1、2016 年甘肃省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 甘肃一模）已知集合 A=0，1，B= 1，0，a+2，且 AB，则实数 a=（ ）A0 B1 C 2 D32 （5 分） （2016 甘肃一模）复数 z= （i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）A （1，4） B （4， 1） C （4，1） D （1，4）3 （5 分） （2015 安徽）设 p：1x2，q：2 x1，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不
2、充分也不必要条件4 （5 分） （2016 甘肃一模）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Ay=x 2+1 By=2 |x| Cy=lnx Dy=cosx5 （5 分） （2016 甘肃一模）为了了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了 n 名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间（单位：小时）都在10，50，其中锻炼时间在30，50的学生有 134 人，频率分布直方图如图所示，则 n=（ ）A150 B160 C180 D2006 （5 分） （2016 甘肃一模）若变量 x，y 满足约束条件 ，且 z=x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn=（ ）A5 B6 C7 D
3、87 （5 分） （2016 甘肃一模）设非零向量 ， ， 满足| |=| |=| |， + = ，则向量 与向量 的夹角为（ ）A150 B120 C60 D308 （5 分） （2016 甘肃一模）如图三棱锥，则该三棱锥的俯视图是（ ）A B C D9 （5 分） （2016 甘肃一模）如图表示的是求首项为 2016，公差为3 的等差数列a n前 n 项和的最大值的程序框图，则和处可填写（ ）Aa0？，a=a3 Ba0？， a=a+3 Ca0？，a=a3Da0？，a=a+310 （5 分） （2016 甘肃一模）若 A（x l，y 1） ，B （x 2，y 2）为平面上两点，则定义 AB=
4、x1y1+x2y2，已知点 M（ ，sinx） ，N（ 1，cosx） ，设函数 f（x）=MN，将 f（x）的图象向左平移 （0）个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C D11 （5 分） （2016 甘肃一模）过点 P（l ， ）的直线 l 截圆 x2+y2=5 所得弦长不小于 4，则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ， B ， C ， D ，12 （5 分） （2016 甘肃一模）设函数 fn（x）是 fn（x）的导函数， f0（x）=e x（cosx+sinx） ，f 1（x）=，f 2（x）= ， （nN） ，则 f2016（x）= （ ）Ae
5、x（cosx +sinx） Be x（cosx sinx） C ex（cosx+sinx ） De x（sinxcosx）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2016 甘肃一模）函数 ，则 ff（ 1）=_14 （5 分） （2016 甘肃一模）已知 ，（0， ） ，cos = ，cos （+）= ，则 cos=_15 （5 分） （2016 甘肃一模）已知双曲线 =l（a0，b0）的一条渐近线与直线 2x+y3=0 垂直，则该双曲线的离心率为_16 （5 分） （2016 甘肃一模）已知正四面体 ABCD 的棱长为 l，E 是 AB 的中点，过 E 作其外接球的
6、截面，则此截面面积的最小值为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分） （2016 甘肃一模）已知等差数列a n中，公差 d0，a 1=2，且 a1，a 3，a 7 成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）记 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分） （2016 甘肃一模）如图，在三棱锥 PABC 中，E、F 、G 、H 分别是棱 PB、PC 、AB、BC的中点，PA平面 ABC，ABAC，PA=AB=AC=2（ I）证明：FGAH；（）求三棱锥 EFGH 的体积19 （12 分） （2013 陕西）有 7 位歌手（1 至 7 号）参加一场歌唱
7、比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为 5 组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50（） 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入下表组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 6（） 在（）中，若 A， B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率20 （12 分） （2016 甘肃一模）已知 F1，F 2 为
