1、1专题 27 函数与线段破解策略常见的有三类问题：1距离问题（1）点 到直线的距离：如图，点 P 到直线 l 的距离，可线求出 PAB 的面积，则该三角形AB 边上的 高线就是点 P 到直线 l 的距离 P PBA（2）点到点的距离（线段长度）：若点 ， ，则 ；0,Axy1,Bxy220101ABxy若点 A 在直线 上，点 B 在抛物线 上，设点 ，kbmnxc0,Axkb，则 ，211,Bxmnc2220101xkxb当点 A， B 横坐标相同时， 21Anc当点 A， B 纵坐标相同时， 01Bx2线段定值问题（1）单独的线段定值：线段的定值可以成点到点的定值（2）多个线段加、减、乘、
2、除组合定值：通过两点间的距离公式表示出对应的线段，再代入多个线段加、减、乘、除组合的式子中，通过计算得出一个常数；通过全等或相似找出线段间的关系，进行加、减、乘、除、运算后得到一个常数3线段垂直问题（1）代数法：证明两条线段垂直时，可以将两条线段所在直线的表达式求出例如， ， ，则 11:lykxb22:lykxb12k（2）几何法根据几何图形的性质证明例如，根据等腰三角形三线合一，菱形的对角线互相垂直平分等性质进行证明；利用相似或全等的性质，将等角转移，从而得到 90角例题讲解例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线12yx与抛物线 23yaxb交于 A， B两点，点 A 在 x 轴
3、上，点 B 的纵坐标为 3， P 是线段 AB 下方的抛物线上的一个动点（不与2点 A， B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB于点 D（1）求 a， b 及 sin ACP 的值；（2）求出线段 PC， PD 长的最大值解：（1）由102x，得到 x2，所以点 A 的坐标为 2,0由3，得到 x4,所以点 B 的坐标为 4,3因为抛物线 23yab经过 A， B 两点，所以1,，设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则点 E 的坐标为 0,1， AE 5因为 PC/y 轴，所以 ACP AEO所以 sin ACPsin AEO25OA（2）由（1）可知，抛
4、物线的表达式为213yx，设点 P 的坐标为21,3m，点 C 的坐标为,1mPC21224219，所以当 m1 时， PC 有最大值9在 Rt PCD 中， PD PCsin ACP25951m，因为50，所以当 m1 时， PD 有最大值 例 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，开口向上的抛物线与 x 轴交于 A， B 两点， D 为抛物线的顶点， O 为坐标原点若 A， BO两点的横坐标分别是方程 230x的两根，且 DAB453（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）若 C 点坐标为 5,6，过点 A 任作直线 l 交线段 CD 于点 P，若点 C， D 到直线 l 的距离分别记
5、为 12,d，试求 12d的最大值解：（1）解方程 230x得 12,3x，而 OAB，则点 A 的坐标为 1,， B 的坐标为 ,，如图 1，过点 D 作 1x轴于点 D1，则 D1为 AB 的中点，所以点 D1的坐标为 ,0因为 DAB45，所以 AD1 DD12所以点 D 的坐标为 ,令抛物线的表达式为 y a（ x1） 22，因为抛物线过点 A（1，0） ，所 以 04 a2，得 a ，所以抛物线的表达式为 y （ x1） 22（2）由已知条件可得 AC6 ， AD2 ， DC4 ，所以 AC2 AD2 DC2，5所以 CAD90，如图，过 A 作 AM CD 于点 M4xy ld1d
6、2MBCADOP因为 ACAD DCAM，所以 AM 122456因为 S ADC S APD S APC，所以 ACAD APd1 APd2，1d1 d2 24 4 ，即此时 d1 d2的最大值为 4 4APM65 5例 3 已知：如图，抛物线 与坐标轴交于 A， B， C 三点，点 A 在点 B213yx左侧，点 C 为抛物线与 y 轴的交点， BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC 于点 E，过点D 的直线 l 与射线 AC， AB 分别交于点 M， N证明：当直线 l 绕点 D 旋转时，均为定值，并求出该定值1AMNxyEMNDBCAO解 设直线 AC 的表达式为 y m
7、x3xGEMNDBCAO5将点 A 的坐标代入得 ，30解得 ，m所以直线 AC 的表达式为 3yx所以 CAO60， D（0，1） 设直线 MN 的表达式为 y kx1，所以点 N 的坐标为 ,k所以 131A将 与 y kx1 联立得 ，3yx23xk所以点 M 的横坐标为 23k过点 M 作 MG x 轴，垂足为 G，则 AG 23k因为 MAG60， AGM90，所以 AM2 AG 423k故 3113 221kkkAMN例 4 如图，抛物线 y x2 bx c 的顶点坐标为 M（0，1） ，与 x 轴交于 A， B 两点（1）求抛物线的表达式；（2）判断 MAB 的形状，并说明理由；
8、（3）过原点的任意直线（不与 y 轴 重合）交抛物线于 C， D 两点，连结 MC， MD，试判断是否 MC MD，并说明理由 xyCMA BOD xyFECMA BOD解：（1）因为抛物线 y x2 bx c 的顶点坐标为 M（0，1） ，6所以抛物线的表达式为 y x21（2） MAB 是等腰直角三角形理由如下：因为点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ，所以 OA OB OM1所以 AMO MAO BMO MBO45，所以 AMB90， BM AM所以 MAB 是等腰直角三角形（3） MC MD理由如下：如图，分别过点 C， D 作 y 轴的平行线，分别交 x 轴于点
