1、1专题 18 弦图模型破解策略1内弦图如图，在正方形 ABCD 中， BF CG， CG DH， DH AE， AE BF，则 ABE BCFCDG DAH证明 因为 ABC BFC90所以 ABE FBC FBC FCB90所以 ABE FCB又因为 AB BC所以 ABE BCF，同理可得 ABE BCF CDG DAH HGFEDCBA2外弦圈如图，在正方形 ABCD 中，点 M， N， P， Q 在正方形 ABCD 边上，且四边形 MUPQ 为正方形，则 QBM MCN NDP PAQ 证明 因为 B QMN C90，所以 BQM QMB QMB NMC90，所以 BQM NMC又因为
2、 QM MN，所以 QBM MCN同理可得 QHM MCN NDP PAQ NMQPDCBA3括展（1）如图，在 Rt ABH 中 ABH90， BE AH 于点 E所以 A BE BHE AHB（2）如图，在 Rt QBM 和 Rt BLK 中， QB BL， QM BK，所以 QBM BLK2EHBA证明 因为 BLK90， QM BK，所以 KBL QMB KBI 十 K 90所以 QMB K，又因为 QB BL所以 QBM BLK LKQBME例题讲解例 1 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 所在的直线上，连结 CE，以 CE为边，作正方形 CEFG（点 D
3、， F 在直线 CE 的同侧） ，连结 BF当点 E 在线段 AD 上时，AE1，求 BF 的长 GFEDCBA解 如图，过点 F 作 FH AD 交 AD 的延长线于点 H，延长 FH 交 BC 的延长线于点 K因为四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形，根据“弦图模型”可得 ECD FEH，所以 FH ED AD AE3， EH CD4因为 CDHK 为矩形，所以 HK CD4， CK DH EH ED1所以 FK FH 十 HK7， BK BC CK5所以 BF 2FKB3HKABCDEFG例 2 如图， BCD 为等腰直角三角形， CBD90， BAC 45，若 S ACD4
4、5，求AC 的长 DCAB解 如图，过点 B 作 BE AC 于点 E，过点 D 作 DF BF 交 EB 的延长线于点 F由“外弦图模型”可得 BFD CEB，所以 BF CE易证 AE BE，所以 AC EF，所以 S ACD ACEF AC245，12从而 AC3 EFBACD例 3 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明（1）如图 1，在矩形 ABCD 中， EF CH， EF 分别交 AB， CD 于点 F， F， GH 分别交AD， BC 于点 G H 求证： EFADB（2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AM
5、 BN，点 M， N 分别在边 BC， CD 上，若 ， 则 EF5BNM（3）如图 3，在四边形 ABCD 中， ABC90， AB AD10， BC CD5， AM DN，4点 M， N 分别在边 BC， AB 上，求 的值DNAM 图3图2图1DNMBANMA BCDGFE HHEFGD CBA解 （ 1） ）如图 4过点 A 作 AP EF交 CD 于点 P，过点 B 作 BQ GH，交 AD 于点Q因为四边形 ABCD 是矩形所以 AB DC， AD BC所以四边形 AEFP，四边形 BHGQ 都是平行四边形，所以 AP EF， GH BQ又因为 CH EF所以 AP BQ所以 QA
6、T AQT90因为四边形 ABCD 是矩形，所以 DAB D90，所以 DAP DPA90，所以 AQT DPA所以 PDA QAB所以 ，PQD所以 EFGHAPTQHGFE BD CA5（2）因为 EF GH， AM BN所以由（1）中的结论可得 ， EFGHADBNM所以 BNAMEF15（3）如图 5过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 且平行于 BC 的直线于点 P，交 BC的延长线于点 S则四边形 ABSR 是平行四边形因为 ABC90，所以四边形 ABSR 是矩形 所以 R S90， RS AB10， AR BS因为 AM DN所以由（1）中的结论可得 DNAMRB设 S
7、C x， DS y，则 AR BS5 x RD10 y ，所以在 Rt CSD 中， x2 y225在 Rt ARD 中 （5 x） 2（10 y） 2100联立方 程组 ，225()(10)得 （舍） ，或 50xy34xy所以 AR5 x8，所以 DNAMRB105NMSR DCBA进阶训练61如图，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线， y （ k0）同时经过点xB且点 A 在点 B 的左侧，点 A 的横坐标为 AOB OBA45，则 k_ 2_xy BAO2如图，巳知 ABC90， D 是直线 AB 上的点， AD BC E 是直线 BC 上的一点，且CE BD直线 AE， DC
8、相交于点 P， APD 的度数是一个固定的值吗？若是， 请求出它的度数；若不是，请说明理由EPDCBA3如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，且不与 A， D 重合 BP 的垂直平分线分别交 CD， AB 于 E， F 两点，垂足为 Q，过点 E 作 EH AB 于点 H EH 与 BP 交于点 M求证：HF AP7HFEQPD CBA参考答案：专题 18： 弦图模 型11 5【提示】过点 A 作 AM y 轴于点 M，过点 B 作 BD x 轴于点 D，直线 AM， BD 交于点 N，则四边形 OMND 为矩形，易证 AOM ABN，所以 AM BN ， OM AN ， BD 22kk， OD ，所以点 B（ ， ） ，根据双曲线表达式，有2k22kk（ ）（ ） k，解得 k1 5xy DNM ABO2 APD45，为固定值【提示】 如图，过点 A 作 AF AB，并截取 AF BD，连结 DF， CF可得AF CE， AF CE，所以四边形 AFCE 是平行四边形，所以 FC AE， APD FCD易证DAF CBD则12， FD DC从而 APD FCD458F32 1ABCDPE3略【提示】 显然四边形 EHBC 为矩形，所以 FH BC AB，所以 PAB FHE（ ASA） 所以 HF AP