8、椭圆 =l（ab0）的左、右焦点，B 1，B 2 椭圆短轴的端点，四边形 F1B1，F 2B2 为正方形且面积等于 50（I）求椭圆方程；（）过焦点 Fl 且倾斜角为 30的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，求F 2MN 内切圆的半径21 （12 分） （2016 甘肃一模）设函数 f（x）=（ax+b）e x，g（x）= x2+cx+d若函数 f（x）和 g（x）的图象都过点 P（0，1） ，且在点 P 处有相同的切线 y=2x+1（I）求 a，b，c，d 的值；（）当 x0，+）时，判断函数 h（x）=f （x） g（x ）的单调性【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分） （201
9、6 甘肃一模）如图所示，AB 为圆 D 的直径，BC 为圆 O 的切线，过 A 作 OC 的平行线交圆 O 于 D，BD 与 OC 相交于 E（I）求证：CD 为圆 O 的切线；（）若 OA=AD=4，求 OC 的长【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23 （2016甘肃一模）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程是（x2） 2+（y l） 2=4，直线 l 经过点P（3， ） ，倾斜角为 ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的参数方程；（）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|OA|OB|的值【选修 4-5：不等式选
10、讲】24 （2016甘肃一模）设函数 f（x）=|xa|（aR） （I）当 a=3 时，解不等式 f（ x）4 |x+l|；（）若不等式 f（x）l 的解集为1，3，且 （m0，n0） ，求 m+2n 的最小值2016 年甘肃省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 甘肃一模）已知集合 A=0，1，B= 1，0，a+2，且 AB，则实数 a=（ ）A0 B1 C 2 D3【分析】利用集合的关系列出方程求解即可【解答】解：集合 A=0，1，B=1，0，a
11、 +2，且 AB，可得 a+2=1，解得 a=1故选：B【点评】本题考查集合的包含关系的应用，是基础题2 （5 分） （2016 甘肃一模）复数 z= （i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）A （1，4） B （4， 1） C （4，1） D （1，4）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 在复平面内对应点的坐标得答案【解答】解：z= = ，复数 z= 在复平面内对应点的坐标是（4，1） ，故选：C【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分） （2015 安徽）设 p：1x2，q：2 x1，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分
12、条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断【解答】解：由 1x2 可得 22 x4，则由 p 推得 q 成立，若 2x1 可得 x0，推不出 1x2由充分必要条件的定义可得 p 是 q 成立的充分不必要条件故选 A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题4 （5 分） （2016 甘肃一模）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Ay=x 2+1 By=2 |x| Cy=lnx Dy=cosx【分析】判断函数的奇偶性，然后判断函数是否有零点【解答】解：y=x 2+1 是偶函数，但是没有零点；y
13、=2|x|，是偶函数，没有零点；y=lnx 是奇函数，不满足题意；y=cosx 是偶函数，有零点故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性，函数的零点定理的应用，考查计算能力5 （5 分） （2016 甘肃一模）为了了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了 n 名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间（单位：小时）都在10，50，其中锻炼时间在30，50的学生有 134 人，频率分布直方图如图所示，则 n=（ ）A150 B160 C180 D200【分析】先求出锻炼时间在30，50频率，进而求出答案【解答】解：由图象得：锻炼时间在30，50频率是：1（100.01+100.23）=0.67，由
14、n= ，得 n=200，故选：D【点评】本题考察了频率分布直方图问题，考察频率问题，本题是一道基础题6 （5 分） （2016 甘肃一模）若变量 x，y 满足约束条件 ，且 z=x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn=（ ）A5 B6 C7 D8【分析】作出可行域，将目标函数变形为 y=x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由 z=x+y 得 y=x+z，由可行域可知当直线 y=x+z 经过点 A 时，直线截距最大，即 z 最大，当直线 y=x+z 经过点 B 时，直线截距最小，即 z 最小解方程组 得 x=4，y=5