9、 E， F，过点 M 作 x 轴的平行线，交 EC 延长线于点 G，交 DF 延长线于点 H设点 D 的坐标为（ m， m21） ，点 C 的坐标为（ n， n21） ，所以 OE n， CE1 n2， OF m， DF m21，因为 OM1，所以 CG n2， DH m2因为 EG DH，所以 ， 即 ，所以 mn1，即 m EFO1因为 n， n，所以 CGM2DH2CGMHD因为 CGM MHD90，所以 CGM MDH，所以 CMG MDH因为 MDH DMH90 ，所以 CMG DMH90，所以 CMD90，即 MC MD进阶训练1已知抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为（1，
10、0） ，与 y 轴的交点坐标为（0， ） ，14R（1，1）是抛物线对称轴 l 上的一点（1）若 P 是抛物线上的一个动点（如图 1） ，求证：点 P 到点 R 的距离与点 P 到直线y1 的距离恒相等；（2）设直线 PR 与抛物线的另一交点为 Q， E 为线段 PQ 的中点，过点 P， E， Q 分别作直线y1 的垂线，垂足分别为 M， F， N（如图 2） 求证： PF QFxylMROP xylFENQMROP1略【提示】 （1）题意可得抛物线表达式为 214yx设点 P 的坐标为（ x， ） ，则 PM 214由两点间距离公式得 PR2（ x1） 2 22144xx（2）因为 QN Q
11、R， PR PM，所以 PQ PR QR PM QN根据题意可得 EF 为梯形 PMNQ 的7中位线，即 EF （ QV PM） PQ所以 EF EQ EP，即点 F 在以 PQ 为直径的圆上，1212所以 PF QF2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于 A， B 两点（点 A32xy在点 B 的右侧） ， 与 y 轴交于点 C，抛物线上有一动点 P，过动点 P 作 PE y 轴于点 E，交AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连结 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P的坐标答 案：当 EF 最短时，点 P 的坐标是（ ）或（ ）23,102
12、3,10提示：如图，连结 OD，因为四边形 OFDE 是矩形，所以 OD EF，所以当 OD AC 时， OD 最短，即 EF 最短根据 OC OA，可以得到点 P 的纵坐标xyEFDC BAO P3、如图，在平面直角坐标系 xOy 中， AB x 轴于点 B， AB3，tan AOB ，将 OAB 绕43着原点 O 逆时针旋转 90，得到 OA1B1，再将 OA1B1绕着线段 OB1的中点旋转 180，得到 OA2B1，抛物线 经过点 B， B1， A202acbxy（1）求抛物线的表达式；（2）在第三象限内，抛物线上是否存在点 Q，使点 Q 到线段 BB1的距离为 ？若存在，2求出点 Q
13、的坐标；若不存在，请说明理由答案：（1）抛物线的表达式为 4312xy（2）存在点 Q 的坐标是（1 ，4）或（3，2）提示：（2）假设在第三象限的抛物线上存在点 Q（ ） ，使点 Q 到直线 BB1的距离为0,y，连结 BB1，过点 Q 作 QD BB1于点 D，过 Q 作 QE X 轴于点 E，因为82421,382111 0 QBOBBQQEB SxSS四 边 形所以 x01 或 x03所以这样的点 Q 的坐标是（1，4）或（3，2） xyB1A1AA2B O4、如图， ABC 为直角三角形， ACB90， AC BC，点 A， C 在 x 轴上，点 B 坐标为（3， m） （ m0）
14、，线段 AB 与 y 轴相交于点 D，以 P（1，0）为顶点的抛物线过点 B，D（1）求点 A 的坐标（用 m 表示） ；（2）求抛物线的表达式；（3）设 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一个动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E，连结 BQ并延长交 AC 于点 F，证明： 的值为定值ECA答案：（1）点 A 的坐标为（3 m，0） ；（2）抛物线的表达式为 （3）略12xy提示：（3）如图，过点 Q 作 QM AC 于点 M，过点 Q 作 QN BC 于点 N，设点 Q 的坐标为（ x， x22 x1） ，则 QM CN（ x1） 2， MC QN3 x，因为 m4，所以 BC A
15、C4，因为 QM CE，所以 PQM PEC，从而 ，即PCE21E得 EC2（ x1） 因为 QN FC所以 BQN BFC，从而 ，即BF得 FC ，因为 AC4，所以432FC1x，所以 FC（ AC EC）的值8124 xEA为定 值9xyEFPDA CBOQ5、如图，折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 C 落在 OA 边的点 D 处，已知折痕 BE ，且5，以 O 为原点， OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，抛物线 l：34ED经过点 E，且与 AB 边相交于点 F若 M 是 BE 的中点，连结 MF，求证：cxy216MF BD答案：提示因为 Rt ABDRt ODE设 OE3 k，则 OD4 k， CE DE5 k， AB OC8;，可得 AD6 k， OA BC BD10 k，于是 BE ，解得 k1，所以抛物10522线的表达式为 ，因为216xyDF ， BF AB AF8 ， BDE90， M 是472AFD4257BE 的中点（斜边中线的性质） ，所以 MF 是线段 DB 的中垂线，故 MF BDxyMFDECABO
