc12,.nb列，则 （反序和 乱序和12nababcac1ba顺序和），当且仅当 或 时，反序和等于顺序和.12.n12nb例 81：函数 的最小值为_46yx例 82：不等式 的解集为_ 359例 83：已知 ，求证：1abc2213abc例 84：如果关于 的不等式 的解集不是空集，求参数 的取值范围。x34xa17例 85：已知 ，比较 与 的大小。,abcR33abc22abc例 86：设 且 ，求 的最大值及最小值。例 87：已知 ， ，求 的最值