15、z 的最大值 m=4+5=9解方程组 得 x=1，y=2z 的最小值 n=1+2=3mn=6故选：B【点评】本题考查了简单的线性规划，作出可行域是解题关键7 （5 分） （2016 甘肃一模）设非零向量 ， ， 满足| |=| |=| |， + = ，则向量 与向量 的夹角为（ ）A150 B120 C60 D30【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角【解答】解：设 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形 OACB，则 = | |=| |，四边形 OACB 是菱形设 OA=AC=1，则 OC= cosAOC= = AOC=30故选：D【点评】本题考查了平面向量加法的几何意义，向量的夹
16、角计算，属于基础题8 （5 分） （2016 甘肃一模）如图三棱锥，则该三棱锥的俯视图是（ ）A B C D【分析】找出 A 在底面的投影，得出俯视图形状【解答】解：点 A 在底面的投影为点 A 正下方的正方体的顶点 A故棱锥的俯视图为等腰直角三角形 ABC，其中棱 BD 被侧面 ABC 挡住，故需画成虚线故选：D【点评】本题考查了简单几何体的三视图的定义，属于基础题9 （5 分） （2016 甘肃一模）如图表示的是求首项为 2016，公差为3 的等差数列a n前 n 项和的最大值的程序框图，则和处可填写（ ）Aa0？，a=a3 Ba0？， a=a+3 Ca0？，a=a3Da0？，a=a+3【
17、分析】由程序设计意图可知，处应求通项，有 a=a3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n 项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求处可填写：a0【解答】解：由程序设计意图可知，S 表示此等差数列a n前 n 项和，故处应该填写 a=a3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前 n 项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故处可填写：a0故选：A【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了等差数列的求和公式，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，属于基础题10 （5 分） （2016 甘肃一模）若 A（x l，y 1）
18、，B （x 2，y 2）为平面上两点，则定义 AB=x1y1+x2y2，已知点 M（ ，sinx） ，N（ 1，cosx） ，设函数 f（x）=MN，将 f（x）的图象向左平移 （0）个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C D【分析】由新定义可求 f（x）的解析式，利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可求平移后的解析式，图象关于 y 轴对称，可得此函数在 y 轴处取得函数的最值，从而可得结论【解答】解：由题意，可得：f（x）=M N= sinxcosx=2sin（x ） ，将 f（x）的图象向左平移 （0）个单位长度后，所得图象的解析式为：y=2sin
19、 （x+ ） ，所得图象关于 y 轴对称，可得此函数在 y 轴处取得函数的最值，可得： =k ，kZ，解得：=k+ ，kZ，由 0，可得 = 故选：C【点评】本题考查三角函数的辅助角公式的应用，函数 y=Asin（x+）的图象变换，偶函数的性质，三角函数的对称轴的应用，综合的知识比较多，属于中档题11 （5 分） （2016 甘肃一模）过点 P（l ， ）的直线 l 截圆 x2+y2=5 所得弦长不小于 4，则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ， B ， C ， D ，【分析】当直线的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=1，此时直线 l 的倾斜角 ；当直线的斜率存在时，设直线 l：y=
20、k （x 1） ，求出圆心（0，0）到直线 l：y=k（x 1） 的距离，由此利用勾股定理求出斜的范围，从而能求出直线 l 的倾斜角的取值范围【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=1，把 x=1 代入圆 x2+y2=5，得 ，或 ，直线 x=1 截圆 x2+y2=5 所得弦长等于 4，此时直线 l 的倾斜角 ；当直线的斜率存在时，设直线 l：y=k（x 1） ，圆 x2+y2=5 的圆心（0，0） ，半径 r= ，圆心（0，0）到直线 l：y=k （ x1） 的距离 d= ，过点 P（l， ）的直线 l 截圆 x2+y2=5 所得弦长不小于 4，5 ，解得 k ，综上，直线
21、 l 的倾斜角的取值范围是 ， 故选：C【点评】本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用12 （5 分） （2016 甘肃一模）设函数 fn（x）是 fn（x）的导函数， f0（x）=e x（cosx+sinx） ，f 1（x）=，f 2（x）= ， （nN） ，则 f2016（x）= （ ）Ae x（cosx +sinx） Be x（cosx sinx） C ex（cosx+sinx ） De x（sinxcosx）【分析】我们易得到 fn（x）表达式以 8 为周期，呈周期性变化，由于 20168 余 0，故 f2008（x）=f0（x） ，进而得到答案【解答】解：f 0（x）=e x（ cosx+sinx） ，f 0（x）=e x（ cosx+sinx）+e x（sinx +cosx）=2e xcosx，f 1（x）= = excosx，f 1（x）= ex（cosx sinx） ，f 2（x）= =ex（cosxsinx ） ，f 2（x）=e x（ cosxsinx）+e x（ sinxcosx）=2e xsinx，f 3（x）= exsinx，f 3（x）= ex（sinx+cosx） ，f 4（x）= ex（cosx+sinx） ，
