1、1专题 9 费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离若三角形的内角均小 于 120，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点就是到三个顶 点距离之和最小的点1.若三角形有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在 ABC 中， BAC120，求证：点 A 为 ABC 的费马点证明：如图，在 ABC 内有一点 P 延长 BA 至 C，使得 AC AC，作 CAP CAP，并且使得AP AP，连结 PP则 APC APC， PC PC因为 BAC120所以
2、PAP CAC60所以在等腰 PAP 中， AP PP所以 PA PB PC PP PB PC BC AB AC所以点 A 为 ABC 的费马点2.若三角形的内角均小于 120，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点2如图，在 ABC 中三个内角均小于 120，分别以 AB、 AC 为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在 ABC 内的交点为 O，求证：点 O 为 ABC 的费马点证明：在 ABC 内部任意取一点 O， ；连接 OA、 OB、 OC将 AOC 绕着点 A 逆时针旋转 60，得到 AO D 连接 OO 则 O D OC
3、所 以 AOO 为等边三角形， OO AO所以 OA OC OB OO OB O D则当点 B、 O、 O 、 D 四点共线时， OA OB OC 最小此时 ABAC 为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在 ABC 内的交点即为点O如图，在 ABC 中，若 BAC、 ABC、 ACB 均小于 120， O 为费马点，则有 AOB BOC COA120 ，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心3例 1 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0） ，点 B 的坐标为（6，0） ，点 C 的坐标为（6， ） ，延长 AC 至点 D 使得 CD AC，过点 DE 作 DE/AB，交3
4、4BC 的延长线 于点 E，设 G 为 y 轴上的一点，点 P 从直线 y x 与 y 轴的交点 M36出发，先沿 y 轴到达点 G，再沿 GA 到达点 A，若点 P 在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定点 G 的位置，使点 P 按照上述要求到达 A 所用的时间最短解： t vGMvG2A2当 2GA GM 最小时，时间最短如图，假设在 OM 上存在一点 G，则 BG AG MG2 AG MG AG BG把 MGB 绕点 B 顺时针旋转 60，得到 M G B，连结 GG ， MM GG B、 MM B 都为等边三角形则 GG G B GB又 M G MG MG
5、 AG BG M G GG AG点 A、 M 为 定 点 AM 与 OM 的 交 点 为 G， 此 时 MG AG BG 最小4点 G 的坐标为（0， ）32例 2 A、 B、 C、 D 四个城市恰好为一个正方形的四 个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将 ABP 绕点 N 逆时针旋转 60，得到 EBM；同样，将 DCQ 绕点 C 顺时针旋转 60，得到 FCN，连结 AE、 DF，则 ABE、 DCF 均为等边三角形，连结 PM、 QN，则BPM， CQN 均为等边三角形所以当点 E， M， P， Q， N，
6、F 共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段 EF 的长，如图，此时点 P， Q 在 EF 上，1 2 3 4 30 FNEMB CA DPQ5进阶训练1如图，在 ABC 中， ABC60 ， AB 5， BC3， P 是 ABC 内一点，求PA PB PC 的最小值，并确定当 PA PB PC 取得最小值时， APC 的度数B CAP答案： PA PB PC 的最小值为 7，此时 APC120 PA PACBE【提示】 如图，将 APB 绕点 B 逆时针旋转 60 ，得到 ABP，连结 PP， AC过点 A作 AE BC，交 CB 的延长线于点 E解 Rt AEC 求 AC 的长，所得即
7、为 PA PB PC的最小值2 如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连结 AM， CM， EN（1）当 M 在何处时， AM CM 的值最小?（2）当 M 在何处时， AM BM CM 的值最小？请说明理由；（3）当 AM BM CM 的最小值为 时，求正方形的边长316NE CDBAM答案：（1）当点 M 落在 BD 的中点时， AM CM 的值最小，最小值为 AC 的长；（2）连结 CE，当点 M 位于 BD 与 CE 的交点处时 AM BM CM 的值最小，最小值为 CE的长（3）正方形的边长为 2【提示】 （3）过点 E 作 EF BC，交 CB 的延长线于点 F，解 Rt EFC 即可NE CDABF M
